Неопределённый интеграл: продвинутые техники

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты разрабатываешь алгоритм для беспилотного автомобиля 🚗. Чтобы рассчитать пройденный путь по известному ускорению, нужно интегрировать дважды. А для расчёта энергопотребления электромобиля Tesla по графику мощности - тоже интегрирование!

💡 Где используется:

• Нейросети: обратное распространение ошибки требует интегрирования функций активации
• Компьютерная графика: расчёт освещения в 3D-играх (метод Монте-Карло)
• Финтех: модели ценообразования опционов (формула Блэка-Шоулза)

💡 Интуиция

Базовые интегралы - как изучение отдельных аккордов на гитаре 🎸. Но настоящая музыка начинается, когда ты комбинируешь их в сложные композиции!

Продвинутое интегрирование - это набор “трюков”, которые позволяют разбить сложную функцию на простые части или превратить её в уже знакомый вид.

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема показывающая как сложный интеграл разбивается на простые части методом интегрирования по частям Промпт: “educational diagram showing complex integral breaking down into simple parts, mathematical symbols, arrows showing transformation steps, modern clean style, university level”

📐 Метод интегрирования по частям

Формула и интуиция

∫ u dv = uv - ∫ v du

Интуиция: если у нас произведение двух функций, мы можем “переложить” сложность интегрирования с одной на другую.

Мнемоника для выбора u: ЛИПЭСТ

• Логарифмы (ln x, log x)
• Инверсные тригонометрические (arcsin x, arctg x)
• Полиномы (x³, x², x)
• Экспоненты (eˣ, 2ˣ)
• Синусы и косинусы (sin x, cos x)
• Тангенсы и котангенсы (tg x, ctg x)

Пример с разбором

∫ x ln x dx

1️⃣ Выбираем u и dv по правилу ЛИПЭСТ:

• u = ln x (логарифм идёт раньше полинома)
• dv = x dx

2️⃣ Находим du и v:

• du = (1/x) dx
• v = x²/2

3️⃣ Применяем формулу: ∫ x ln x dx = (ln x)(x²/2) - ∫ (x²/2)(1/x) dx = (x² ln x)/2 - ∫ x/2 dx = (x² ln x)/2 - x²/4 + C

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение интеграла x ln x с выделением каждого этапа метода интегрирования по частям Промпт: “step-by-step solution of integral x ln x, clear mathematical notation, highlighted key steps, educational style for university students, arrows showing progression”

🔍 Метод замены переменной (расширенный)

Тригонометрические подстановки

Для интегралов вида √(a² - x²), √(a² + x²), √(x² - a²) используем:

1️⃣ √(a² - x²): x = a sin t 2️⃣ √(a² + x²): x = a tg t
3️⃣ √(x² - a²): x = a sec t

Пример: ∫ √(4 - x²) dx

Подстановка: x = 2 sin t, dx = 2 cos t dt

∫ √(4 - x²) dx = ∫ √(4 - 4sin²t) · 2cos t dt = ∫ 2cos t · 2cos t dt = 4∫ cos²t dt

Используем формулу: cos²t = (1 + cos 2t)/2

= 4∫ (1 + cos 2t)/2 dt = 2∫ (1 + cos 2t) dt = 2(t + sin 2t/2) + C = 2t + sin 2t + C

Возвращаемся к x: t = arcsin(x/2), sin 2t = 2sin t cos t = 2(x/2)√(1-x²/4) = x√(4-x²)/2

Ответ: 2arcsin(x/2) + (x√(4-x²))/2 + C

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: ∫ x eˣ dx

Задание 2: ∫ (2x + 1)⁵ dx

Задание 3: ∫ cos x · ln(sin x) dx

Задание 4: ∫ x² cos x dx

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: ∫ eˣ sin x dx

Задание 6: ∫ √(9 - x²) dx

Задание 7: ∫ dx/(x√(x² + 4))

Задание 8: ∫ x³/(x² + 1)² dx

Челлендж 🔴

Задание 9: ∫ ln(x + √(x² + 1)) dx

Задание 10: ∫ sin⁴x cos²x dx

Задание 11: ∫ x² e⁻ˣ² dx

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: В методе по частям выбирают u = eˣ вместо u = x для ∫ x eˣ dx ✅ Правильно: Следовать мнемонике ЛИПЭСТ - полином важнее экспоненты 💡 Почему: При правильном выборе производная u упрощается, а не усложняется

❌ Ошибка: Забывают dx при замене переменной ✅ Правильно: Всегда выражать и dx через новую переменную
💡 Почему: dx - это дифференциал, он тоже должен быть заменён

❌ Ошибка: Не проверяют ответ дифференцированием ✅ Правильно: d/dx от результата должно давать исходную функцию 💡 Почему: Это единственный способ убедиться в правильности решения

❌ Ошибка: При тригонометрических подстановках забывают ограничения на область определения ✅ Правильно: Учитывать, что arcsin x ∈ [-π/2, π/2], arctg x ∈ (-π/2, π/2) 💡 Почему: Неправильные пределы приводят к ошибкам при обратной подстановке

🎓 Главное запомнить

✅ Интегрирование по частям: ∫ u dv = uv - ∫ v du, выбор по правилу ЛИПЭСТ ✅ Тригонометрические подстановки для радикалов: sin для √(a²-x²), tg для √(a²+x²)
✅ Всегда проверяй результат дифференцированием!

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: основы интегрирования (урок 195), производные сложных функций Куда ведёт: определённые интегралы, несобственные интегралы, дифференциальные уравнения, математический анализ в ML