Действия с дробями
Действия с дробями
Введение
Представь: ты играешь в Minecraft и собираешь ресурсы. У тебя есть 2/3 стака алмазов, друг дал ещё 1/4 стака. Сколько теперь у тебя? 🎮
Или другая ситуация: на телефоне осталось 3/5 батареи, за час использования ушло 1/3. Сколько осталось?
Сегодня разберёмся, как складывать, вычитать, умножать и делить дроби. Это как научиться комбинировать заклинания в игре — сначала кажется сложным, но потом делаешь автоматически!
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Это самый простой случай. Правило супер-лёгкое:
Складываем числители, знаменатель не трогаем.
Пример 1: Пицца
У тебя 2/8 пиццы, взял ещё 3/8. Сколько всего?
2/8 + 3/8 = (2+3)/8 = 5/8
Логика простая: если кусочки одинакового размера (знаменатель одинаковый), просто считаем их количество (складываем числители).
Пример 2: Когда получается больше целого
3/4 + 2/4 = 5/4 = 1 целая 1/4
Получили неправильную дробь 5/4. Это значит, что у нас больше целого! Выделяем целую часть: 5÷4 = 1 (остаток 1), поэтому 1 целая 1/4.
Пример 3: Три дроби сразу
1/6 + 2/6 + 4/6 = (1+2+4)/6 = 7/6 = 1 целая 1/6
💡 Важно: Если знаменатели одинаковые — это как собирать одинаковые монетки. Просто считаем сумму!
Сложение дробей с разными знаменателями
А вот тут посложнее. Нельзя просто сложить 1/2 и 1/3, потому что это разные “размеры кусочков”.
Что делаем?
- Находим общий знаменатель (обычно НОК)
- Приводим обе дроби к этому знаменателю
- Складываем как обычно
Пример 1: Классика
Сложим 1/2 и 1/3
Шаг 1: НОК(2, 3) = 6
Шаг 2: Приводим к знаменателю 6
- Для 1/2: делим 6÷2=3, умножаем: (1·3)/(2·3) = 3/6
- Для 1/3: делим 6÷3=2, умножаем: (1·2)/(3·2) = 2/6
Шаг 3: Складываем 3/6 + 2/6 = 5/6
Пример 2: Три дроби с разными знаменателями
1/2 + 1/3 + 1/4
НОК(2, 3, 4) = 12
Приводим:
- 1/2 = 6/12 (12÷2=6)
- 1/3 = 4/12 (12÷3=4)
- 1/4 = 3/12 (12÷4=3)
Складываем: 6/12 + 4/12 + 3/12 = 13/12 = 1 целая 1/12
Лайфхак для школы 🎯
Когда пишешь в тетради, можно записывать дополнительные множители маленькими цифрами над дробями. Так сразу видно, на что умножать!
Вычитание дробей
Работает абсолютно так же, как сложение! Только вместо “плюс” пишем “минус”.
С одинаковыми знаменателями
7/10 - 3/10 = (7-3)/10 = 4/10 = 2/5
(упростили дробь, разделив на 2)
С разными знаменателями
3/4 - 1/6
НОК(4, 6) = 12
(3·3)/(4·3) - (1·2)/(6·2) = 9/12 - 2/12 = 7/12
Пример из жизни
На аккумуляторе телефона было 4/5 заряда. Поиграл в игру, потратил 1/2 заряда. Сколько осталось?
4/5 - 1/2
НОК(5, 2) = 10
8/10 - 5/10 = 3/10
Осталось 3/10 или 30% заряда. Пора на зарядку! 🔋
Умножение дроби на число
Правило: Умножаем числитель на число, знаменатель оставляем.
Примеры:
(2/5) × 3 = (2×3)/5 = 6/5 = 1 целая 1/5
(3/8) × 4 = (3×4)/8 = 12/8 = 3/2 = 1 целая 1/2
Когда можно сокращать
Если число и знаменатель имеют общий делитель, лучше сократить сразу:
(3/4) × 8 = (3×8)/4 = (3×2)/1 = 6 (сократили 8 и 4 на 4)
💡 Подсказка: Смотри на число и знаменатель — может, их можно сократить перед умножением? Так считать легче!
Умножение дробей
Правило: Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
(a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)
Примеры:
(2/3) × (4/5) = (2×4)/(3×5) = 8/15
(3/4) × (2/9) = 6/36 = 1/6 (сократили на 6)
Сокращение — твой друг! ⚡
Можно сокращать крест-накрест перед умножением:
(4/9) × (3/8) (сократили 4 и 8 на 4, сократили 3 и 9 на 3) = (1/3) × (1/2) = 1/6
Жизненный пример
У тебя есть 2/3 от 300 рублей. Сколько это?
(2/3) × 300 = (2×300)/3 = 600/3 = 200 рублей
Или: В холодильнике осталось 3/4 торта. Ты съел половину от остатка. Сколько торта съел?
(1/2) × (3/4) = 3/8 торта
Обратные числа
Это супер-важная штука для деления!
Обратное число — это когда переворачиваем дробь.
- Для 2/3 обратное — 3/2
- Для 5/8 обратное — 8/5
- Для 7 (это 7/1) обратное — 1/7
Главное свойство: Число × обратное число = 1
(3/4) × (4/3) = 12/12 = 1 ✓
Деление дробей
Главное правило деления:
Деление на дробь = умножение на обратную дробь
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)
Примеры:
1. Дробь ÷ число (3/4) ÷ 2 = (3/4) × (1/2) = 3/8
2. Число ÷ дробь 6 ÷ (2/3) = 6 × (3/2) = 18/2 = 9
Смысл: “Сколько раз 2/3 содержится в шести?” — 9 раз!
3. Дробь ÷ дробь (5/6) ÷ (2/3) = (5/6) × (3/2) = 15/12 = 5/4 = 1 целая 1/4
Жизненная задача
У тебя 2/3 литра сока. Хочешь разлить по стаканам объёмом 1/6 литра. Сколько стаканов получится?
(2/3) ÷ (1/6) = (2/3) × (6/1) = 12/3 = 4 стакана
Порядок действий с дробями
Работают те же правила, что с обычными числами:
- Скобки — сначала
- Умножение и деление — слева направо
- Сложение и вычитание — слева направо
Пример: 1/2 + (2/3) × (3/4) = 1/2 + 6/12 = 1/2 + 1/2 = 1
Сначала умножили 2/3 × 3/4, потом прибавили 1/2.
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Складывать числители И знаменатели
Неправильно: 1/2 + 1/3 = 2/5 ✗
Правильно: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 ✓
💡 Почему важно: Дроби — это не просто два числа! Они показывают части целого. Складывать можно только одинаковые части.
❌ Ошибка 2: Забыть привести к общему знаменателю
Неправильно: 2/3 - 1/4 = 1/-1 ✗
Правильно: 2/3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 5/12 ✓
💡 Почему важно: Без общего знаменателя вычитаем разные “кусочки” — это как вычитать яблоки из апельсинов.
❌ Ошибка 3: Сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой при сложении
Неправильно: 2/3 + 3/4 = 2/1 + 1/4 ✗
Правильно: Сокращать можно только при умножении!
💡 Почему важно: Сокращение — это деление, а делить можно только числитель и знаменатель одной дроби.
❌ Ошибка 4: При делении забыть “перевернуть” вторую дробь
Неправильно: (3/4) ÷ (2/5) = 6/20 ✗
Правильно: (3/4) ÷ (2/5) = (3/4) × (5/2) = 15/8 ✓
💡 Почему важно: Деление — это умножение на обратное число. Забудешь перевернуть — получишь совсем другой ответ!
❌ Ошибка 5: Не упростить ответ
Неполный ответ: 4/6 + 2/6 = 6/6
Правильный ответ: 4/6 + 2/6 = 6/6 = 1 ✓
💡 Почему важно: Неправильные дроби нужно превращать в целые числа или смешанные дроби. Это стандарт математики!
Главное запомнить
✅ Сложение/вычитание: Нужен общий знаменатель. Складываем/вычитаем только числители.
✅ Умножение: Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Можно сокращать крест-накрест!
✅ Деление: Переворачиваем вторую дробь и умножаем. Делить = умножать на обратное.
✅ Обратные числа: Просто переворачиваем дробь. Их произведение всегда равно 1.
✅ Всегда упрощай ответ: Сокращай дроби, выделяй целую часть из неправильных дробей.
✅ НОК — твой друг: Для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями ищи наименьшее общее кратное.
Практика
Уровень: Легко 🟢
Задание 1. Найди значение: 2/7 + 3/7
Задание 2. Вычисли: 5/6 - 1/6
Задание 3. Умножь: (3/5) × 2
Уровень: Средне 🟡
Задание 4. Сложи дроби: 1/4 + 1/6
Задание 5. Вычисли: 5/8 - 1/4
Задание 6. Перемножь: (2/3) × (4/5)
Задание 7. Раздели: (3/4) ÷ 2
Уровень: Сложно 🔴
Задание 8. Вычисли: 2/3 + 3/4 - 1/6
Задание 9. Раздели: (5/6) ÷ (2/3)
Задание 10. Реши цепочку: (1/2) × (4/3) ÷ (2/5)
Поздравляю! 🎉 Ты освоил все действия с дробями. Теперь можешь решать любые задачи с дробями — складывать, вычитать, умножать, делить. Это как получить новый скилл в игре — теперь доступны новые уровни математики! 🚀