Формула Стокса: связь циркуляции и вихря

🎯 Зачем это нужно?

Представь водоворот в ванной, когда вода стекает в слив 🌪️. Или лопасти вертолёта, рассекающие воздух. А может быть, магнитное поле вокруг провода с током? Все эти явления объединяет одна математическая идея - вращение векторного поля.

Формула Стокса - это мост между двумя способами измерить “закрученность” поля:

• 🔄 Сколько поле “крутится” по замкнутому контуру (циркуляция)
• 🌀 Сколько поле “завихряется” внутри поверхности (поток ротора)

Где встречается:

• 🌊 Гидродинамика: течения жидкости вокруг препятствий
• ⚡ Электродинамика: магнитное поле и закон Фарадея
• 🌪️ Метеорология: циклоны и антициклоны
• ✈️ Аэродинамика: подъёмная сила крыла самолёта

📚 История вопроса

Джордж Стокс сформулировал свою теорему в 1854 году, работая над гидродинамикой. Но самое забавное - он никогда её не публиковал! 😅 Формула стала известна из его лекций в Кембридже.

До Стокса математики решали задачи про циркуляцию и вихри по отдельности. Стокс показал, что это две стороны одной медали - как площадь и периметр связаны для окружности, только в трёхмерном пространстве!

💡 Интуиция

Представь себе обруч, который ты держишь под душем 🚿. Вода течёт в разные стороны - где-то быстрее, где-то медленнее.

Циркуляция = насколько сильно вода “толкает” обруч по кругу Поток ротора = суммарная “закрученность” воды внутри обруча

Формула Стокса утверждает: эти величины равны! 🤯

[МЕДИА: image_01] Описание: 3D визуализация векторного поля с замкнутым контуром и поверхностью, стрелки показывают направление поля Промпт: “3D educational illustration, vector field with curved arrows, closed loop boundary, surface membrane inside loop, circulation arrows along boundary, flux through surface, mathematical visualization, modern clean style”

📐 Формальное определение

Теорема Стокса: Пусть S - гладкая ориентированная поверхность с краем ∂S, и F - гладкое векторное поле. Тогда:

∮_{∂S} F · dr = ∬_S (∇ × F) · dS

где:

• Левая часть - циркуляция поля F по границе ∂S
• Правая часть - поток ротора поля через поверхность S
• ∇ × F = rot F - ротор (вихрь) векторного поля
• Ориентация границы согласована с нормалью к поверхности (правило правой руки)

В координатах: Если F = (P, Q, R), то: ∇ × F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Поле F = (-y, x, 0) и полусфера

Рассмотрим векторное поле F = (-y, x, 0) - это поле “закручивается” вокруг оси z.

Вычислим циркуляцию по окружности x² + y² = 1 в плоскости z = 0:

• Параметризация: r(t) = (cos t, sin t, 0), t ∈ [0, 2π]
• dr = (-sin t, cos t, 0) dt
• F(r(t)) = (-sin t, cos t, 0)

∮ F · dr = ∫₀^{2π} (-sin t, cos t, 0) · (-sin t, cos t, 0) dt = ∫₀^{2π} (sin² t + cos² t) dt = 2π

Теперь через поток ротора по полусфере x² + y² + z² = 1, z ≥ 0: ∇ × F = (0, 0, ∂x/∂x - ∂(-y)/∂y) = (0, 0, 2)

Поток: ∬_S (0, 0, 2) · dS = 2 × (площадь проекции на xy) = 2 × π = 2π ✅

[МЕДИА: image_02] Описание: Визуализация примера с векторным полем F=(-y,x,0), полусферой и циркуляцией Промпт: “mathematical 3D visualization showing vector field F=(-y,x,0) with swirling arrows, hemisphere surface, circular boundary, normal vectors, educational diagram with clean modern style”

Пример 2: Проверка консервативности

Поле F = (2xy, x² + z, y) на треугольнике с вершинами (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Вычислим ротор: ∇ × F = (∂y/∂y - ∂(x²+z)/∂z, ∂(2xy)/∂z - ∂y/∂x, ∂(x²+z)/∂x - ∂(2xy)/∂y) = (1-1, 0-0, 2x-2x) = (0, 0, 0)

Поскольку rot F = 0, циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю! Поле консервативно 🎯

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Вычисли циркуляцию поля F = (z, x, y) по окружности x² + y² = 4 в плоскости z = 3, используя формулу Стокса.

Задание 2: Найди ротор векторного поля F = (x²y, xy², z³) и определи, консервативно ли оно.

Задание 3: Для поля F = (0, 0, x² + y²) вычисли поток ротора через диск x² + y² ≤ 1 в плоскости z = 0.

Продвинутый уровень 🟡

Задание 4: Используя теорему Стокса, вычисли ∮_C F · dr, где F = (y², x², xy) и C - граница треугольника с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).

Задание 5: Докажи, что для любого градиентного поля F = ∇φ циркуляция по замкнутому контуру равна нулю.

Задание 6: Найди поток векторного поля F = (y, -x, z) через поверхность z = x² + y², 0 ≤ z ≤ 1, используя теорему Стокса.

Челлендж 🔴

Задание 7: Пусть F - векторное поле со свойством ∇ × F = F. Какой вид имеет циркуляция по окружности радиуса r?

Задание 8: Докажи, что если поверхность S не имеет края (замкнута), то поток ротора любого векторного поля через S равен нулю.

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают ориентацию контура и поверхности ✅ Правильно: Используй правило правой руки - если пальцы по контуру, большой палец по нормали 💡 Почему: Неправильная ориентация даёт противоположный знак

❌ Ошибка: Применяют теорему к незамкнутому контуру ✅ Правильно: Контур должен быть границей некоторой поверхности 💡 Почему: Формула связывает характеристики замкнутой кривой и ограниченной ею поверхности

❌ Ошибка: Забывают проверить гладкость поля и поверхности ✅ Правильно: Поле и поверхность должны быть дифференцируемы 💡 Почему: Иначе ротор может не существовать или быть разрывным

🎓 Главное запомнить

✅ Формула Стокса: ∮_{∂S} F · dr = ∬_S (∇ × F) · dS ✅ Связывает циркуляцию по контуру с потоком вихря через поверхность ✅ Работает в гидродинамике, электродинамике, теории поля

🔗 Связь с другими темами

Опирается на: Криволинейные интегралы, поверхностные интегралы (урок 221), ротор векторного поля Приведёт к: Теореме Гаусса-Остроградского, уравнениям Максвелла, теории потенциала Обобщает: Теорему Грина (частный случай в плоскости)