Если число удваивается каждый месяц, то через 5 месяцев его не запишешь как "2×2×2×2×2" — точнее, запишешь, но это неудобно. Для таких ситуаций математики придумали короткую запись — степень.
Что такое степень числа
📘 Определение
Степень — это короткая запись умножения одинакового числа само на себя несколько раз. Запись an означает, что число a умножается само на себя n раз.
Например, 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Число 3 здесь — основание (что умножаем), число 4 — показатель (сколько раз умножаем).
Самая частая ошибка
3⁴ ≠ 3 × 4. Это 3×3×3×3 = 81, а не 12! Степень — это не умножение на показатель, а многократное умножение основания само на себя.
4 правила, которые решают почти все задания на степени
Умножение степеней с одинаковым основанием
am × an = am+n — показатели складываем. Пример: 2³ × 2² = 2⁵ = 32
Деление степеней с одинаковым основанием
am ÷ an = am−n — показатели вычитаем. Пример: a⁷ ÷ a³ = a⁴
Степень в степени
(am)n = am×n — показатели перемножаем. Пример: (a²)³ = a⁶, а не a⁵ — частая ошибка!
Степень произведения
(a × b)n = an × bn — возводим каждый множитель отдельно. Пример: (2×3)² = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Осторожно с минусом
Отрицательное основание — обязательно в скобки
(−2)² = (−2)×(−2) = 4
−2² = −(2²) = −4 — это другое выражение!
Чётный показатель даёт положительный результат, нечётный сохраняет знак основания.
Нулевая и отрицательная степень
Логика, а не зубрёжка
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1: 5⁰ = 1. Это следует из тех же правил: a³ ÷ a³ = a⁰, а число, делённое само на себя, всегда даёт 1 — значит a⁰ обязано равняться 1.
Отрицательный показатель означает деление: он "переворачивает" число в дробь. Например, 2 в степени −2 равно 1/2² = 1/4 = 0.25.
Степени в науке, IT и машинном обучении
🤖 Где это пригодится дальше
В науке огромные и крошечные числа записывают через степени десятки — это называется научная нотация. Скорость света — это примерно 3×10⁸ м/с, а не "300000000" с кучей нулей.
В машинном обучении та же логика: скорость обучения модели (learning rate) обычно записывают как 1e-3 или 1e-4 — это и есть степень десятки (10⁻³, 10⁻⁴), просто в другой нотации. А когда говорят, что у языковой модели "175 миллиардов параметров", это тоже удобнее читать как 1.75 × 10¹¹ — иначе считать нули замучаешься.
Практика
Проверь себя
Задача 1: Упрости x³ × x²
Ответ: x5
Задача 2: Вычисли (2 × 3)²
Или проще: 6² = 36
Ответ: 36
Задача 3: Чему равно 5⁰?
Ответ: 1
Задача 4: Упрости (a⁴)³
Ответ: a12
📝 Главное запомнить
- aⁿ — это a, умноженное само на себя n раз, а не a×n
- Одинаковое основание: умножение — складываем показатели, деление — вычитаем
- Степень в степени — показатели перемножаем
- Отрицательное основание всегда бери в скобки
- Любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1
- Отрицательный показатель — это деление, "переворот" в дробь
Хочешь разобрать степени с полным набором задач и разбором ошибок — полный урок с 30 заданиями на сайте, а потренироваться в диалоге можно у бесплатного AI-репетитора в Telegram.