Векторы на плоскости и в пространстве

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты управляешь дроном 🚁. Чтобы он полетел в нужную точку, недостаточно знать только расстояние - нужно указать направление! Вектор - это как GPS-навигатор в математике: он показывает “куда и на сколько”.

Где используется:

• 🎮 Игровые движки: перемещение персонажей, расчёт физики столкновений
• 📡 Нейросети: каждый нейрон - это вектор весов в многомерном пространстве
• 🛰️ GPS и навигация: определение положения через векторы от спутников
• 🏗️ Инженерия: расчёт сил, моментов, деформаций в конструкциях

📚 История вопроса

Векторы появились в 1800-х годах благодаря ирландскому математику Уильяму Гамильтону. Он 8 лет мучился с трёхмерной арифметикой, пока в 1843 году не “озарило” его на мосту в Дублине! Гамильтон тут же высек формулу кватернионов на камне моста (граффити 19 века! 😄).

Современную векторную алгебру создал американский физик Джозайя Гиббс - он “упростил” кватернионы Гамильтона для практических нужд.

💡 Интуиция

Вектор = направленный отрезок

Думай о векторе как о стрелке в пространстве. У неё есть:

• Длина (модуль): насколько далеко лететь
• Направление: куда лететь

[МЕДИА: image_01] Описание: 3D визуализация векторов в пространстве как стрелок разной длины и направления Промпт: “3D visualization of vectors as arrows in space, different lengths and directions, coordinate axes, modern clean style, suitable for university level mathematics”

Координаты = “рецепт перемещения”

Вектор a⃗ = (3, 4, 2) означает:

• Иди на 3 единицы по оси X (вправо)
• Иди на 4 единицы по оси Y (вперёд)
• Иди на 2 единицы по оси Z (вверх)

Важно: векторы можно перемещать параллельно самим себе - они остаются одинаковыми!

📐 Формальное определение

Вектор - упорядоченная совокупность чисел (координат), определяющая направление и длину в пространстве.

На плоскости (2D):

a⃗ = (aₓ, aᵧ) = aₓi⃗ + aᵧj⃗

В пространстве (3D):

a⃗ = (aₓ, aᵧ, aᵤ) = aₓi⃗ + aᵧj⃗ + aᵤk⃗

где i⃗, j⃗, k⃗ - орты (единичные векторы) осей координат.

Основные операции:

🔸 Модуль (длина) вектора: |a⃗| = √(aₓ² + aᵧ² + aᵤ²)

🔸 Сложение векторов: a⃗ + b⃗ = (aₓ + bₓ, aᵧ + bᵧ, aᵤ + bᵤ)

🔸 Умножение на число: λa⃗ = (λaₓ, λaᵧ, λaᵤ)

🔸 Скалярное произведение: a⃗ · b⃗ = aₓbₓ + aᵧbᵧ + aᵤbᵤ = |a⃗||b⃗|cos α

🔸 Векторное произведение (только в 3D): a⃗ × b⃗ = |i⃗ j⃗ k⃗ | |aₓ aᵧ aᵤ| |bₓ bᵧ bᵤ|

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Движение квадрокоптера

Квадрокоптер находится в точке A(1, 2, 5) и должен переместиться в точку B(4, 6, 8). Найди вектор перемещения и его длину.

Решение: AB⃗ = B - A = (4-1, 6-2, 8-5) = (3, 4, 3)

Длина перемещения: |AB⃗| = √(3² + 4² + 3²) = √(9 + 16 + 9) = √34 ≈ 5.83 единицы

[МЕДИА: image_02] Описание: 3D схема перемещения квадрокоптера с вектором и координатами точек Промпт: “3D coordinate system showing drone movement from point A to point B, vector arrow, coordinate labels, engineering style visualization”

Пример 2: Угол между векторами (важно для ML!)

В машинном обучении похожесть двух объектов часто измеряют через угол между их векторами признаков. Найдём угол между a⃗ = (1, 2, 2) и b⃗ = (2, 1, 0).

Решение: Используем формулу: cos α = (a⃗ · b⃗)/(|a⃗||b⃗|)

a⃗ · b⃗ = 1·2 + 2·1 + 2·0 = 4 |a⃗| = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3
|b⃗| = √(2² + 1² + 0²) = √5

cos α = 4/(3√5) = 4/(3·2.236) ≈ 0.596

α = arccos(0.596) ≈ 53.4°

Пример 3: Площадь параллелограмма

Два вектора a⃗ = (2, 1, 3) и b⃗ = (1, 3, 2) образуют параллелограмм. Найди его площадь.

Решение: Площадь = |a⃗ × b⃗|

a⃗ × b⃗ = |i⃗ j⃗ k⃗ | |2 1 3| |1 3 2|

= i⃗(1·2 - 3·3) - j⃗(2·2 - 3·1) + k⃗(2·3 - 1·1) = i⃗(2 - 9) - j⃗(4 - 3) + k⃗(6 - 1)
= -7i⃗ - j⃗ + 5k⃗ = (-7, -1, 5)

|a⃗ × b⃗| = √(49 + 1 + 25) = √75 = 5√3 ≈ 8.66

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди координаты вектора AB⃗, если A(-1, 3, 2) и B(2, -1, 5).

Задание 2: Вычисли модуль вектора c⃗ = (3, -4, 12).

Задание 3: Найди сумму векторов a⃗ = (1, -2, 3) и b⃗ = (-3, 4, 1).

Задание 4: При каком значении λ векторы a⃗ = (2, -1, 3) и b⃗ = (λ, 2, -6) перпендикулярны?

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди векторное произведение a⃗ = (1, 2, -1) и b⃗ = (3, 1, 2).

Задание 6: Найди косинус угла между векторами m⃗ = (2, 1, -2) и n⃗ = (1, -1, 1).

Задание 7: Найди площадь треугольника с вершинами A(1, 0, 1), B(2, 1, 0), C(1, 1, 1).

Задание 8: Найди единичный вектор, сонаправленный с a⃗ = (6, -8, 0).

Челлендж 🔴

Задание 9: Найди объём параллелепипеда, построенного на векторах a⃗ = (2, 1, 0), b⃗ = (1, 2, 1), c⃗ = (0, 1, 2).

Задание 10: Докажи, что точки A(1, 2, 3), B(2, 3, 1), C(3, 1, 2), D(0, 0, 4) лежат в одной плоскости.

Задание 11: В треугольнике ABC даны векторы AB⃗ = (3, 4, 0) и AC⃗ = (1, 2, 0). Найди высоту, опущенную из вершины A на сторону BC.

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают скалярное и векторное произведения ✅ Правильно: a⃗ · b⃗ даёт число, a⃗ × b⃗ даёт вектор 💡 Почему: Скалярное - “точка”, векторное - “крестик”

❌ Ошибка: Считают, что |a⃗ + b⃗| = |a⃗| + |b⃗| ✅ Правильно: |a⃗ + b⃗| ≤ |a⃗| + |b⃗| (неравенство треугольника) 💡 Почему: Векторы могут направлены в разные стороны

❌ Ошибка: Применяют векторное произведение на плоскости ✅ Правильно: Векторное произведение определено только в 3D 💡 Почему: Результат векторного произведения перпендикулярен плоскости

❌ Ошибка: Забывают, что векторное произведение антикоммутативно ✅ Правильно: a⃗ × b⃗ = -(b⃗ × a⃗) 💡 Почему: Меняется ориентация результирующего вектора

❌ Ошибка: Путают вектор-столбец и вектор-строку в матричных операциях ✅ Правильно: Всегда проверяй размерности при умножении 💡 Почему: От этого зависит результат произведения

🎓 Главное запомнить

✅ Вектор = направление + длина (не просто набор чисел!) ✅ Скалярное произведение показывает “похожесть” направлений ✅ Векторное произведение перпендикулярно обоим векторам ✅ Применение: графика, физика, ML, инженерия

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: аналитическая геометрия, системы координат
Куда ведут:

• Матрицы и линейные преобразования
• Дифференциальная геометрия
• Тензорное исчисление
• Машинное обучение (векторы признаков)
• Компьютерная графика (3D-трансформации)