5-6 класс ⏱️ 40 мин

Делители и кратные

📋 Содержание урока

Делители и кратные 🔢

Представь: ты играешь в Minecraft и нашёл 24 алмаза 💎. Хочешь поделить их поровну между друзьями, которые пришли к тебе на сервер. На сколько человек можно разделить 24 алмаза без остатка? На двоих? На троих? На пятерых? А если друзей семь?

Похожая история случается постоянно: карманные деньги делятся между покупками, места в актовом зале расставляются рядами, карточки для коллекции раскладываются по альбомам. Каждый раз ты решаешь один и тот же вопрос: «На что это число делится нацело, а на что — нет?»

Именно для таких вопросов существуют делители и кратные. Это два самых базовых понятия арифметики, и без них невозможно двигаться дальше — ни сокращать дроби, ни находить общий знаменатель, ни решать задачи на пропорции.

Ты узнаешь:

🎯 Что такое делитель и что такое кратное — и чем они принципиально различаются 🎯 Как быстро проверить делимость числа на 2, 3, 5, 9 и 10, не деля в столбик 🎯 Что такое простые и составные числа и почему единица — особенная 🎯 Как разложить любое число на простые множители 🎯 Зачем это всё нужно в жизни, играх и даже в защите твоих онлайн-паролей

История: откуда это взялось? 📜

Около 2300 лет назад, в древнегреческой Александрии, работал математик по имени Эратосфен. Он был библиотекарем и учёным-универсалом: измерил окружность Земли, составил карту звёздного неба и — что важно для нас — придумал простой способ находить все простые числа до любой границы. Способ называется «решето Эратосфена», и мы разберём его чуть ниже.

Но интерес к делителям и кратным появился задолго до Эратосфена. Ещё вавилонские купцы, торговавшие зерном и тканями, должны были уметь делить товар поровну между покупателями — без остатка, иначе спор было не избежать. А древнегреческий математик Евклид в своей книге «Начала» (примерно 300 год до н.э.) строго доказал, что простых чисел бесконечно много, и описал алгоритм нахождения общих делителей, которым мы пользуемся до сих пор.

Казалось бы, это глубокая древность. Но именно на разложении чисел на простые множители сегодня держится безопасность интернета: когда ты вводишь пароль в приложении банка, шифрование RSA использует тот факт, что раскладывать на множители очень большие числа — жутко трудно, даже для мощного компьютера. Античная арифметика защищает твою переписку прямо сейчас.

Блок 1: Делители

Что это такое простыми словами

Представь, что 24 алмаза нужно разложить в сундуки поровну — без остатка, без «лишних» камней. Если получилось разложить их на 2 сундука по 12 алмазов — значит, число 2 «подошло» к 24. Такое число называется делителем.

24 алмаза → 2 сундука по 12    ✅ подходит
24 алмаза → 3 сундука по 8     ✅ подходит
24 алмаза → 5 сундуков по 4.8  ❌ не подходит (не целое число!)

Строгое определение

Определение: Число $b$ называется делителем числа $a$, если $a$ делится на $b$ нацело, то есть без остатка (частное — целое число).

Обозначения:

Если $a$ делится на $b$ нацело, пишут: $b \mid a$ (читается «$b$ делит $a$»)
$a \div b$ — результат деления (частное)

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Найди все делители числа 18

Шаг 1: Перебираем числа от 1 до 18 и проверяем, делится ли 18 без остатка.

18 ÷ 1 = 18 ✅
18 ÷ 2 = 9  ✅
18 ÷ 3 = 6  ✅
18 ÷ 4 = 4.5 ❌
18 ÷ 5 = 3.6 ❌
18 ÷ 6 = 3  ✅

Шаг 2: Дальше можно не проверять — если делитель больше корня из числа (√18 ≈ 4.24), он уже «отражается» через уже найденную пару. Например, 6 мы нашли, а значит его «партнёр» 18 ÷ 6 = 3 мы тоже уже знаем.

Шаг 3: Собираем оставшиеся делители-«партнёры»: 9 (пара для 2) и 18 (пара для 1).

Ответ: Делители числа 18 — это 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Пример 2 (средний): У тебя 45 наклеек с игровыми персонажами. Можно ли разложить их поровну по 6 альбомам?

Шаг 1: Проверяем, является ли 6 делителем числа 45.

$$45 \div 6 = 7.5$$

Шаг 2: Получилось не целое число — значит, 6 не делитель числа 45.

Ответ: Нет, поровну по 6 альбомам не получится (осталось бы 3 наклейки лишними, если по 7 в альбом).

Пример 3 (сложный): Найди все делители числа 60

Шаг 1: Проверяем по порядку, используя пары (проверяем числа до √60 ≈ 7.75, то есть до 7):

60 ÷ 1 = 60  → пара (1, 60)
60 ÷ 2 = 30  → пара (2, 30)
60 ÷ 3 = 20  → пара (3, 20)
60 ÷ 4 = 15  → пара (4, 15)
60 ÷ 5 = 12  → пара (5, 12)
60 ÷ 6 = 10  → пара (6, 10)
60 ÷ 7 = 8.57 ❌ не подходит

Шаг 2: Собираем все числа из пар и сортируем по возрастанию.

Ответ: Делители числа 60 — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (всего 12 делителей).

Почему это важно

Понятие делителя — это фундамент, на котором строится вся дальнейшая арифметика: сокращение дробей, приведение к общему знаменателю, разбиение предметов на равные группы. Без делителей нельзя грамотно организовать ни турнир по 8 команд, ни рассадку класса по партам, ни раздачу подарков поровну.

Блок 2: Кратные числа

Что это такое простыми словами

У тебя в плейлисте треки по 3 минуты каждый 🎵. Сколько минут займут 1, 2, 3, 4 трека подряд?

1 трек = 3 минуты
2 трека = 6 минут
3 трека = 9 минут
4 трека = 12 минут
5 треков = 15 минут

Числа 3, 6, 9, 12, 15 — это кратные числа 3. Кратное — это то, что получается, когда число «повторили» несколько раз.

Строгое определение

Определение: Число $m$ называется кратным числа $a$, если $m$ делится на $a$ нацело, то есть существует целое число $k$, такое что $m = a \cdot k$.

Обозначения:

Кратные числа $a$: $a, 2a, 3a, 4a, \ldots$
У любого числа бесконечно много кратных — их список никогда не заканчивается

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Выпиши первые 6 кратных числа 7

Шаг 1: Умножаем 7 последовательно на 1, 2, 3, 4, 5, 6.

$$7 \times 1 = 7, \quad 7 \times 2 = 14, \quad 7 \times 3 = 21, \quad 7 \times 4 = 28, \quad 7 \times 5 = 35, \quad 7 \times 6 = 42$$

Ответ: 7, 14, 21, 28, 35, 42

Пример 2 (средний): Является ли 156 кратным числа 12?

Шаг 1: Проверяем, делится ли 156 на 12 нацело.

$$156 \div 12 = 13$$

Шаг 2: Получилось целое число — значит, 156 действительно кратно 12 (156 = 12 × 13).

Ответ: Да, 156 — кратное числа 12.

Пример 3 (сложный): В школьном автобусе места расставлены рядами по 4 кресла. Какое наименьшее число автобусов нужно, чтобы перевезти 130 учеников, если в каждом автобусе 40 мест (кратно 4)?

Шаг 1: Найдём, сколько полных автобусов по 40 человек нужно.

$$130 \div 40 = 3.25$$

Шаг 2: Три полных автобуса перевезут $3 \times 40 = 120$ человек, останется $130 - 120 = 10$ человек.

Шаг 3: Значит, нужен ещё один (четвёртый) автобус для оставшихся десяти.

Ответ: Понадобится 4 автобуса.

Почему это важно

Кратные числа — это оборотная сторона делителей: если 12 делится на 3, то 12 — кратное числа 3, а 3 — делитель числа 12. Это две стороны одной медали 🪙. Кратные особенно важны, когда нужно синхронизировать что-то повторяющееся: расписания, ритмы, партии товара — обо всём этом ты узнаешь подробнее в следующем уроке про НОК.

Блок 3: Признаки делимости

Что это такое простыми словами

Представь, что тебе нужно быстро понять, делится ли 2 754 на 3 — без деления в столбик. Есть простые «фокусы», которые позволяют проверить делимость числа буквально за несколько секунд, просто взглянув на его цифры.

Строгое определение

Признаки делимости — это правила, которые позволяют определить, делится ли число на 2, 3, 5, 9 или 10, не выполняя само деление.

Обозначения и правила:

На 2: число делится на 2, если последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8)
На 5: число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5
На 10: число делится на 10, если последняя цифра 0
На 3: число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3
На 9: число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Делится ли 3 470 на 2, 5 и 10?

Шаг 1: Смотрим на последнюю цифру числа 3 470 — это 0.

Шаг 2: Ноль — чётная цифра, значит делится на 2. Ноль есть в списке {0, 5}, значит делится на 5. Ноль означает делимость на 10.

Ответ: 3 470 делится и на 2, и на 5, и на 10.

Пример 2 (средний): Делится ли 2 754 на 3 и на 9?

Шаг 1: Складываем все цифры числа.

$$2 + 7 + 5 + 4 = 18$$

Шаг 2: Проверяем 18 на делимость на 3: $18 \div 3 = 6$ — целое число. Значит, 2 754 делится на 3.

Шаг 3: Проверяем 18 на делимость на 9: $18 \div 9 = 2$ — тоже целое число. Значит, 2 754 делится и на 9.

Ответ: 2 754 делится и на 3, и на 9.

Пример 3 (сложный): Число 549 делится и на 4, и на 6? Придётся скомбинировать признаки

Шаг 1: Признака «на 4» напрямую в нашем списке нет, но число делится на 4, если делится на 2 дважды подряд (или последние две цифры образуют число, делящееся на 4). Число 549 нечётное (заканчивается на 9) — уже не делится на 2, а значит точно не делится и на 4.

Шаг 2: Проверим делимость на 6. Число делится на 6, если делится одновременно на 2 и на 3. Раз 549 не делится на 2 — на 6 оно тоже не делится.

Ответ: 549 не делится ни на 4, ни на 6.

Почему это важно

Признаки делимости экономят время на контрольной, помогают быстро проверять сдачу в магазине и мгновенно понимать, можно ли что-то честно разделить поровну — без калькулятора. Это один из самых практичных «лайфхаков» школьной математики.

Блок 4: Простые и составные числа

Что это такое простыми словами

У числа 7 всего два делителя: 1 и 7 само. А у числа 12 их целых шесть: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Числа с ровно двумя делителями называются простыми — они как бы «неразбиваемые» на множители, кроме самих себя. Всё остальное (кроме единицы) — составные числа.

Строгое определение

Определение: Простое число — это натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и само это число. Составное число — это натуральное число больше 1, у которого больше двух делителей.

Обозначения:

Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
Число 1 — не простое и не составное, оно стоит особняком (у него только один делитель)
Число 2 — единственное чётное простое число

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Простое или составное число 13?

Шаг 1: Проверяем делители: делится ли 13 на 2, 3, 5, 7, 9, 11 (все числа меньше корня из 13 ≈ 3.6, то есть достаточно проверить 2 и 3)?

$$13 \div 2 = 6.5, \quad 13 \div 3 = 4.33...$$

Шаг 2: Ни на что не делится, кроме 1 и себя самого.

Ответ: 13 — простое число.

Пример 2 (средний): Простое или составное число 91? Внимание, это число-ловушка!

Шаг 1: На первый взгляд кажется простым — оно не делится на 2, 3 и 5.

$$91 \div 2 = 45.5, \quad 91 \div 3 = 30.33..., \quad 91 \div 5 = 18.2$$

Шаг 2: Но проверим 7: $91 \div 7 = 13$ — целое число!

Ответ: 91 составное: 91 = 7 × 13. Многие ошибочно считают его простым, потому что забывают проверить 7.

Пример 3 (сложный): Решето Эратосфена — найди все простые числа от 2 до 30

Шаг 1: Выписываем все числа от 2 до 30 и вычёркиваем все кратные 2 (кроме самой двойки): 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.

Шаг 2: Вычёркиваем все кратные 3 (кроме тройки): 9, 15, 21, 27 (остальные уже вычеркнуты как чётные).

Шаг 3: Вычёркиваем кратные 5 (кроме пятёрки): 25 (остальные уже вычеркнуты).

Шаг 4: Дальше проверять не нужно — следующее число для проверки, 7, уже больше √30 ≈ 5.48.

Ответ: Оставшиеся числа и есть простые: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Всего 10 простых чисел от 2 до 30.

Почему это важно

Простые числа — это «строительные кирпичики» всех натуральных чисел: любое составное число можно однозначно собрать из простых множителей (как из LEGO-деталей). Именно на трудности разложения огромных чисел на простые множители держится шифрование данных, которое защищает твои переписки, платежи и пароли в интернете.

Блок 5: Разложение на простые множители

Что это такое простыми словами

Любое составное число можно «разобрать» на простые множители — как разобрать сложную конструкцию LEGO на отдельные детали, которые уже нельзя разбить дальше.

Строгое определение

Определение: Разложение числа на простые множители — это представление числа в виде произведения простых чисел. Согласно основной теореме арифметики, такое разложение единственно (с точностью до порядка множителей).

Обозначения:

Разложение записывают через знак умножения: $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$
Повторяющиеся множители можно сворачивать в степень: $24 = 2^3 \times 3$

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Разложи число 24

Шаг 1: Делим на наименьший возможный простой множитель — на 2, пока получается.

24 ÷ 2 = 12
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 2 = 3

Шаг 2: 3 больше не делится на 2, переходим к следующему простому числу — 3.

3 ÷ 3 = 1

Шаг 3: Дошли до 1 — разложение закончено. Собираем все множители, на которые делили: 2, 2, 2, 3.

Ответ: $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$

Пример 2 (средний): Разложи число 180 «столбиком»

Шаг 1: Записываем деление в столбик — слева число, справа простой делитель.

Шаг 2: Собираем все делители из правого столбца.

Ответ: $180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

Пример 3 (сложный): Разложи год 2 024 на простые множители

Шаг 1: 2024 чётное, делим на 2 подряд.

Шаг 2: После трёх делений на 2 получили 253. Оно не делится ни на 2, ни на 3 (сумма цифр 2+5+3=10), ни на 5, ни на 7 (253 ÷ 7 = 36.1...). Пробуем 11: $253 \div 11 = 23$. А 23 — простое число.

Ответ: $2024 = 2^3 \times 11 \times 23$

Почему это важно

Разложение на простые множители — это ключ к следующему уроку: именно через него удобнее всего находить НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное), а без них не сократить ни одну дробь и не привести дроби к общему знаменателю.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Найди все делители числа 20.

Задание 2: Найди все делители числа 16.

Задание 3: Выпиши первые 6 кратных числа 4.

Задание 4: Выпиши первые 5 кратных числа 9.

Задание 5: Делится ли 348 на 3?

Задание 6: Делится ли 512 на 9?

Задание 7: Какое из чисел чётное: 57 или 84?

Задание 8: Простое или составное число 13?

Задание 9: Простое или составное число 21?

Задание 10: Разложи число 30 на простые множители.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Найди все делители числа 36.

Задание 12: Является ли число 91 простым? Проверь внимательно.

Задание 13: У тебя 45 наклеек. На сколько друзей (от 2 до 9 человек) можно разделить их поровну?

Задание 14: Разложи 60 на простые множители.

Задание 15: Разложи 100 на простые множители.

Задание 16: Делится ли число 2 340 на 6?

Задание 17: Найди наименьшее трёхзначное число, кратное 8.

Задание 18: Выпиши все простые числа между 30 и 50.

Задание 19: Разложи 90 на простые множители.

Задание 20: У числа 72 найди все делители, которые сами являются кратными числа 4.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Разложи число 2 024 на простые множители.

Задание 22: Проверь одним взглядом (без деления в столбик), делится ли 549 на 9.

Задание 23: В актовом зале 96 мест. Их можно расставить рядами, в каждом ряду — от 6 до 15 кресел. Какое число кресел в ряду возможно?

Задание 24: Найди все двузначные числа, которые делятся и на 4, и на 6 одновременно.

Задание 25: Найди оба простых числа между 50 и 60.

Задание 26: Разложи число 1 000 на простые множители.

Задание 27: На стадионе 480 зрителей рассадили поровну по секторам, в каждом секторе от 20 до 40 мест. Сколько мест могло быть в секторе?

Задание 28: У тебя 84 карточки. Хочешь разложить их по коробкам поровну, причём в каждой коробке — количество карт, кратное 7, но не более 20. Сколько карт может быть в коробке?

Задание 29: Является ли число 221 простым?

Задание 30 (комбинированное): Число $N$ при разложении на простые множители равно $2^2 \times 3 \times 5^2$. Найди само число $N$ и посчитай, сколько всего у него делителей.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путают делители и кратные Неправильно: «6 — это кратное числа 12» (перепутали направление) Правильно: 6 — делитель числа 12 (6 меньше или равно 12), а 12 — кратное числа 6 Почему важно: Делитель всегда ≤ числа, кратное всегда ≥ числа. Спутав их, ты решишь задачу наоборот.

❌ Ошибка 2: Забывают включать 1 и само число в список делителей Неправильно: делители 15 — это 3, 5 Правильно: делители 15 — это 1, 3, 5, 15 Почему важно: У любого числа есть минимум два «крайних» делителя — единица и оно само.

❌ Ошибка 3: При разложении на множители пробуют делить на составные числа Неправильно: «24 = 4 × 6, дальше не раскладываю» Правильно: нужно дойти до простых множителей: $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3$ Почему важно: Разложение считается завершённым только тогда, когда все множители — простые числа.

❌ Ошибка 4: Неправильно применяют признак делимости на 3 или на 9 Неправильно: складывают только первую и последнюю цифру Правильно: складывай все цифры числа без исключения Почему важно: Частичная сумма даёт неверный результат почти всегда.

❌ Ошибка 5: Считают единицу простым числом Неправильно: «1, 2, 3, 5, 7 — вот первые простые числа» Правильно: первое простое число — это 2, единица не входит ни в простые, ни в составные Почему важно: У единицы только один делитель (она сама), а по определению простого числа делителей должно быть ровно два.

❌ Ошибка 6: Считают, что если число не делится на 2 и на 3, оно точно простое Неправильно: «91 не делится на 2 и 3, значит оно простое» Правильно: нужно проверить все простые числа примерно до квадратного корня — для 91 это ещё и 5, и 7. $91 = 7 \times 13$ Почему важно: Такая ошибка — самая частая ловушка на контрольных с «числами-обманками».

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Делитель числа $a$ — число, на которое $a$ делится нацело (делитель ≤ числа)

✅ Кратное числа $a$ — число, которое делится на $a$ нацело (кратное ≥ числа), кратных бесконечно много

✅ Признак делимости на 2: последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6, 8)

✅ Признак делимости на 5: последняя цифра 0 или 5

✅ Признак делимости на 10: последняя цифра 0

✅ Признак делимости на 3: сумма всех цифр делится на 3

✅ Признак делимости на 9: сумма всех цифр делится на 9

✅ Простое число — имеет ровно 2 делителя (1 и себя самого)

✅ Составное число — имеет больше 2 делителей

✅ Единица — не простое и не составное число, особый случай

✅ Разложение на простые множители — единственное для каждого числа представление его в виде произведения простых чисел

Связь с другими темами

Что нужно было знать до этого урока:

Умножение и деление — без них нельзя проверить, делится ли число нацело
Порядок действий — пригодится при проверке составных признаков делимости

Что изучить дальше:

НОД и НОК — следующий урок: используют делители и кратные, чтобы находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное сразу нескольких чисел
Дроби — сокращение дробей целиком опирается на общие делители числителя и знаменателя
Простые множители — понадобятся снова при работе со степенями и корнями в старших классах

Где это нужно в жизни:

🎮 В играх: Когда нужно поровну разделить ресурсы между членами команды или расставить юнитов равными рядами.

📱 В технологиях: Разложение на простые множители лежит в основе шифрования RSA — той самой технологии, которая защищает переписки и платежи в интернете.

💰 В финансах: Деление карманных денег или призового фонда поровну между несколькими людьми без остатка — классическая задача на делители.

🏫 В школе: Рассадка класса по партам, деление на команды для эстафеты, расстановка стульев в актовом зале — везде нужны делители числа учеников.

Интересные факты

💡 Решету Эратосфена больше 2000 лет, а оно всё ещё быстрее многих «умных» алгоритмов для поиска простых чисел в небольших пределах. Программисты используют его версию до сих пор при написании кода.

💡 Самое большое известное простое число на 2024 год содержит больше 41 миллиона цифр. Если его напечатать мелким шрифтом, потребуется книга толщиной в несколько метров.

💡 Простых чисел бесконечно много — это доказал ещё Евклид больше 2000 лет назад, причём доказательство умещается в несколько строк и до сих пор считается одним из самых красивых в математике.

💡 91 — самое известное число-ловушка на контрольных по математике: оно не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, из-за чего кажется простым, но на самом деле $91 = 7 \times 13$.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Проверка делимости на 4 Число делится на 4, если на 4 делятся его последние две цифры. Пример: 3 716 → смотрим на 16, $16 \div 4 = 4$ — значит, всё число делится на 4.

2. Проверка делимости на 8 Аналогично, но смотри на последние три цифры. Пример: 5 128 → 128, $128 \div 8 = 16$ — делится.

3. Ищи делители парами Когда перечисляешь делители числа, находи их сразу парами: нашёл $a$, сразу вычисли партнёра $N \div a$. Так делители «сходятся» с двух концов, и ты не пропустишь ни одного.

4. Проверяй простое число только до корня Чтобы проверить, простое ли число $N$, достаточно попробовать разделить его на все простые числа до $\sqrt{N}$. Если ни одно не подошло — число точно простое.

5. Мнемоника для 3 и 9 «Три и девять любят сумму»: для обоих признаков складывай все цифры. Если сумма делится на 3 — число делится на 3. Если сумма делится на 9 — число делится на 9 (а заодно и на 3).

💡 Совет: Делители и кратные кажутся скучной темой, пока не понимаешь, что вся дальнейшая математика — дроби, пропорции, уравнения — строится именно на них. Потрать время сейчас на то, чтобы уверенно раскладывать числа на множители — и следующие уроки дадутся в разы легче.

Готов двигаться дальше? В следующем уроке ты узнаешь, как находить НОД и НОК — самые полезные инструменты для работы с дробями. →

Есть вопросы?

Задай вопрос AI-учителю в Telegram

🤖 Открыть бота →

💬 Нашёл ошибку или есть вопрос по уроку? Написать в Telegram →