Дифференциальные уравнения 1-го порядка

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты следишь за ростом популярности TikTok-видео 📱. Скорость роста просмотров зависит от текущего количества просмотров - чем больше людей уже посмотрело, тем быстрее растёт популярность! Это и есть дифференциальное уравнение: скорость изменения = функция от текущего значения.

🚗 Физика: Скорость автомобиля связана с его ускорением 💰 Экономика: Рост банковского вклада с процентами
🦠 Медицина: Распространение эпидемий (COVID-19, грипп) 🌡️ Инженерия: Остывание кофе, разрядка батареи телефона

📚 История вопроса

В 1676 году Ньютон и Лейбниц одновременно изобрели дифференциальное исчисление, чтобы описать движение планет. Первое диффуравнение решил сам Ньютон - он хотел понять, как меняется скорость падающего яблока! 🍎

Сегодня диффуравнения управляют алгоритмами рекомендаций в YouTube, расчётом траекторий спутников GPS и даже обучением нейросетей ChatGPT!

💡 Интуиция

Дифференциальное уравнение 1-го порядка говорит нам: “Скорость изменения функции равна чему-то”.

Формально: dy/dx = f(x,y)

Простыми словами: “Если ты знаешь, как быстро что-то меняется, ты можешь найти, что это вообще такое”

[МЕДИА: image_01] Описание: График показывающий связь между функцией и её производной Промпт: “educational illustration showing function y(x) and its derivative dy/dx, tangent lines showing slope, arrows indicating rate of change, clean mathematical style, blue and red curves, white background”

Аналогия: У тебя есть спидометр автомобиля, но сломался одометр. По скорости в каждый момент времени можно восстановить пройденный путь!

📐 Формальное определение

Дифференциальное уравнение 1-го порядка - это уравнение вида:

F(x, y, y’) = 0 или dy/dx = f(x,y)

где:

• x - независимая переменная
• y = y(x) - искомая функция
• y’ = dy/dx - первая производная

Решение - это функция y(x), которая превращает уравнение в тождество.

Общее решение содержит произвольную константу C Частное решение получается при заданных начальных условиях

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Разделение переменных

Задача: Популярность видео в TikTok растёт пропорционально текущему количеству просмотров.

Модель: dy/dt = ky, где y(t) - количество просмотров, k > 0

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение уравнения с разделяющимися переменными Промпт: “step-by-step solution showing separation of variables method, mathematical equations with arrows, clear progression from differential equation to final solution, educational diagram style”

Решение:

1. Разделяем переменные: dy/y = k dt
2. Интегрируем обе части: ∫dy/y = ∫k dt
3. Получаем: ln|y| = kt + C₁
4. Потенцируем: |y| = e^(kt+C₁) = C·e^(kt), где C > 0
5. Общее решение: y(t) = Ce^(kt)

Начальные условия: При t = 0 было y₀ = 1000 просмотров Частное решение: y(t) = 1000e^(kt)

Пример 2: Линейное уравнение

Задача: Батарея телефона разряжается, но одновременно подзаряжается от power bank.

Модель: dy/dt + ay = b, где a, b - константы

Решение методом интегрирующего множителя:

1. Интегрирующий множитель: μ(t) = e^(∫a dt) = e^(at)
2. Умножаем уравнение на μ(t): e^(at)·dy/dt + a·e^(at)·y = b·e^(at)
3. Левая часть - производная произведения: d/dt[y·e^(at)] = b·e^(at)
4. Интегрируем: y·e^(at) = (b/a)e^(at) + C
5. Общее решение: y(t) = b/a + Ce^(-at)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Реши уравнение dy/dx = 3x²

Задание 2: Найди общее решение: dy/dx = y

Задание 3: Реши dy/dt = 2t с условием y(0) = 5

Задание 4: Найди решение: dy/dx = x/y

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Реши уравнение dy/dx + 2y = 4e^(-x)

Задание 6: Популяция бактерий удваивается каждые 3 часа. Найди закон роста.

Задание 7: Реши dy/dx = (x+y)/(x-y)

Задание 8: Температура кофе остывает по закону Ньютона: dT/dt = -k(T-T₀). Найди T(t).

Челлендж 🔴

Задание 9: Реши уравнение xy’ - y = x²sin(x)

Задание 10: Модель эпидемии: dy/dt = ay(N-y), где N = 1000. Найди y(t) при y(0) = 10.

Задание 11: Найди ортогональные траектории семейства кривых y = Cx²

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают константу интегрирования C ✅ Правильно: Всегда добавляй +C при интегрировании 💡 Почему: Без C решение неполное - теряешь бесконечно много функций!

❌ Ошибка: Неправильно разделяют переменные в уравнении dy/dx = xy ✅ Правильно: dy/y = x dx (y переходит в знаменатель слева!) 💡 Почему: dy/dx = xy означает dy = xy dx, поэтому dy/y = x dx

❌ Ошибка: Путают общее и частное решение ✅ Правильно: Общее содержит C, частное - конкретная функция 💡 Почему: Общее решение - это семейство кривых, частное - одна конкретная кривая

❌ Ошибка: Неверно применяют интегрирующий множитель ✅ Правильно: Для dy/dx + p(x)y = q(x) множитель μ(x) = e^(∫p(x)dx) 💡 Почему: Только так левая часть станет производной произведения

❌ Ошибка: Забывают проверить решение подстановкой ✅ Правильно: Всегда подставляй найденное y(x) обратно в уравнение! 💡 Почему: Это единственный способ убедиться, что решение правильное

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Дифференциальное уравнение связывает функцию с её производной ✅ Методы решения: Разделение переменных, интегрирующий множитель, замена переменных ✅ Применение: Модели роста, распада, движения, теплообмена - везде, где есть скорость изменения!

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Производные и интегралы (урок 222) - основа для понимания диффуравнений

Куда ведём:

• Дифференциальные уравнения высших порядков
• Системы дифференциальных уравнений
• Уравнения в частных производных
• Численные методы решения