Теория поля: дивергенция и ротор

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты смотришь прогноз погоды на телефоне 🌪️. Метеорологи анализируют векторные поля ветра - в каждой точке пространства есть стрелка, показывающая скорость и направление ветра. Дивергенция покажет, где воздух “расходится” (области низкого давления), а ротор - где он “закручивается” (циклоны и антициклоны)!

Это не абстракция - Tesla использует эти концепции для расчёта магнитных полей в двигателях электромобилей 🚗, Netflix - для оптимизации потоков данных в сети 📊, а разработчики игр - для реалистичной симуляции жидкостей и дыма 🎮.

📚 История вопроса

В 1860-х годах Джеймс Максвелл пытался понять, как работают электричество и магнетизм. Он понял: нужен математический язык для описания “полей” - областей пространства, где в каждой точке что-то происходит. Так родились операторы div (дивергенция) и rot (ротор), которые сегодня используются везде - от прогнозирования землетрясений до создания спецэффектов в фильмах Marvel!

💡 Интуиция

Векторное поле - это функция, которая каждой точке пространства ставит в соответствие вектор. Как GPS-навигатор: в каждой точке карты есть стрелка “куда ехать” 🗺️.

[МЕДИА: image_01] Описание: Векторное поле скорости жидкости с визуализацией источников, стоков и вихрей Промпт: “vector field visualization showing fluid flow, arrows indicating direction and magnitude, sources (divergence), sinks, and vortices (curl), educational 3D style, blue gradient background”

Дивергенция (div F = ∇·F) отвечает на вопрос: “Насколько сильно поле расходится из данной точки?”

• div F > 0: точка-источник (как горячий радиатор - тепло расходится во все стороны)
• div F < 0: точка-сток (как слив в ванне - всё стекается сюда)
• div F = 0: поле “несжимаемое” (сколько втекает, столько и вытекает)

Ротор (rot F = ∇×F) отвечает на вопрос: “Насколько сильно поле закручивается вокруг данной точки?”

• rot F ≠ 0: есть вихрь (как водоворот в раковине)
• rot F = 0: поле потенциальное (как гравитация - можно ввести потенциальную энергию)

📐 Формальное определение

Для векторного поля F = (P, Q, R) в трёхмерном пространстве:

Дивергенция (скалярная функция):

div F = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z

Ротор (векторная функция):

rot F = ∇×F = |  i    j    k  |
               | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z|
               |  P    Q    R  |

= (∂R/∂y - ∂Q/∂z)i - (∂R/∂x - ∂P/∂z)j + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)k

Оператор набла: ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Поле скорости жидкости

F(x,y,z) = (2x, -3y, z²)

Найдём дивергенцию: div F = ∂(2x)/∂x + ∂(-3y)/∂y + ∂(z²)/∂z = 2 - 3 + 2z = 2z - 1

Физический смысл:

• При z > 1/2: div F > 0 → жидкость расширяется (источник)
• При z < 1/2: div F < 0 → жидкость сжимается (сток)
• При z = 1/2: div F = 0 → объём сохраняется

[МЕДИА: image_02] Описание: Визуализация поля скорости F=(2x,-3y,z²) с цветовой картой дивергенции Промпт: “3D vector field visualization with color-coded divergence map, red regions for positive divergence (sources), blue for negative (sinks), mathematical grid, professional scientific style”

Пример 2: Магнитное поле

B(x,y,z) = (-y, x, 0) - поле вокруг провода с током

Найдём ротор:

rot B = | i  j  k |
        |∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z|
        |-y  x  0|

= (∂0/∂y - ∂x/∂z)i - (∂0/∂x - ∂(-y)/∂z)j + (∂x/∂x - ∂(-y)/∂y)k
= 0i - 0j + (1 - (-1))k = 2k

rot B = (0, 0, 2) - постоянный вектор!

Физический смысл: Поле везде закручивается с одинаковой интенсивностью вокруг оси z. Это типичное магнитное поле прямого провода! ⚡

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди дивергенцию поля F(x,y,z) = (x², y³, z)

Задание 2: Для поля G(x,y) = (3x + y, x - 2y) найди rot G в 2D

Задание 3: Поле H = (yz, xz, xy). Вычисли div H и rot H.

Задание 4: Объясни физический смысл: div v = 0 для поля скоростей несжимаемой жидкости.

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Поле E = (x²+y², 2xy, z³). Найди точки, где div E = 0.

Задание 6: Для поля A = (y², z², x²) проверь, является ли оно потенциальным (rot A = 0?).

Задание 7: Поле температуры создаёт поток тепла q = -k∇T. Если div q = 0, что это означает физически?

Задание 8: Магнитное поле B = (0, 0, B₀) однородно. Найди rot B и объясни результат.

Челлендж 🔴

Задание 9: Докажи векторное тождество: div(rot F) = 0 для любого дважды дифференцируемого поля F.

Задание 10: В уравнениях Максвелла есть rot E = -∂B/∂t. Что произойдёт с электрическим полем, если магнитное поле быстро меняется?

Задание 11: Создай векторное поле, у которого div F = x + y + z, а rot F = 0. Подсказка: ищи потенциал φ.

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: “Дивергенция - это вектор” ✅ Правильно: Дивергенция - скаляр, ротор - вектор 💡 Почему: div = скалярное произведение ∇·F, rot = векторное произведение ∇×F

❌ Ошибка: Путают порядок в определителе для ротора ✅ Правильно: Первая строка: i, j, k; вторая: ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z; третья: P, Q, R 💡 Почему: Неправильный порядок даёт ротор с противоположным знаком

❌ Ошибка: “Если ротор равен нулю, то поля нет” ✅ Правильно: Ротор = 0 означает отсутствие вихрей, но поле может быть очень сильным 💡 Почему: Гравитационное поле имеет rot g = 0, но оно определённо существует!

❌ Ошибка: Забывают размерность при физической интерпретации ✅ Правильно: Размерность дивергенции = размерность поля / длина 💡 Почему: div v имеет размерность с⁻¹ для поля скорости

❌ Ошибка: Применяют 3D формулы к 2D задачам ✅ Правильно: В 2D ротор - скаляр: rot F = ∂Q/∂x - ∂P/∂y 💡 Почему: В 2D “ось вращения” только одна - перпендикулярная плоскости

🎓 Главное запомнить

✅ Дивергенция показывает, есть ли источники/стоки: div F = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z ✅ Ротор показывает, есть ли вихри: rot F = ∇×F (вектор в 3D, скаляр в 2D)
✅ Применение: электродинамика, гидродинамика, computer graphics, машинное обучение

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Частные производные (урок 218) → операторы поля → физические приложения Куда ведут: Теоремы Гаусса и Стокса → уравнения Максвелла → квантовая механика → теория относительности

В следующих уроках увидим, как дивергенция связана с потоком через поверхность (теорема Гаусса), а ротор - с циркуляцией по контуру (теорема Стокса). Эти связи лежат в основе всей современной физики!