Производная по направлению и градиент

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты идёшь в горы с GPS-навигатором 🏔️. Приложение показывает не только твоё местоположение, но и то, в каком направлении самый крутой подъём. Это работает благодаря градиенту - математическому инструменту, который находит направление максимального роста функции!

🌡️ Метеорология: Градиент температуры показывает, куда движутся воздушные массы
🤖 Нейросети: Градиент функции потерь указывает, как обновлять веса для улучшения точности
📊 3D-графика: Градиент яркости создаёт реалистичные тени и освещение в играх

📚 История вопроса

Понятие градиента появилось в XIX веке благодаря работам Гамильтона, который изучал физические поля. Слово “градиент” происходит от латинского “gradiens” - “шагающий”. Именно так - градиент показывает, в каком направлении нужно “шагать”, чтобы функция росла быстрее всего! 🚶‍♂️

💡 Интуиция

Допустим, у тебя есть карта высот местности - функция f(x,y), где каждая точка (x,y) имеет свою высоту f(x,y).

🔍 Производная по направлению отвечает на вопрос: “С какой скоростью меняется высота, если я иду в конкретном направлении?”

⬆️ Градиент отвечает на вопрос: “В каком направлении высота растёт быстрее всего и с какой скоростью?”

Если производная по направлению - это “скорость подъёма в выбранном направлении”, то градиент - это “компас, показывающий направление самого крутого подъёма”!

[МЕДИА: image_01] Описание: 3D поверхность функции с векторами градиента и производных по направлению Промпт: “3D mathematical surface showing contour lines, gradient vectors pointing upward, directional derivative vectors in different directions, educational visualization, clean modern style, blue and orange colors”

📐 Формальное определение

Производная по направлению

Для функции f(x,y) в точке (x₀,y₀) по направлению единичного вектора u = (cos α, sin α):

∂f/∂u = ∂f/∂x · cos α + ∂f/∂y · sin α

Градиент

Градиент функции f(x,y) - это вектор из частных производных:

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

Связь между ними

∂f/∂u = ∇f · u

Производная по направлению = скалярное произведение градиента на направляющий вектор!

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Температурное поле

Пусть температура в комнате описывается функцией: f(x,y) = 100 - x² - 2y²

Найдём градиент и производную по направлению к окну (направление вектора (1,1)).

Шаг 1: Найдём частные производные

• ∂f/∂x = -2x
• ∂f/∂y = -4y

Шаг 2: Запишем градиент ∇f = (-2x, -4y)

Шаг 3: В точке (1,2) градиент равен ∇f(1,2) = (-2, -8)

Шаг 4: Нормализуем направляющий вектор u = (1,1)/√(1²+1²) = (1/√2, 1/√2)

Шаг 5: Найдём производную по направлению ∂f/∂u = (-2, -8) · (1/√2, 1/√2) = (-2 - 8)/√2 = -10/√2 ≈ -7.07

Физический смысл: Двигаясь к окну, температура падает со скоростью 7 градусов на единицу расстояния.

[МЕДИА: image_02] Описание: Температурная карта комнаты с векторами градиента и направлением к окну Промпт: “heat map of room temperature function, gradient vectors shown as arrows, path toward window highlighted, mathematical annotations, educational style, warm-to-cool color gradient”

Пример 2: Оптимизация в машинном обучении

Функция потерь нейросети: L(w₁,w₂) = (w₁ - 3)² + 2(w₂ + 1)²

Найдём, в каком направлении нужно изменять веса для быстрейшего уменьшения ошибки.

Шаг 1: Найдём градиент

• ∂L/∂w₁ = 2(w₁ - 3)
• ∂L/∂w₂ = 4(w₂ + 1)

∇L = (2(w₁ - 3), 4(w₂ + 1))

Шаг 2: В точке (1,0): ∇L(1,0) = (2(1-3), 4(0+1)) = (-4, 4)

Шаг 3: Направление быстрейшего убывания - противоположное градиенту: -∇L = (4, -4)

Смысл: Чтобы быстро уменьшить ошибку, нужно увеличить w₁ и уменьшить w₂.

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Для функции f(x,y) = x² + y², найди градиент в точке (2,3).

Задание 2: Найди производную функции f(x,y) = xy по направлению вектора (1,0) в точке (3,2).

Задание 3: В каком направлении функция f(x,y) = x² - y² в точке (1,1) убывает быстрее всего?

Задание 4: Найди производную функции f(x,y) = sin(x+y) по направлению вектора (3,4) в точке (0,0).

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Альпинист находится в точке (2,1) на горе с высотой h(x,y) = 10 - x² - y². В каком направлении ему идти, чтобы подниматься со скоростью √2?

Задание 6: Для функции f(x,y) = e^(xy), найди производную по направлению вектора, составляющего угол 60° с осью x, в точке (0,1).

Задание 7: Температура металлической пластины T(x,y) = 100 - x² - 4y². Муравей в точке (1,1) чувствует тепло. По какому направлению температура растёт быстрее всего?

Задание 8: Найди максимальную скорость изменения функции f(x,y) = ln(x² + y²) в точке (3,4).

Челлендж 🔴

Задание 9: Робот движется по поверхности z = x²y - xy² со скоростью 2 м/с в направлении (1,1). С какой скоростью меняется его высота в точке (2,1)?

Задание 10: Докажи, что для любой дифференцируемой функции f(x,y) максимальное значение производной по направлению равно |∇f|.

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают нормализовать направляющий вектор ✅ Правильно: Всегда приводи вектор направления к единичной длине: u = v/|v| 💡 Почему: Производная по направлению определена только для единичных векторов

❌ Ошибка: Путают градиент с производной по направлению ✅ Правильно: Градиент - это вектор, производная по направлению - число 💡 Почему: Градиент показывает направление и величину максимального роста

❌ Ошибка: Считают, что градиент всегда показывает вверх ✅ Правильно: Градиент показывает направление роста функции (может быть в любую сторону) 💡 Почему: Функция может расти в любом направлении на плоскости

❌ Ошибка: Неправильно вычисляют скалярное произведение ✅ Правильно: (a,b)·(c,d) = ac + bd 💡 Почему: Это основная формула для производной по направлению

🎓 Главное запомнить

✅ Градиент ∇f показывает направление и скорость максимального роста функции ✅ Производная по направлению: ∂f/∂u = ∇f · u (скалярное произведение) ✅ Применяется в ML (градиентный спуск), физике (поля), компьютерной графике

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Частные производные (урок 211) - строительные блоки градиента Куда ведём: Условный экстремум, метод Лагранжа, градиентные методы оптимизации Связано с: Векторным анализом, теорией поля, численными методами