Системы дифференциальных уравнений

🎯 Зачем это нужно?

Представь, что ты моделируешь экосистему популяций хищников и жертв 🐺🐰. Количество волков зависит от количества зайцев, а количество зайцев — от количества волков. Одним уравнением такую взаимосвязь не опишешь!

Или возьми автопилот Tesla 🚗 — он одновременно контролирует скорость, направление, расстояние до препятствий. Все эти величины связаны и изменяются во времени по сложным законам.

Применения в реальной жизни:

• 🎮 Физика игр (движение персонажа в 3D)
• 💊 Фармакокинетика (как лекарство распределяется по органам)
• 📊 Эпидемиология (модели SIR для COVID-19)
• ⚡ Электронные схемы (RLC-контуры)

📚 История вопроса

В 1873 году Максвелл записал свои знаменитые уравнения электромагнетизма — систему из 4 уравнений, описывающую всю электродинамику! До него никто не понимал, что электричество и магнетизм — это одно явление.

А в 1920-х годах Лотка и Вольтерра независимо открыли математическую модель “хищник-жертва”, которая до сих пор используется в экологии и экономике.

💡 Интуиция

Система диффуров — это когда несколько функций “влияют друг на друга” через свои производные.

Простейший случай: dx/dt = ax + by dy/dt = cx + dy code Code Думай об этом как о танце двух величин 💃🕺 — скорость изменения каждой зависит от текущего состояния обеих!

[МЕДИА: image_01] Описание: Фазовая плоскость с траекториями системы, показывающая спирали и седловые точки Промпт: “phase plane diagram for system of differential equations, curved trajectories, spiral and saddle points, arrows showing direction field, mathematical visualization, clean academic style”

📐 Формальное определение

Система линейных диффуров первого порядка:

X’’(t) = AX(t)

где X(t) = (x₁(t), x₂(t), …, xₙ(t))ᵀ — вектор неизвестных функций,
A — матрица коэффициентов.

В развернутом виде: dx₁/dt = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ dx₂/dt = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ … dxₙ/dt = aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ code Code Общее решение: X(t) = c₁v₁e^(λ₁t) + c₂v₂e^(λ₂t) + … + cₙvₙe^(λₙt)

где λᵢ — собственные числа матрицы A,
vᵢ — соответствующие собственные векторы.

🔍 Примеры с разбором

Пример 1: Система хищник-жертва (упрощенная)

Пусть x(t) — количество зайцев, y(t) — количество волков. dx/dt = 2x - xy (зайцы размножаются, но их едят волки) dy/dt = -y + xy (волки умирают без еды, но растут от зайцев) code Code Это нелинейная система. Найдем точки равновесия: dx/dt = 0 и dy/dt = 0

Из первого: 2x - xy = 0 → x(2 - y) = 0 → x = 0 или y = 2
Из второго: -y + xy = 0 → y(-1 + x) = 0 → y = 0 или x = 1

Точки равновесия: (0,0) и (1,2)

[МЕДИА: image_02] Описание: Фазовый портрет системы хищник-жертва с замкнутыми траекториями вокруг точки равновесия Промпт: “predator-prey phase portrait, closed orbits around equilibrium point, arrows showing flow direction, labeled axes for predator and prey populations, ecological modeling visualization”

Пример 2: Линейная система 2×2

Решим систему: dx/dt = x + 2y dy/dt = 4x - y code Code Шаг 1: Записываем в матричном виде:
X’ = AX, где A = [1 2]
[4 -1]

Шаг 2: Находим собственные числа:
det(A - λE) = (1-λ)(-1-λ) - 8 = λ² - 9 = 0
λ₁ = 3, λ₂ = -3

Шаг 3: Находим собственные векторы:

Для λ₁ = 3:
(A - 3E)v₁ = 0 → [-2 2] [v₁₁] = [0] [4 -4] [v₁₂] [0]

Получаем v₁ = (1, 1)ᵀ

Для λ₂ = -3:
(A + 3E)v₂ = 0 → [4 2] [v₂₁] = [0] [4 2] [v₂₂] [0]

Получаем v₂ = (1, -2)ᵀ

Шаг 4: Записываем общее решение:
X(t) = c₁(1, 1)ᵀe³ᵗ + c₂(1, -2)ᵀe⁻³ᵗ

То есть: x(t) = c₁e³ᵗ + c₂e⁻³ᵗ y(t) = c₁e³ᵗ - 2c₂e⁻³ᵗ code Code

🎮 Практика

Базовый уровень 🟢

Задание 1: Найди точки равновесия системы: dx/dt = x - y dy/dt = 2x - 3y code Code Задание 2: Для системы X’ = AX найди собственные числа матрицы A = [0 1] [-2 3]

Задание 3: Определи тип особой точки (0,0) для системы из задания 2.

Задание 4: Реши систему методом исключения: dx/dt = y dy/dt = -4x code Code

Продвинутый уровень 🟡

Задание 5: Реши систему: dx/dt = 2x + y dy/dt = x + 2y code Code с начальными условиями x(0) = 1, y(0) = 0.

Задание 6: Исследуй на устойчивость точку равновесия (0,0) для системы: dx/dt = -x + 3y dy/dt = -2x - y code Code Задание 7: Построй фазовый портрет системы: dx/dt = y dy/dt = -x - 2y code Code Задание 8: Найди траектории системы в полярных координатах: dr/dt = r dθ/dt = 1 code Code

Челлендж 🔴

Задание 9: Модель SIR для эпидемии: dS/dt = -βSI dI/dt = βSI - γI dR/dt = γI code Code где S — здоровые, I — инфицированные, R — выздоровевшие. При β = 0.001, γ = 0.1 найди базовое число воспроизводства R₀.

Задание 10: Система с запаздыванием: dx/dt = -x(t) + y(t-1) dy/dt = x(t) - y(t) code Code Линеаризуй систему в окрестности точки равновесия.

⚠️ Частые ошибки

❌ Ошибка: Путают собственные векторы и собственные числа местами
✅ Правильно: λ — число (скаляр), v — вектор
💡 Почему: Av = λv — определяющее соотношение

❌ Ошибка: Забывают проверить линейную независимость собственных векторов
✅ Правильно: Для n различных λᵢ векторы автоматически независимы
💡 Почему: Если λᵢ ≠ λⱼ, то соответствующие векторы независимы

❌ Ошибка: Неправильно интерпретируют знак собственного числа
✅ Правильно: λ > 0 → неустойчивость, λ < 0 → устойчивость
💡 Почему: eλt растет при λ > 0 и убывает при λ < 0

❌ Ошибка: При комплексных λ забывают записать действительное решение
✅ Правильно: Используют формулы Эйлера: e^(α±iβ)t = e^αt(cos βt ± i sin βt)
💡 Почему: Физические системы имеют действительные решения

❌ Ошибка: Путают фазовые траектории с графиками функций
✅ Правильно: Траектория — путь в плоскости (x,y), а не график x(t)
💡 Почему: Фазовое пространство показывает состояние системы

🎓 Главное запомнить

✅ Суть: Система диффуров описывает взаимосвязанные изменения нескольких величин
✅ Ключевая формула: X’ = AX, решение через собственные числа и векторы
✅ Применение: От популяционных моделей до управления космическими аппаратами

🔗 Связь с другими темами

Откуда пришли: Из урока 224 (отдельные диффуры) научились решать уравнения с одной функцией

Куда идем:

• Уравнения в частных производных (математическая физика)
• Теория управления (автоматическое регулирование)
• Численные методы (когда аналитически не решается)
• Теория хаоса (нелинейные системы)