Операции над матрицами: сложение, умножение и транспонирование

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты разработчик в Google и создаёшь алгоритм рекомендаций YouTube 🎥. У тебя есть миллионы пользователей и миллионы видео. Как связать “кто что смотрит”? Матрицы! Строки = пользователи, столбцы = видео, значения = рейтинги.

А теперь нужно найти похожих пользователей, предсказать новые предпочтения, сжать данные… Всё это - операции над матрицами! 🔥

🤖 Нейросети: каждый слой - это умножение матриц 📊 3D-графика: поворот объекта = умножение на матрицу поворота
📱 Сжатие JPEG: разложение изображения через операции с матрицами

📚 История вопроса

В 1858 году британский математик Артур Кэли формализовал операции над матрицами, решая системы линейных уравнений для… железнодорожной логистики! 🚂

Он заметил закономерности в расчётах и создал элегантную алгебру, которая сегодня управляет ИИ, спутниковой навигацией и спецэффектами в кино!

💡 Интуиция

Матрица - это прямоугольная таблица чисел. Думай о ней как о “упорядоченной базе данных”:

A = [a₁₁  a₁₂  a₁₃]
    [a₂₁  a₂₂  a₂₃]

Сложение = сложение соответствующих ячеек (как Excel!) Умножение = более хитрая операция (строка на столбец) Транспонирование = поворот матрицы “на бок”

[МЕДИА: image_01] Описание: Наглядная схема матрицы как таблицы данных с примерами операций Промпт: “educational illustration showing matrix as organized data table, colorful cells with numbers, arrows showing addition and transposition operations, clean modern mathematical style, university level”

📐 Формальное определение

Сложение матриц

Матрицы A и B размера m×n можно сложить только если их размеры совпадают: (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

Умножение матриц

Матрицу A размера m×k можно умножить на матрицу B размера k×n. Результат - матрица размера m×n: (AB)ᵢⱼ = Σₛ₌₁ᵏ aᵢₛ · bₛⱼ

Транспонирование

Транспонированная матрица Aᵀ получается заменой строк на столбцы: (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Сложение матриц

У нас есть продажи двух магазинов за два дня:

Магазин 1: A = [120  80 ]  (день1: хлеб=120, молоко=80)
               [150  95 ]  (день2: хлеб=150, молоко=95)

Магазин 2: B = [90   70 ]  
               [110  85 ]

Общие продажи = A + B:

A + B = [120+90   80+70 ] = [210  150]
        [150+110  95+85 ]   [260  180]

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое сложение матриц с реальными данными о продажах Промпт: “step-by-step matrix addition visualization, business data example with sales figures, colorful cells showing corresponding elements being added, educational mathematical illustration”

Пример 2: Умножение матриц

Система рекомендаций! Пользователи оценивают жанры:

Пользователи × Жанры:     Жанры × Фильмы:
P = [5 2]  (комедия драма)  F = [3 1]  (фильм1 фильм2)
    [1 4]                        [2 4]

Какие оценки даст каждый пользователь фильмам?

P × F = [5·3+2·2  5·1+2·4] = [19  13]
        [1·3+4·2  1·1+4·4]   [11  17]

Пользователь 1 оценит фильм 1 на 19, фильм 2 на 13!

Пример 3: Транспонирование

Данные опроса студентов:

A = [5 3 4]  (оценки по математике)
    [4 5 3]  (оценки по физике)

Aᵀ = [5 4] (студент1: математика=5, физика=4) [3 5] (студент2: математика=3, физика=5)
[4 3] (студент3: математика=4, физика=3)

Поменялись местами “студенты” и “предметы”!

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди A + B, если A = [2 -1; 3 4] и B = [1 5; -2 0]

Задание 2: Вычисли 3A для A = [1 -2; 0 4]

Задание 3: Найди транспонированную матрицу для A = [1 2 3; 4 5 6]

Задание 4: Можно ли перемножить матрицы A(2×3) и B(4×2)?

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди AB, если A = [1 2; 3 4] и B = [5 6; 7 8]

Задание 6: Докажи, что (AB)ᵀ = BᵀAᵀ для матриц из задания 5

Задание 7: Найди матрицу X из уравнения X + A = B, где A = [1 2; 3 4], B = [5 1; 0 -2]

Задание 8: Вычисли A² для A = [2 1; 0 3]

Челлендж 🔴

Задание 9: Найди все матрицы 2×2, которые коммутируют с A = [1 1; 0 1] (то есть AB = BA)

Задание 10: Докажи, что если A и B - симметричные матрицы одинакового размера, то A + B тоже симметрична

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Думать, что AB = BA всегда ✅ Правильно: Умножение матриц НЕкоммутативно! Порядок важен! 💡 Почему: Размеры могут не совпадать, или результаты разные

❌ Ошибка: Умножать матрицы “поэлементно” ✅ Правильно: Строка на столбец! (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ 💡 Почему: Это другая операция (произведение Адамара)

❌ Ошибка: Забывать проверять размеры при умножении ✅ Правильно: A(m×k) × B(k×n) = C(m×n)
💡 Почему: “Внутренние” размеры должны совпадать

❌ Ошибка: Путать (A + B)ᵀ и Aᵀ + Bᵀ ✅ Правильно: Они равны! (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ 💡 Почему: Транспонирование линейно по сложению

🎓 Главное запомнить

✅ Сложение: только матрицы одинакового размера, поэлементно ✅ Умножение: A(m×k) × B(k×n) = C(m×n), НЕкоммутативно ✅ Транспонирование: строки ↔ столбцы, (Aᵀ)ᵀ = A ✅ Применение: везде где нужны линейные преобразования данных

🔗 Связь с другими темами

← Откуда пришли: Из урока 156 (определение матриц) → Куда ведут: Определители матриц, обратные матрицы, собственные векторы 🔄 Связаны с: Системы линейных уравнений, линейные преобразования, методы оптимизации