Векторное произведение: когда векторы создают новый вектор

🎯 Зачем это нужно?

🚁 Квадрокоптеры и дроны: Векторное произведение вычисляет момент силы для каждого винта, обеспечивая стабильный полёт и повороты

🎮 3D-игры: При расчёте освещения объектов нужно знать направление нормали к поверхности - её находят через векторное произведение рёбер треугольника

⚡ Электродвигатели: Сила Лоренца F = q(v × B) определяет, как движутся заряженные частицы в магнитном поле - основа работы любого мотора

🌊 Гидродинамика: Завихрения жидкости описываются через rot v = ∇ × v, что критично для проектирования турбин и крыльев самолётов

📚 История вопроса

В 1881 году американский физик Джозайя Гиббс ввёл обозначение a × b для векторного произведения. Он решал практическую задачу: как математически описать вращательное движение твёрдых тел?

Интересно, что изначально векторное произведение называли “скрещиванием векторов” (отсюда английское cross product). Гиббс показал, что многие физические законы становятся элегантными и простыми, если использовать эту операцию! 🔬

💡 Интуиция

Представь два вектора как стрелки в пространстве. Скалярное произведение говорит нам, “насколько векторы сонаправлены”. А векторное произведение отвечает на вопрос: “какой вектор перпендикулярен обоим?”

[МЕДИА: image_01] Описание: Два вектора в пространстве и их векторное произведение, показанное как перпендикулярный вектор Промпт: “3D visualization of vector cross product, two blue and red vectors in space with their perpendicular green resultant vector, right-hand rule demonstration, modern educational style, clean white background”

Длина этого нового вектора равна площади параллелограмма, построенного на исходных векторах. А направление определяется правилом правой руки: пальцы от первого вектора ко второму, большой палец показывает направление произведения! 👍

Главная фишка: векторное произведение антикоммутативно. То есть a × b = -(b × a). Порядок имеет значение!

📐 Формальное определение

Для векторов a = (a₁, a₂, a₃) и b = (b₁, b₂, b₃) векторное произведение:

a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)

Удобно записывать через определитель:

a × b = | i j k |
** | a₁ a₂ a₃|**
** | b₁ b₂ b₃|**

где i, j, k - единичные векторы координатных осей.

Свойства:

• |a × b| = |a| |b| sin θ (где θ - угол между векторами)
• a × b ⊥ a и a × b ⊥ b
• a × b = 0 тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Базовое вычисление

Найдём a × b для a = (2, 1, -1) и b = (0, 3, 2).

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое вычисление векторного произведения через определитель Промпт: “step-by-step calculation of vector cross product using determinant method, mathematical notation, clean layout with highlighted steps, educational illustration”

Используем формулу:

• Первая компонента: a₂b₃ - a₃b₂ = 1·2 - (-1)·3 = 2 + 3 = 5
• Вторая компонента: a₃b₁ - a₁b₃ = (-1)·0 - 2·2 = 0 - 4 = -4
• Третья компонента: a₁b₂ - a₂b₁ = 2·3 - 1·0 = 6 - 0 = 6

Ответ: a × b = (5, -4, 6)

Проверка перпендикулярности:

• a · (a × b) = 2·5 + 1·(-4) + (-1)·6 = 10 - 4 - 6 = 0 ✓
• b · (a × b) = 0·5 + 3·(-4) + 2·6 = 0 - 12 + 12 = 0 ✓

Пример 2: Площадь треугольника

Найдём площадь треугольника с вершинами A(1, 0, 2), B(3, 1, 0), C(2, -1, 3).

Векторы сторон: AB = (2, 1, -2), AC = (1, -1, 1)

AB × AC = |i j k | |2 1 -2| |1 -1 1|

= i(1·1 - (-2)·(-1)) - j(2·1 - (-2)·1) + k(2·(-1) - 1·1) = i(1 - 2) - j(2 + 2) + k(-2 - 1) = (-1, -4, -3)

|AB × AC| = √(1 + 16 + 9) = √26

Площадь треугольника = ½|AB × AC| = √26/2

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Вычисли a × b для a = (1, 2, 0) и b = (0, 1, 3)

Задание 2: Найди вектор, перпендикулярный одновременно v₁ = (1, -1, 2) и v₂ = (3, 0, 1)

Задание 3: Проверь, коллинеарны ли векторы c = (2, 4, -6) и d = (-1, -2, 3)

Задание 4: Найди площадь параллелограмма, построенного на векторах p = (3, 1, 2) и q = (1, -1, 4)

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Докажи, что (a × b) · c = a · (b × c) (смешанное произведение)

Задание 6: Найди объём параллелепипеда с рёбрами a = (1, 2, 3), b = (2, -1, 0), c = (0, 1, -1)

Задание 7: Самолёт движется со скоростью v = (100, 0, 0) м/с в магнитном поле B = (0, 0, 0.05) Тл. Найди силу Лоренца на заряд q = 10⁻⁶ Кл

Задание 8: В треугольнике ABC найди высоту, опущенную из A, если A(0,0,0), B(3,4,0), C(0,3,4)

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи тождество Якоби: a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

Задание 10: Найди уравнение прямой пересечения плоскостей, заданных нормалями n₁ = (1, 2, -1) и n₂ = (2, -1, 3)

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путаница с порядком векторов: считают a × b = b × a ✅ Правильно: a × b = -(b × a) - векторное произведение антикоммутативно! 💡 Почему: Направление результирующего вектора зависит от порядка (правило правой руки)

❌ Ошибка: Неправильное применение правила правой руки ✅ Правильно: Пальцы от первого вектора ко второму, большой палец - направление произведения 💡 Почему: Это соглашение, но его нужно соблюдать везде одинаково

❌ Ошибка: Забывают, что векторное произведение определено только в трёхмерном пространстве ✅ Правильно: В 2D нет векторного произведения векторов (есть только псевдоскалярное) 💡 Почему: Нет третьего измерения для перпендикулярного вектора

🎓 Главное запомнить

✅ a × b создаёт вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам ✅ |a × b| = |a| |b| sin θ = площади параллелограмма ✅ Правило правой руки определяет направление произведения ✅ Применяется в физике, компьютерной графике, инженерии

🔗 Связь с другими темами

Назад: Скалярное произведение (урок 153) дало нам инструмент для вычисления углов и проекций

Вперёд: Смешанное произведение покажет, как найти объём параллелепипеда одной формулой. Дифференциальные операторы grad, div, rot - всё построено на векторных операциях!