Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты запускаешь свой стартап и хочешь спрогнозировать рост пользователей 🚀. Скорость роста зависит не только от количества уже привлечённых пользователей, но и от рекламного бюджета. Или возьми радиоактивный распад - скорость распада пропорциональна количеству атомов плюс внешнее воздействие. Все эти процессы описываются линейными дифференциальными уравнениями!

🔬 Физика: Охлаждение кофе в комнате (закон Ньютона) 💰 Экономика: Рост вклада в банке с переменной процентной ставкой
🧬 Биология: Рост популяции с учётом миграции ⚡ Электроника: Разряд конденсатора в RC-цепи

📚 История вопроса

В 1690 году Лейбниц столкнулся с уравнением, описывающим траекторию подвешенной цепи (цепная линия). Это был один из первых примеров линейного диффура! Позже Эйлер разработал элегантный метод решения, который мы используем до сих пор. Интересно, что те же уравнения теперь помогают Netflix рекомендовать фильмы - алгоритм “учится” со скоростью, пропорциональной ошибке плюс регуляризация! 🎬

💡 Интуиция

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка - это как рецепт изменения величины 📈. Представь функцию y(x) как баланс твоего счёта. Уравнение говорит: “Скорость изменения баланса равна текущему балансу, умноженному на коэффициент, плюс внешние поступления”.

dy/dx = “как быстро меняется” = “текущее значение × коэффициент” + “внешний фактор”

Если коэффициент положительный - рост ускоряется (сложные проценты). Отрицательный - затухание (радиоактивный распад). Внешний фактор - это как регулярные пополнения счёта.

[МЕДИА: image_01] Описание: График показывающий различные решения линейного диффура - экспоненциальный рост, затухание, колебания Промпт: “educational graph showing multiple solution curves of linear differential equation, exponential growth and decay curves, constant external input effects, coordinate axes labeled, modern mathematical visualization style”

📐 Формальное определение

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

dy/dx + p(x)y = q(x)

где:

• y = y(x) - искомая функция
• p(x) - коэффициент при y (может зависеть от x)
• q(x) - неоднородность (правая часть)

Стандартный метод решения: 1️⃣ Находим интегрирующий множитель: μ(x) = e^(∫p(x)dx) 2️⃣ Умножаем уравнение на μ(x) 3️⃣ Левая часть превращается в производную произведения: d/dx[μ(x)y] 4️⃣ Интегрируем и находим общее решение

Общее решение: y = (1/μ(x))[∫μ(x)q(x)dx + C]

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Охлаждение кофе ☕

Температура кофе T(t) охлаждается по закону Ньютона: dT/dt + kT = kT₀

где k > 0 - константа охлаждения, T₀ - температура комнаты.

Решение: 1️⃣ p(t) = k, q(t) = kT₀ 2️⃣ μ(t) = e^(∫k dt) = e^(kt)
3️⃣ Умножаем: e^(kt)(dT/dt + kT) = kT₀e^(kt) 4️⃣ Левая часть: d/dt[e^(kt)T] = kT₀e^(kt) 5️⃣ Интегрируем: e^(kt)T = T₀e^(kt) + C 6️⃣ Ответ: T(t) = T₀ + Ce^(-kt)

Физический смысл: кофе стремится к температуре комнаты T₀, константа C определяется начальной температурой.

[МЕДИА: image_02]
Описание: График охлаждения кофе, показывающий экспоненциальное приближение к комнатной температуре Промпт: “temperature cooling curve graph, coffee cup cooling down to room temperature, exponential decay curve, time axis, temperature axis, room temperature line, realistic physics visualization”

Пример 2: Банковский вклад с пополнениями 💳

Пусть на счёт каждый месяц добавляется 1000₽, а процентная ставка 5% годовых: dy/dt - 0.05y = 1000

Решение: 1️⃣ p(t) = -0.05, q(t) = 1000 2️⃣ μ(t) = e^(-0.05t) 3️⃣ После умножения и интегрирования: 4️⃣ Ответ: y(t) = -20000 + Ce^(0.05t)

При начальном условии y(0) = 0: C = 20000 Итоговое решение: y(t) = 20000(e^(0.05t) - 1)

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Реши уравнение dy/dx + 2y = 6

Задание 2: Найди общее решение: dy/dx - 3y = e^x

Задание 3: Реши задачу Коши: dy/dx + y = 1, y(0) = 2

Продвинутый уровень 🟡

Задание 4: Решить уравнение xy’ - y = x², x > 0

Задание 5: Модель роста стартапа: dN/dt = 0.1N + 50, где N(t) - количество пользователей, N(0) = 100

Задание 6: RC-цепь: L(dI/dt) + RI = U₀sin(ωt), найди ток I(t) при I(0) = 0

Челлендж 🔴

Задание 7: Популяция с миграцией: dp/dt = rp + m(t), где m(t) = 100cos(2πt) (сезонная миграция)

Задание 8: Смешивание растворов: в бак объёмом 100л течёт раствор концентрации 2г/л со скоростью 5л/мин. Найди концентрацию через время t.

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Забывают приводить к стандартному виду dy/dx + p(x)y = q(x) должно быть с коэффициентом 1 при dy/dx! ✅ Правильно: Если 2dy/dx + 4y = 6, то сначала делим на 2 💡 Почему: Интегрирующий множитель работает только для стандартной формы

❌ Ошибка: Неправильно вычисляют интегрирующий множитель μ(x) = e^(∫p(x)dx), НЕ e^(p(x))! ✅ Правильно: Для p(x) = x получаем μ(x) = e^(x²/2) 💡 Почему: Нужно интегрировать коэффициент p(x)

❌ Ошибка: Забывают константу интегрирования C ✅ Правильно: В общем решении всегда есть произвольная константа 💡 Почему: Это дифференциальное уравнение первого порядка - нужна одна константа

❌ Ошибка: Путают знак в интегрирующем множителе Для dy/dx - 3y = f(x) имеем p(x) = -3, значит μ(x) = e^(-3x) ✅ Правильно: Внимательно переписывай в стандартной форме!

❌ Ошибка: Неправильно применяют начальные условия ✅ Правильно: Подставляй y(x₀) = y₀ в уже найденное общее решение

🎓 Главное запомнить

✅ Стандартная форма: dy/dx + p(x)y = q(x) ✅ Интегрирующий множитель: μ(x) = e^(∫p(x)dx)
✅ Применение: физика, экономика, биология, техника ✅ Решение: умножаем на μ(x) и интегрируем

🔗 Связь с другими темами

🔙 Опирается на: Производные, интегралы, методы интегрирования (урок 223) 🔜 Ведёт к: Линейные уравнения высших порядков, системы диффуров 🌐 Связано с: Ряды Фурье (многие задачи приводят к линейным диффурам), численные методы