Линейные операции над векторами

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты программируешь игру и нужно рассчитать движение персонажа 🎮. Он бежит со скоростью 5 м/с на север, но дует ветер 2 м/с на восток. Как найти итоговую скорость? А что если нужно увеличить силу гравитации в 3 раза для эпичного прыжка?

💻 Машинное обучение: Нейронные сети обучаются, складывая и масштабируя векторы весов 🎬 3D-графика: Каждая анимация персонажа - это линейные комбинации векторов поворота 📡 GPS: Твое местоположение - сумма векторов от разных спутников ⚡ Физика: Результирующая сила = сумма всех действующих сил (векторов)

💡 Интуиция

Линейные операции с векторами - это как “смешивание коктейлей в математике” 🍹:

🔹 Сложение векторов = смешивание двух ингредиентов (получаем новый вкус)
🔹 Умножение на число = изменение концентрации (больше или меньше того же) 🔹 Линейная комбинация = рецепт коктейля с пропорциями

Если у тебя есть базовые “ингредиенты” (базисные векторы), ты можешь создать любой другой вектор, правильно их смешав!

[МЕДИА: image_01] Описание: Геометрическая интерпретация сложения векторов и умножения на скаляр Промпт: “geometric illustration of vector addition and scalar multiplication, 3D coordinate system, colorful arrows showing vector operations, clean mathematical style, university level”

📐 Формальное определение

Пусть u = (u₁, u₂, …, uₙ) и v = (v₁, v₂, …, vₙ) - векторы в ℝⁿ, а λ, μ ∈ ℝ - скаляры.

Основные линейные операции:

1️⃣ Сложение векторов: u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, …, uₙ + vₙ)

2️⃣ Умножение на скаляр: λu = (λu₁, λu₂, …, λuₙ)

3️⃣ Линейная комбинация: λu + μv = (λu₁ + μv₁, λu₂ + μv₂, …, λuₙ + μvₙ)

Свойства (векторное пространство):

✅ Коммутативность: u + v = v + u ✅ Ассоциативность: (u + v) + w = u + (v + w)
✅ Дистрибутивность: λ(u + v) = λu + λv ✅ Нейтральные элементы: u + 0 = u, 1·u = u

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Движение дрона

Дрон летит из точки A в точку B со скоростью v₁ = (3, 4, 2) м/с, потом дует ветер со скоростью v₂ = (-1, 2, 0) м/с.

Результирующая скорость: v = v₁ + v₂ = (3, 4, 2) + (-1, 2, 0) = (2, 6, 2) м/с

Если ветер усилится в 2 раза: 2v₂ = 2(-1, 2, 0) = (-2, 4, 0) м/с Новая скорость: v₁ + 2v₂ = (3, 4, 2) + (-2, 4, 0) = (1, 8, 2) м/с

[МЕДИА: image_02] Описание: 3D визуализация движения дрона с векторами скоростей Промпт: “3D visualization of drone movement with velocity vectors, wind effect, coordinate system, realistic style, engineering application illustration”

Пример 2: Смешивание цветов в RGB

В графике цвет задается вектором RGB: красный r = (255, 0, 0), синий b = (0, 0, 255).

Получить фиолетовый (50% красного + 50% синего): purple = 0.5r + 0.5b = 0.5(255, 0, 0) + 0.5(0, 0, 255) = (127.5, 0, 127.5)

Получить темно-фиолетовый (30% интенсивности): dark_purple = 0.3 × purple = 0.3(127.5, 0, 127.5) ≈ (38, 0, 38)

Пример 3: Нейронная сеть (упрощенно)

Входной слой: x = (0.8, 0.3, 0.9), веса: w₁ = (0.2, 0.5, 0.1), w₂ = (0.4, 0.1, 0.7)

Взвешенная сумма для нейрона 1: z₁ = w₁·x = 0.2×0.8 + 0.5×0.3 + 0.1×0.9 = 0.16 + 0.15 + 0.09 = 0.4

Линейная комбинация входов: output = 2w₁ + 3w₂ = 2(0.2, 0.5, 0.1) + 3(0.4, 0.1, 0.7) = (0.4, 1, 0.2) + (1.2, 0.3, 2.1) = (1.6, 1.3, 2.3)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Даны векторы a = (2, -1, 3) и b = (1, 4, -2). Найди: а) a + b
б) 3a
в) 2a - b

Задание 2: В игре персонаж имеет скорость v = (5, 3) пикселей/кадр. После применения “ускорения” скорость удваивается, а ветер добавляет (-1, 2). Какая итоговая скорость?

Задание 3: RGB-цвета: красный (255, 0, 0), зеленый (0, 255, 0), синий (0, 0, 255). Получи: а) Желтый цвет
б) Серый цвет (равные доли всех) в) Темно-зеленый (50% интенсивности)

Задание 4: Проверь, коллинеарны ли векторы u = (6, -3, 9) и v = (2, -1, 3).

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди все значения λ, при которых векторы a = (λ, 2, 1) и b = (1, λ, λ) коллинеарны.

Задание 6: Дан треугольник с вершинами A(1, 2), B(4, 6), C(7, 1). Найди вектор из центра тяжести в вершину A.

Задание 7: В пространстве ℝ³ даны векторы e₁ = (1, 0, 1), e₂ = (0, 1, -1), e₃ = (2, 1, 0). Представь вектор v = (5, 2, 3) в виде линейной комбинации этих векторов.

Задание 8: Докажи, что если векторы u, v, w линейно зависимы, то один из них можно выразить через остальные.

Челлендж 🔴

Задание 9: В машинном обучении веса нейрона обновляются по правилу: w_new = w_old - α∇L, где α = 0.01 - скорость обучения, ∇L = (0.3, -0.1, 0.8) - градиент. Если начальные веса w₀ = (0.5, 0.2, -0.3), найди веса после 5 итераций обучения.

Задание 10: Космический корабль летит со скоростью v₁ = (1000, 500, 0) м/с. Включаются двигатели: главный дает ускорение a₁ = (100, 0, 50) м/с², боковые - a₂ = (0, -30, 20) м/с². Через сколько секунд скорость станет v = (1500, 200, 200) м/с?

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путать скалярное и векторное произведения Пишут: 2(1, 3) = (2, 6) - это умножение на скаляр ✅ А не: 2·(1, 3) = 2×1 + 2×3 = 8 ❌

❌ Ошибка: Складывать векторы разной размерности (1, 2) + (3, 4, 5) - так нельзя! Размерности должны совпадать.

❌ Ошибка: Забывать про коммутативность сложения a + b = b + a всегда верно для векторов ✅ Но a - b ≠ b - a ⚠️

💡 Лайфхак: При проверке коллинеарности векторов u и v ищи такое λ, что u = λv. Если координаты дают разные λ - векторы не коллинеарны!

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Линейные операции - это “рецепты” для создания новых векторов из старых ✅ Формула: λu + μv = (λu₁ + μv₁, λu₂ + μv₂, …, λuₙ + μvₙ)
✅ Применение: 3D-графика, физика, машинное обучение, обработка сигналов

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Из урока 151 ты знаешь, что такое векторы и как их задавать.

Куда ведут:

• Скалярное произведение (для вычисления углов и проекций)
• Векторное произведение (для нахождения площадей и направлений)
• Собственные векторы матриц (для анализа линейных преобразований)
• Линейные пространства и базисы (фундамент всей линейной алгебры)