Экстремумы функций нескольких переменных

🎯 Зачем это нужно?

🏔️ Навигация: GPS находит кратчайший путь, минимизируя время в пути по рельефу местности 📈 Машинное обучение: Алгоритмы ищут минимум функции потерь, чтобы нейросеть лучше распознавала картинки 📊 Бизнес: Компании максимизируют прибыль при ограниченных ресурсах (сырье, время, бюджет)

Представь, что ты стоишь в горах с закрытыми глазами 🏔️. Как понять, где находишься - на вершине, в долине или на склоне? В одномерном случае достаточно было посмотреть налево-направо. А что делать, если можешь двигаться в любом направлении?

📚 История вопроса

Лагранж в 1788 году изучал задачи оптимизации для небесной механики - как планеты движутся по оптимальным траекториям. Позже Гаусс применил эти идеи для метода наименьших квадратов при обработке астрономических наблюдений. А сегодня те же принципы используют в нейросетях!

💡 Интуиция

[МЕДИА: image_01] Описание: 3D график функции двух переменных с отмеченными экстремумами Промпт: “educational 3D surface plot showing function of two variables, marked local maximum, minimum and saddle point, gradient vectors, clean mathematical visualization, university level”

Функция f(x,y) = x² + y² - 2x - 4y похожа на холмистую местность. Чтобы найти “самые высокие” и “самые низкие” точки, нужно:

🔍 Найти места, где “склон нулевой” - там, где если сделать маленький шаг в ЛЮБОМ направлении, высота почти не изменится

🧭 Проверить, что это за место: вершина горы, дно долины или седло (высоко по одной оси, низко по другой)?

Математически “склон нулевой” означает, что градиент равен нулю: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (0, 0)

📐 Формальное определение

Критическая точка функции f(x,y) - это точка (a,b), где: ∂f/∂x(a,b) = 0 и ∂f/∂y(a,b) = 0

Классификация критических точек с помощью матрицы Гессе:

H = |∂²f/∂x² ∂²f/∂x∂y| |∂²f/∂y∂x ∂²f/∂y² |

D = det(H) = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)²

• D > 0, ∂²f/∂x² > 0 → локальный минимум 🟢
• D > 0, ∂²f/∂x² < 0 → локальный максимум 🔴
• D < 0 → седловая точка ⚠️
• D = 0 → неопределенный случай 🤷‍♂️

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: f(x,y) = x² + y² - 2x - 4y + 6

Шаг 1: Найдем частные производные ∂f/∂x = 2x - 2 ∂f/∂y = 2y - 4

Шаг 2: Приравняем к нулю 2x - 2 = 0 → x = 1 2y - 4 = 0 → y = 2

Критическая точка: (1, 2)

Шаг 3: Вычислим вторые производные ∂²f/∂x² = 2 ∂²f/∂y² = 2
∂²f/∂x∂y = 0

Шаг 4: Определяем тип точки D = 2 · 2 - 0² = 4 > 0 ∂²f/∂x² = 2 > 0

Ответ: (1, 2) - локальный минимум с f(1,2) = 1

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение примера с графиком функции Промпт: “step-by-step solution of extremum problem, 3D function graph, critical point marked, partial derivatives shown, matrix calculations, educational mathematical illustration”

Пример 2: f(x,y) = x² - y² (седло)

Шаг 1-2: ∇f = (2x, -2y) = (0,0) → (0,0) критическая точка

Шаг 3-4: ∂²f/∂x² = 2, ∂²f/∂y² = -2, ∂²f/∂x∂y = 0 D = 2 · (-2) - 0² = -4 < 0

Ответ: (0,0) - седловая точка!

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди критические точки f(x,y) = x² + 4y² - 2x + 8y

Задание 2: Для f(x,y) = 3x² + 3y² - 6x найди тип критической точки

Задание 3: Исследуй f(x,y) = x² - 2xy + y² + 2x Задание 4: Найди экстремумы f(x,y) = x³ + y³ - 3xy

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Найди размеры прямоугольного ящика наибольшего объема при площади поверхности 150 м² Задание 6: Исследуй f(x,y) = (x² + y² - 1)² на экстремумы Задание 7: Найди точку на плоскости 2x + 3y - z = 6, ближайшую к началу координат Задание 8: Максимизируй f(x,y) = xy при условии x² + y² = 1

Челлендж 🔴

Задание 9: Исследуй функцию f(x,y) = x⁴ + y⁴ - 4xy + 1 на экстремумы Задание 10: Найди наибольшее и наименьшее значения f(x,y) = x² + y² - 2x в области x² + y² ≤ 4 Задание 11: Докажи, что функция f(x,y) = e^(x²+y²) не имеет максимума на всей плоскости

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают проверять тип критической точки ✅ Правильно: Всегда вычисляй дискриминант D матрицы Гессе 💡 Почему: Критическая точка может быть седлом, а не экстремумом

❌ Ошибка: Путают знак у D или ∂²f/∂x² ✅ Правильно: D > 0 И ∂²f/∂x² > 0 → минимум; D > 0 И ∂²f/∂x² < 0 → максимум 💡 Почему: Оба условия важны для определения типа экстремума

❌ Ошибка: Не проверяют границы области ✅ Правильно: Для замкнутых областей сравнивай значения внутри и на границе 💡 Почему: Глобальный экстремум может быть на границе

❌ Ошибка: Неправильно вычисляют смешанные производные ✅ Правильно: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x для гладких функций 💡 Почему: Теорема Шварца гарантирует равенство смешанных производных

🎓 Главное запомнить

✅ Критические точки: ∇f = 0 (все частные производные равны нулю) ✅ Матрица Гессе определяет тип: D > 0 (экстремум), D < 0 (седло)
✅ Применение: оптимизация в ML, экономике, физике, инженерии

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Частные производные (урок 212) → критерий экстремума Куда ведут: Условная оптимизация (метод Лагранжа), вариационное исчисление, численная оптимизация в программировании