Линейные преобразования: как математика меняет пространство

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты работаешь в Pixar над новым мультфильмом 🎬. Персонажу нужно повернуть голову, растянуть руку или отразиться в зеркале. Каждое такое действие - это линейное преобразование!

🎮 В играх: поворот камеры, масштабирование объектов, деформация персонажей 🤖 В ML: PCA сжимает данные, повороты в пространстве признаков
📱 В телефоне: поворот экрана, зум карты, фильтры Instagram 🏗️ В инженерии: расчёт деформаций, анализ напряжений, робототехника

📚 История вопроса

В 1858 году Артур Кэли изучал, как одни координаты превращаются в другие. Он понял: если есть система уравнений вида y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂, y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂, то коэффициенты можно записать в виде прямоугольной таблицы - матрицы!

Оказалось, что такие преобразования описывают огромное количество явлений: от вращения планет до работы нейронных сетей.

💡 Интуиция

Линейное преобразование - это “честная” функция, которая:

• Прямые линии превращает в прямые линии (не искривляет!)
• Начало координат оставляет на месте
• Параллельные прямые остаются параллельными

Представь, что у тебя есть резиновая сетка ⬜. Линейное преобразование может её растянуть, сжать, повернуть, отразить - но не может “порвать” или “скрутить в трубочку”.

[МЕДИА: image_01] Описание: Сетка координат до и после различных линейных преобразований (поворот, растяжение, сжатие) Промпт: “educational illustration showing coordinate grid before and after linear transformations, side-by-side comparison, rotation scaling reflection examples, mathematical visualization, clean modern style, blue and orange colors”

📐 Формальное определение

Линейное преобразование T: ℝⁿ → ℝᵐ - это функция, которая сохраняет операции сложения и умножения на число:

1️⃣ Аддитивность: T(u + v) = T(u) + T(v) 2️⃣ Однородность: T(αv) = αT(v)

Любое линейное преобразование можно записать как умножение на матрицу: T(x) = Ax, где A - матрица m×n

Основные типы:

• 🔄 Поворот на угол θ: A = [cos θ -sin θ; sin θ cos θ]
• 📏 Масштабирование: A = [a 0; 0 b]
• 🪞 Отражение: A = [1 0; 0 -1] (относительно оси x)
• ↔️ Сдвиг: A = [1 k; 0 1]

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Поворот точки на 90°

Повернём точку P(3, 1) на 90° против часовой стрелки.

Решение: Матрица поворота на 90°: A = [0 -1; 1 0]

T([3; 1]) = [0 -1; 1 0] · [3; 1] = [0·3 + (-1)·1; 1·3 + 0·1] = [-1; 3]

Проверка интуиции: точка (3,1) после поворота на 90° должна попасть в (-1,3) ✅

[МЕДИА: image_02] Описание: Координатная плоскость с точкой до и после поворота на 90 градусов Промпт: “coordinate plane showing point rotation by 90 degrees, original point (3,1) and transformed point (-1,3), rotation arrow, grid background, educational mathematics illustration”

Пример 2: Растяжение и сжатие

Преобразуем единичный квадрат с помощью матрицы A = [2 0; 0 0.5]

Анализ:

• По оси x: растяжение в 2 раза
• По оси y: сжатие в 2 раза (коэффициент 0.5)

Вершины квадрата:

• (0,0) → (0,0)
• (1,0) → (2,0)
• (1,1) → (2,0.5)
• (0,1) → (0,0.5)

Квадрат превратился в прямоугольник 2×0.5!

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди образ точки (2, -1) при повороте на 180°

Задание 2: Отрази точку (3, 4) относительно оси y

Задание 3: Растяни точку (1, 2) в 3 раза по оси x и в 0.5 раза по оси y

Задание 4: Проверь, является ли T(x,y) = (x+1, 2y) линейным преобразованием

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди матрицу композиции: сначала поворот на 45°, потом растяжение в 2 раза

Задание 6: Определи, какое преобразование задаёт матрица [0 1; 1 0]

Задание 7: Найди образ треугольника с вершинами (0,0), (1,0), (0,1) при преобразовании A = [2 1; 0 1]

Задание 8: При каком условии линейное преобразование обратимо?

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи, что композиция линейных преобразований - линейное преобразование

Задание 10: Найди собственные векторы матрицы поворота на 90°. Что получается?

Задание 11: Как связаны определитель матрицы и площадь после преобразования?

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “Линейное преобразование может сдвигать начало координат” ✅ Правильно: T(0) = 0 всегда! Сдвиг - это аффинное преобразование 💡 Почему: T(0) = T(0·v) = 0·T(v) = 0

❌ Ошибка: “Поворот на угол θ: [cos θ sin θ; -sin θ cos θ]”
✅ Правильно: [cos θ -sin θ; sin θ cos θ] (знак при sin!) 💡 Почему: Перепутаны строки матрицы поворота

❌ Ошибка: При композиции преобразований AB = BA ✅ Правильно: Умножение матриц некоммутативно!
💡 Почему: Сначала A, потом B ≠ сначала B, потом A

❌ Ошибка: “Определитель всегда положительный” ✅ Правильно: det < 0 означает изменение ориентации (отражение) 💡 Почему: Отрицательный определитель = “выворачивание наизнанку”

❌ Ошибка: Путают координаты точки и компоненты вектора ✅ Правильно: В линейной алгебре точки = векторы из начала координат 💡 Почему: Преобразования работают с векторами-столбцами

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Линейное преобразование T(x) = Ax сохраняет прямые и начало координат ✅ Ключевая формула: T(αu + βv) = αT(u) + βT(v) ✅ Где применяется: Графика, машинное обучение, физика, инженерия

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Из урока 170 о матрицах - теперь видим, как матрицы “действуют” на векторы

Куда ведёт:

• Собственные векторы и значения (главные направления преобразования)
• Сингулярное разложение (любое преобразование = поворот + растяжение + поворот)
• Дифференциальные уравнения (линейные системы)
• Компьютерная графика и обработка изображений