Теорема Коши о среднем значении

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты анализируешь данные о росте стартапа 📈. У тебя есть два показателя: количество пользователей f(t) и выручка g(t) за время t. Можно ли найти момент, когда отношение скоростей роста этих показателей равно отношению их общего прироста? Именно это и делает теорема Коши!

🚗 Автопилот Tesla: При движении по криволинейной траектории система должна найти момент, когда отношение скоростей изменения координат x и y равно отношению пройденных расстояний 🤖 Оптимизация в ML: При обучении нейросетей нужно найти точки, где градиенты функции потерь по разным параметрам связаны определённым соотношением 📊 Финансовая аналитика: Сравнение темпов роста прибыли и объёма продаж - в какой момент их отношение равно среднему за период

📚 История вопроса

Огюстен Коши в 1821 году обобщил теорему Лагранжа о среднем значении. Лагранж рассматривал одну функцию, а Коши подумал: “А что, если взять две функции и посмотреть на отношение их скоростей изменения?” 🤔

Эта идея оказалась революционной! Именно теорема Коши стала основой для правила Лопиталя и множества других результатов матанализа.

💡 Интуиция

Представь два автомобиля, едущих по разным дорогам 🚗🚙. Первый проехал путь f(b) - f(a), второй - g(b) - g(a) за одно и то же время от момента a до момента b.

[МЕДИА: image_01] Описание: Две параметрические кривые показывающие движение двух объектов, с выделенной точкой где касательные имеют нужное соотношение наклонов Промпт: “educational illustration showing two parametric curves representing motion paths, highlighting point where tangent slopes have specific ratio, mathematical visualization, clean modern style, university level”

Теорема Коши утверждает: обязательно найдётся момент времени c, когда отношение их мгновенных скоростей f’(c)/g’(c) будет равно отношению пройденных путей [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)]!

Это не очевидно, но логично: если средние скорости разные, то где-то мгновенные скорости должны “компенсировать” эту разность.

📐 Формальное определение

Теорема Коши (о среднем значении)

Пусть функции f(x) и g(x):

1. Непрерывны на отрезке [a, b]
2. Дифференцируемы на интервале (a, b)
3. g’(x) ≠ 0 для всех x ∈ (a, b)

Тогда существует точка c ∈ (a, b) такая, что:

[f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)] = f’(c)/g’(c)

Если g(x) = x, то получаем классическую теорему Лагранжа: [f(b) - f(a)]/(b - a) = f’(c)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Параметрическая кривая

Рассмотрим параметрическую кривую:

• x(t) = t², y(t) = t³ на отрезке [1, 2]

Найдём точку c, где выполняется теорема Коши.

Решение:

1. f(t) = t², g(t) = t³
2. f’(t) = 2t, g’(t) = 3t²
3. f(2) - f(1) = 4 - 1 = 3
4. g(2) - g(1) = 8 - 1 = 7

По теореме Коши: 3/7 = 2c/(3c²) = 2/(3c)

Отсюда: 3c = 14/3, значит c = 14/9 ≈ 1.56

Проверим: c ∈ (1, 2) ✅

[МЕДИА: image_02] Описание: График параметрической кривой с выделенной точкой где выполняется теорема Коши Промпт: “parametric curve plot showing x=t², y=t³, highlighting point where Cauchy theorem condition is satisfied, mathematical graph with clear axes and point marking, educational style”

Пример 2: Экспоненциальные функции

f(x) = eˣ, g(x) = e²ˣ на [0, ln 2]

Решение:

1. f’(x) = eˣ, g’(x) = 2e²ˣ
2. f(ln 2) - f(0) = 2 - 1 = 1
3. g(ln 2) - g(0) = 4 - 1 = 3

По теореме: 1/3 = eᶜ/(2e²ᶜ) = 1/(2eᶜ)

Отсюда: 2eᶜ = 3, значит c = ln(3/2)

Проверим: 0 < ln(3/2) < ln 2 ✅

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Для f(x) = x² и g(x) = x³ на [1, 3] найди точку c из теоремы Коши

Задание 2: Проверь теорему Коши для f(x) = sin x, g(x) = cos x на [0, π/2]

Задание 3: Для f(x) = x + 1, g(x) = x² на [0, 2] найди соответствующую точку c

Продвинутый уровень 🟡

Задание 4: Докажи, что если g(x) = x, то теорема Коши превращается в теорему Лагранжа

Задание 5: Для параметрической кривой x = t⁴, y = t⁶ на [1, 2] найди точку, где выполняется условие теоремы

Задание 6: Применить теорему Коши к функциям f(x) = ln x, g(x) = 1/x на [1, e]

Челлендж 🔴

Задание 7: Докажи теорему Коши, используя теорему Ролля для вспомогательной функции h(x) = [g(b) - g(a)]f(x) - [f(b) - f(a)]g(x)

Задание 8: Исследуй, что происходит с точкой c при стремлении отрезка [a, b] к точке для f(x) = x², g(x) = x³

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают проверить условие g’(x) ≠ 0 ✅ Правильно: Всегда проверяй, что знаменатель не обращается в ноль 💡 Почему: Иначе теорема просто не применима

❌ Ошибка: Путают теорему Коши с теоремой Лагранжа
✅ Правильно: Лагранж - частный случай Коши при g(x) = x 💡 Почему: Коши рассматривает отношение двух функций

❌ Ошибка: Неправильно составляют пропорцию ✅ Правильно: [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f’(c)/g’(c) 💡 Почему: Приращения функций относятся как их производные в некоторой точке

🎓 Главное запомнить

✅ Теорема Коши обобщает теорему Лагранжа на случай двух функций ✅ Ключевая формула: [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f’(c)/g’(c) ✅ Применяется для анализа параметрических кривых и правила Лопиталя

🔗 Связь с другими темами

Теорема Коши - это мост между теоремой Ролля (урок 190) и правилом Лопиталя (следующие уроки). Она также критически важна для:

• Вывода формулы Тейлора с остаточным членом
• Доказательства монотонности и выпуклости функций
• Анализа параметрически заданных кривых в геометрии