Смешанное произведение: объём параллелепипеда

🎯 Зачем это нужно?

🏗️ 3D-графика: Расчёт освещения и отражений в играх типа GTA или Cyberpunk
📐 Архитектура: Вычисление объёма здания по трём рёбрам от угла
🚁 Навигация: GPS определяет, с какой стороны от маршрута находится объект
🎬 VR/AR: Facebook Meta использует это для отслеживания поворота головы

📚 История вопроса

В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон изобрёл кватернионы для описания поворотов в 3D. Он высек формулу i² = j² = k² = ijk = -1 на мосту в Дублине! 🌉 Из этой работы родилось векторное произведение, а смешанное произведение стало его “младшим братом” - комбинацией скалярного и векторного.

💡 Интуиция

Представь, что у тебя есть три ребра коробки из угла: a⃗, b⃗ и c⃗. Смешанное произведение [a⃗,b⃗,c⃗] = a⃗ · (b⃗ × c⃗) даёт объём этой коробки! 📦

[МЕДИА: image_01] Описание: 3D параллелепипед с тремя векторами из одной вершины, показывающий как вычисляется объём Промпт: “3D illustration of parallelepiped with three vectors from corner vertex, showing volume calculation through mixed product, modern technical style, blue and orange vectors, transparent faces”

Фокус в том, что b⃗ × c⃗ создаёт вектор, перпендикулярный плоскости этих двух векторов. А когда мы умножаем a⃗ на этот перпендикулярный вектор скалярно, получаем “высоту” параллелепипеда!

📐 Формальное определение

Смешанное произведение трёх векторов a⃗ = (a₁, a₂, a₃), b⃗ = (b₁, b₂, b₃), c⃗ = (c₁, c₂, c₃):

[a⃗,b⃗,c⃗] = a⃗ · (b⃗ × c⃗) = |a₁ a₂ a₃| |b₁ b₂ b₃| |c₁ c₂ c₃|

Свойства:

• Объём: |[a⃗,b⃗,c⃗]| = V_параллелепипеда
• Компланарность: [a⃗,b⃗,c⃗] = 0 ⟺ векторы лежат в одной плоскости
• Ориентация: знак показывает, образуют ли векторы правую (+) или левую (-) тройку

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Объём параллелепипеда

Даны векторы a⃗ = (2, -1, 0), b⃗ = (1, 2, 3), c⃗ = (0, -1, 2).

Шаг 1: Составляем определитель [a⃗,b⃗,c⃗] = |2 -1 0| |1 2 3| |0 -1 2|

Шаг 2: Раскрываем по первой строке = 2|2 3| - (-1)|1 3| + 0|1 2| |-1 2| |0 2| |0 -1|

= 2(2·2 - 3·(-1)) + 1(1·2 - 3·0) + 0 = 2(4 + 3) + 1(2) = 2·7 + 2 = 16

Ответ: Объём параллелепипеда = |16| = 16 кубических единиц

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое вычисление определителя 3×3 с раскрытием по строке Промпт: “step-by-step determinant calculation diagram, 3x3 matrix expansion, colorful arrows showing cofactor method, mathematical notation, educational style”

Пример 2: Проверка компланарности

Векторы p⃗ = (1, 2, 3), q⃗ = (2, 4, 6), r⃗ = (1, 1, 1).

[p⃗,q⃗,r⃗] = |1 2 3| |2 4 6| = 0 (вторая строка = 2 × первая) |1 1 1|

Ответ: Векторы компланарны (лежат в одной плоскости)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди смешанное произведение векторов a⃗ = (1, 0, 2), b⃗ = (0, 1, 3), c⃗ = (2, 1, 0).

Задание 2: Вычисли объём параллелепипеда, построенного на векторах i⃗ + j⃗, j⃗ + k⃗, k⃗ + i⃗.

Задание 3: Проверь, компланарны ли векторы (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2).

Задание 4: Найди смешанное произведение [a⃗ + b⃗, b⃗ + c⃗, c⃗ + a⃗], если [a⃗,b⃗,c⃗] = 5.

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Докажи, что [a⃗,b⃗,c⃗] = [b⃗,c⃗,a⃗] = [c⃗,a⃗,b⃗].

Задание 6: Найди все значения λ, при которых векторы (1, 2, λ), (λ, 1, 2), (2, λ, 1) компланарны.

Задание 7: В Unity3D позиция игрока задана вектором p⃗ = (3, 0, 4), направления движения v⃗ = (1, 0, 0) и поворота w⃗ = (0, 1, 1). Найди “объём игрового пространства”.

Задание 8: Объём тетраэдра с вершинами O(0,0,0), A(a₁,a₂,a₃), B(b₁,b₂,b₃), C(c₁,c₂,c₃) равен |[a⃗,b⃗,c⃗]|/6. Найди объём тетраэдра OABC, где A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,4).

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи тождество Якоби: [a⃗,b⃗,c⃗] + [b⃗,c⃗,a⃗] + [c⃗,a⃗,b⃗] = 3[a⃗,b⃗,c⃗].

Задание 10: В 3D-редакторе Blender три объекта расположены в точках A(1,2,3), B(4,5,6), C(7,8,9). Если смешанное произведение векторов OA⃗, OB⃗, OC⃗ равно нулю, что это означает для расположения объектов?

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путать смешанное произведение с векторным ✅ Правильно: Смешанное - это число (скаляр), векторное - вектор 💡 Почему: Смешанное = скалярное от векторного произведения

❌ Ошибка: Забывать про модуль при вычислении объёма ✅ Правильно: Объём = |смешанное произведение| 💡 Почему: Объём всегда положительный, а смешанное произведение может быть отрицательным

❌ Ошибка: Неправильно раскрывать определитель 3×3 ✅ Правильно: Используй правило треугольников или разложение по строке/столбцу 💡 Почему: При ошибке в знаках результат может отличаться в 2 раза

❌ Ошибка: Считать, что перестановка векторов не влияет на результат ✅ Правильно: [a⃗,b⃗,c⃗] = -[b⃗,a⃗,c⃗] (чётные перестановки сохраняют знак, нечётные - меняют) 💡 Почему: Определитель меняет знак при перестановке строк

🎓 Главное запомнить

✅ [a⃗,b⃗,c⃗] = a⃗ · (b⃗ × c⃗) - это объём параллелепипеда с знаком ✅ |[a⃗,b⃗,c⃗]| = V_параллелепипеда (модуль даёт реальный объём) ✅ [a⃗,b⃗,c⃗] = 0 ⟺ векторы лежат в одной плоскости

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Векторное произведение (урок 154) дало нам b⃗ × c⃗
Куда пойдём: Уравнения плоскости, где [n⃗,r⃗-r⃗₀] определяет расстояние до плоскости
Применения: В механике - момент силы, в физике - магнитное поле, в computer graphics - нормали к поверхностям