Теоремы о пределах: арифметика бесконечно малых

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты разрабатываешь алгоритм для TikTok, который предсказывает популярность видео 📱. У тебя есть несколько функций: f(t) - количество просмотров, g(t) - количество лайков, h(t) - комментарии. Как понять, что происходит с их суммой, произведением или отношением при t → ∞?

🚀 Ракетная техника: При старте SpaceX нужно знать, как ведет себя сумма скоростей разных ступеней 🏦 Финансы: Банки складывают множество процентных функций для расчета кредитных рисков
🤖 Нейросети: Каждый нейрон суммирует тысячи входных сигналов - нужно понимать предельное поведение

📚 История вопроса

В 1821 году Коши сформулировал эти теоремы, решая задачи механики Наполеоновской армии ⚔️. Ему нужно было понять, как складываются скорости пушечных ядер при разных углах стрельбы. Оказалось, что “предел суммы равен сумме пределов” - но только при выполнении определенных условий!

💡 Интуиция

Думай о пределах как о “финишной прямой” в гонке 🏁. Если две машины приближаются к своим финишным линиям, то:

• Сумма: Если они едут рядом, то их общее расстояние стремится к сумме их финишей
• Произведение: Если скорости стабилизируются, то произведение стабилизируется тоже
• Частное: Если знаменатель не останавливается на нуле, частное тоже стабилизируется

[МЕДИА: image_01] Описание: Интуитивная визуализация теорем о пределах через гоночные машины, приближающиеся к финишу Промпт: “educational illustration showing racing cars approaching finish lines, mathematical limit concepts visualized through racing metaphor, clean modern style, suitable for university students”

📐 Формальные теоремы

Основные теоремы (при существовании пределов)

Пусть lim[x→a] f(x) = L и lim[x→a] g(x) = M. Тогда:

1️⃣ Предел суммы: lim[x→a] [f(x) + g(x)] = L + M

2️⃣ Предел разности:
lim[x→a] [f(x) - g(x)] = L - M

3️⃣ Предел произведения: lim[x→a] [f(x) · g(x)] = L · M

4️⃣ Предел частного: lim[x→a] [f(x)/g(x)] = L/M, при M ≠ 0

5️⃣ Предел постоянной: lim[x→a] [c · f(x)] = c · L

⚠️ Ключевое условие!

Все теоремы работают только когда оба предела существуют и конечны!

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Классическое применение

Найти lim[x→2] [(3x² + 2x - 1) + (x - 5)]

Решение: По теореме о пределе суммы: lim[x→2] [(3x² + 2x - 1) + (x - 5)] = lim[x→2] (3x² + 2x - 1) + lim[x→2] (x - 5)

Вычисляем каждый предел:

• lim[x→2] (3x² + 2x - 1) = 3·4 + 2·2 - 1 = 15
• lim[x→2] (x - 5) = 2 - 5 = -3

Ответ: 15 + (-3) = 12

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение примера с применением теоремы о пределе суммы Промпт: “step-by-step mathematical solution showing limit theorems application, clean educational layout, university level, professional design”

Пример 2: Хитрый случай с произведением

Найти lim[x→0] [x² · sin(1/x)]

Ловушка! Предел lim[x→0] sin(1/x) не существует (функция осциллирует между -1 и 1).

Но! Можем использовать неравенство: |x² · sin(1/x)| ≤ |x²| · 1 = x²

По теореме сжатия: lim[x→0] x² = 0, значит lim[x→0] [x² · sin(1/x)] = 0

Пример 3: Реальная задача из финтеха

В алгоритме кредитного скоринга функция риска: R(t) = (t² + 3t)/(2t + 1) при t → ∞

lim[t→∞] R(t) = lim[t→∞] (t² + 3t)/(2t + 1)

Разделим числитель и знаменатель на t²: = lim[t→∞] (1 + 3/t)/(2/t + 1/t²)

По теоремам о пределах:

• Числитель: lim[t→∞] (1 + 3/t) = 1 + 0 = 1
• Знаменатель: lim[t→∞] (2/t + 1/t²) = 0 + 0 = 0

Получили 1/0 - это значит lim[t→∞] R(t) = ∞

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найти lim[x→3] [(2x + 1) + (x² - 4)]

Задание 2: Вычислить lim[x→1] [(x + 2) · (3x - 1)]

Задание 3: Найти lim[x→2] (5x - 3)/(x + 1)

Задание 4: Вычислить lim[x→0] [3 · (x² + 2x)]

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найти lim[x→∞] [(3x² + 2x - 1) · (2x + 5)]/(x³ - x)

Задание 6: Определить lim[x→1] [x²/(x-1) + 2x/(x-1)]

Задание 7: YouTube Analytics: функции просмотров V(t) = t² + 3t и лайков L(t) = 2t - 1. Найти предел отношения V(t)/L(t) при t → ∞

Задание 8: Криптовалюта: цена Bitcoin B(t) = 50000 + 100t, Ethereum E(t) = 3000 + 50t. Найти lim[t→∞] [B(t) - 2·E(t)]

Челлендж 🔴

Задание 9: Найти lim[x→0] [sin(3x) + x·cos(1/x)]/(2x)

Задание 10: ИИ-задача: функция потерь L(w) = w²/(1+w²) + w/(1+w⁴). Найти lim[w→∞] L(w)

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Применять теоремы, когда пределы не существуют

lim[x→∞] [x + sin(x)] = lim[x→∞] x + lim[x→∞] sin(x) = ∞ + не существует = ???

✅ Правильно: Сначала проверить существование каждого предела 💡 Почему: Теоремы работают только при существовании всех участвующих пределов

❌ Ошибка: Забывать про ноль в знаменателе

lim[x→2] (x+1)/(x-2) = lim[x→2] (x+1) / lim[x→2] (x-2) = 3/0 = ∞

✅ Правильно: При M = 0 теорема о частном НЕ применима, нужен отдельный анализ 💡 Почему: Деление на ноль требует специального исследования типа неопределенности

❌ Ошибка: Неправильно работать с ∞

lim[x→∞] x² - lim[x→∞] x² = ∞ - ∞ = 0

✅ Правильно: ∞ - ∞ это неопределенность, нужно преобразовывать выражение 💡 Почему: Арифметика с бесконечностью имеет свои правила

❌ Ошибка: Путать теоремы с неопределенностями

lim[x→0] (sin x)/x = lim[x→0] sin x / lim[x→0] x = 0/0

✅ Правильно: 0/0 - неопределенность, используем правило Лопиталя или замечательные пределы 💡 Почему: Теорема о частном не работает, когда получается 0/0 или ∞/∞

🎓 Главное запомнить

✅ Теоремы работают только при существовании всех пределов ✅ Ключевые формулы: lim[f ± g] = lim f ± lim g, lim[f·g] = lim f · lim g, lim[f/g] = lim f / lim g (при lim g ≠ 0) ✅ Где применяется: анализ сложных функций, инженерные расчеты, машинное обучение, финансовая математика

🔗 Связь с другими темами

Назад: Урок 178 дал нам понятие предела - теперь мы умеем с ними “арифметически” работать Вперед: Следующие уроки покажут правило Лопиталя (когда теоремы не работают) и замечательные пределы (исключения из правил)