Бесконечно малые и большие: как работать с экстремально малым и большим

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты программист в Netflix 🎬. Алгоритм рекомендаций работает с миллиардами данных - некоторые числа становятся астрономически большими, другие стремятся к нулю. Как понять, какие из них действительно важны?

📱 В ML: Когда нейросеть обучается, некоторые веса становятся очень маленькими, другие - огромными 🚗 В Tesla: GPS определяет координаты с точностью до сантиметров - ошибки бесконечно малы ⚡ В квантовой физике: Постоянная Планка h ≈ 10⁻³⁴ - практически “ноль” в макромире

📚 История вопроса

В 1734 году Беркли критиковал Ньютона: “Как можно делить на бесконечно малое? Это же ноль!” 🤔

Математики 200 лет спорили о том, что такое dx в формуле производной f’(x) = df/dx. Только в XIX веке Коши и Вейерштрасс дали строгое определение через пределы. Оказалось - всё дело в скорости приближения к нулю или бесконечности!

💡 Интуиция

Бесконечно малые - это не просто “очень маленькие числа”. Это функции, которые стремятся к нулю, но с разной скоростью:

🐌 x → 0 медленно
🐎 x² → 0 быстрее
🚀 e^(-1/x²) → 0 сверхбыстро при x → 0

Аналогично бесконечно большие:

🐌 x → ∞ медленно
🐎 x² → ∞ быстрее
🚀 e^x → ∞ сверхбыстро

[МЕДИА: image_01] Описание: График сравнения скоростей роста различных функций Промпт: “mathematical graph comparing growth rates of functions like x, x², eˣ, different colors for each curve, logarithmic scale, clean educational style, university level”

📐 Формальное определение

Бесконечно малые при x → a:

Функция α(x) называется бесконечно малой при x → a, если: lim[x→a] α(x) = 0

Сравнение бесконечно малых:

• α ~ β (эквивалентны): lim[x→a] α(x)/β(x) = 1
• α = o(β) (α меньшего порядка): lim[x→a] α(x)/β(x) = 0
• α = O(β) (α не больше β): |α(x)/β(x)| ≤ M для некоторой константы M

Бесконечно большие при x → a:

Функция f(x) называется бесконечно большой, если: lim[x→a] f(x) = ∞

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Сравнение при x → 0

Сравним α(x) = x² и β(x) = sin x при x → 0

Шаг 1: Проверим, что обе б.м.: lim[x→0] x² = 0 ✓ lim[x→0] sin x = 0 ✓

Шаг 2: Найдём отношение: lim[x→0] x²/sin x = lim[x→0] x²/x = lim[x→0] x = 0

Вывод: x² = o(sin x), то есть x² стремится к нулю быстрее sin x

Пример 2: Эквивалентные функции

При x → 0:

• sin x ~ x (классическая эквивалентность!)
• tan x ~ x
• ln(1+x) ~ x
• e^x - 1 ~ x

Проверим sin x ~ x: lim[x→0] (sin x)/x = 1 (первый замечательный предел!) ✓

[МЕДИА: image_02] Описание: Сравнительная таблица эквивалентных бесконечно малых Промпт: “educational table showing equivalent infinitesimals near zero, mathematical formulas, clean typography, university textbook style, organized in rows and columns”

Пример 3: Асимптотика в программировании

Алгоритм сортировки массива из n элементов:

• Пузырьковая сортировка: T(n) = O(n²)
• Быстрая сортировка: T(n) = O(n log n)
• Поиск в отсортированном: T(n) = O(log n)

При n → ∞: log n = o(n) = o(n²)

Это значит, что для больших n бинарный поиск работает несравнимо быстрее линейного!

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Определи порядок малости x³ относительно x при x → 0

Задание 2: Верно ли, что 3x ~ 5x при x → 0?

Задание 3: Используя sin x ~ x, вычисли lim[x→0] (sin 3x)/(5x)

Задание 4: Сравни x² и x⁴ при x → 0

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди главную часть функции f(x) = x + x² + x³ при x → 0

Задание 6: Вычисли lim[x→0] (e^x - 1 - x)/x²

Задание 7: Определи порядок роста функции f(n) = n² + 100n + 5000 при n → ∞

Задание 8: Покажи, что ln x = o(x) при x → +∞

Челлендж 🔴

Задание 9: В машинном обучении функция потерь имеет вид L(θ) = θ² + 0.01θ⁴ + 0.0001θ⁶. При малых θ, какой член доминирует в градиенте L’(θ)?

Задание 10: Алгоритм A работает за время O(n log n), алгоритм B - за O(n^1.5). При каком n алгоритм A станет быстрее?

Задание 11: Найди асимптотику суммы 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n при n → ∞

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “Если lim α(x) = 0, то α(x) всегда меньше любой другой б.м.” ✅ Правильно: Нужно сравнивать скорость стремления к нулю через отношение 💡 Почему: x и 2x обе стремятся к 0, но растут с одинаковой скоростью

❌ Ошибка: “O(n) + O(n²) = O(n + n²)” ✅ Правильно: O(n) + O(n²) = O(n²) 💡 Почему: Берётся доминирующий (самый быстрорастущий) член

❌ Ошибка: Путать o(малое) и O(большое) ✅ Правильно: o - строго меньший порядок, O - не больший порядок 💡 Почему: x² = o(x) НЕверно, но x² = O(x) тоже НЕверно при x → ∞

🎓 Главное запомнить

✅ Бесконечно малые/большие - это функции, а не числа ✅ Главное - не величина, а скорость изменения
✅ Эквивалентность: lim α(x)/β(x) = 1 ✅ В анализе алгоритмов: доминирует самый быстрорастущий член

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Пределы (урок 180) - фундамент для понимания б.м. и б.б. Куда ведут: Ряды Тейлора, асимптотические разложения, анализ сложности алгоритмов Практика: Численные методы, машинное обучение, теория вероятностей