Двойные интегралы: площади и объёмы в двух измерениях

🎯 Зачем это нужно?

🏗️ Инженерия: Расчёт массы неоднородной металлической пластины для самолёта 📊 Анализ данных: Плотность распределения данных на 2D-графиках (тепловые карты) 🎮 Компьютерная графика: Вычисление освещённости поверхностей в 3D-играх 🌍 География: Расчёт объёма воды в водохранилище по карте глубин

📚 История вопроса

В XVII веке Кавальери хотел найти объём винной бочки для своего монастыря 🍷. Он понял: если разрезать бочку на тонкие пластинки и сложить их площади, получится объём!

Позже Фубини (итальянский математик XX века) доказал, что двойной интеграл можно вычислить как два обычных интеграла подряд. Его теорема до сих пор экономит время студентам по всему миру! 😄

💡 Интуиция

Представь, что у тебя есть холмистая местность, и ты хочешь узнать объём земли под поверхностью 🏔️.

Одинарный интеграл: Как найти площадь под кривой на плоскости Двойной интеграл: Как найти объём под поверхностью в пространстве

Идея простая: режем наш ‘холм’ на тонкие вертикальные пластинки, находим площадь каждой пластинки (это одинарный интеграл!), а потом складываем все пластинки (ещё один интеграл!).

[МЕДИА: image_01] Описание: 3D визуализация поверхности z=f(x,y) над областью D, показывающая разбиение на элементарные прямоугольники Промпт: “3D mathematical visualization showing surface z=f(x,y) above region D, grid of elementary rectangles, volume elements highlighted, educational 3D rendering, clean modern style, blue and orange gradient”

📐 Формальное определение

Двойной интеграл функции f(x,y) по области D:

∬D f(x,y) dA = lim(n→∞) ∑∑ f(xᵢ,yⱼ) ΔAᵢⱼ

где ΔAᵢⱼ - площадь элементарного прямоугольника.

Теорема Фубини (наш главный инструмент): Если D = {(x,y): a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)}, то:

∬D f(x,y) dA = ∫ₐᵇ [∫{g₁(x)}^{g₂(x)} f(x,y) dy] dx

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Объём параболоида

Найти объём тела под поверхностью z = 4 - x² - y² над квадратом [0,1] × [0,1].

Решение: V = ∬_D (4 - x² - y²) dA

где D = {(x,y): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

По теореме Фубини: V = ∫₀¹ [∫₀¹ (4 - x² - y²) dy] dx

Внутренний интеграл (по y): ∫₀¹ (4 - x² - y²) dy = [4y - x²y - y³/3]₀¹ = 4 - x² - 1/3 = 11/3 - x²

Внешний интеграл (по x): V = ∫₀¹ (11/3 - x²) dx = [11x/3 - x³/3]₀¹ = 11/3 - 1/3 = 10/3

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговая визуализация вычисления двойного интеграла методом Фубини Промпт: “step-by-step mathematical illustration showing Fubini theorem application, inner and outer integration highlighted separately, clean educational diagram with color coding”

Пример 2: Полярные координаты

Найти площадь круга радиуса R.

В декартовых координатах это сложно! Но в полярных координатах (r, θ):

• x = r cos θ, y = r sin θ
• dA = r dr dθ (якобиан!)

D = {(r,θ): 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π}

S = ∬_D 1 dA = ∫₀^{2π} [∫₀^R r dr] dθ = ∫₀^{2π} [r²/2]₀^R dθ = ∫₀^{2π} R²/2 dθ = πR²

Классика! 🎯

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Вычисли ∬_D xy dA, где D = [0,2] × [0,3]

Задание 2: Найди объём тела под плоскостью z = x + y + 1 над квадратом [0,1] × [0,1]

Задание 3: Вычисли площадь области D = {(x,y): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}

Задание 4: Найди ∬_D (x² + y²) dA для единичного круга в полярных координатах

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Масса пластины с плотностью ρ(x,y) = xy над треугольником с вершинами (0,0), (1,0), (0,1)

Задание 6: Вычисли ∬_D e^{x+y} dA, где D ограничена прямыми y = 0, y = x, x = 1

Задание 7: Найди центр масс однородной пластины в форме полукруга радиуса R

Задание 8: Объём тела между параболоидами z = x² + y² и z = 2 - x² - y²

Челлендж 🔴

Задание 9: Вычисли ∬_D √(x² + y²) dA по кольцу 1 ≤ x² + y² ≤ 4 (используй полярные координаты!)

Задание 10: Найди объём тела, ограниченного поверхностями z = xy, x² + y² = 1, z = 0

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают порядок интегрирования и пределы ✅ Правильно: Внимательно определяй область D и выбирай удобный порядок 💡 Почему: Неправильные пределы = неправильный ответ

❌ Ошибка: Забывают якобиан при замене координат
✅ Правильно: В полярных координатах dA = r dr dθ, не забывай r! 💡 Почему: Якобиан учитывает ‘растяжение’ площади при замене координат

❌ Ошибка: Неправильно описывают область интегрирования ✅ Правильно: Рисуй область D на плоскости, определяй пределы по рисунку 💡 Почему: Визуализация помогает избежать ошибок в пределах

🎓 Главное запомнить

✅ Двойной интеграл = объём под поверхностью z = f(x,y) ✅ Теорема Фубини: ∬D f(x,y) dA = ∫ₐᵇ [∫{g₁(x)}^{g₂(x)} f(x,y) dy] dx ✅ Полярные координаты: dA = r dr dθ для круглых областей

🔗 Связь с другими темами

🔙 Опирается на: Определённые интегралы, функции двух переменных (урок 214) 🔜 Ведёт к: Тройные интегралы, теория поля, интегралы по поверхности