Смешанные числа
Смешанные числа: когда целого не хватает
Что это такое?
Помнишь смешанные числа из прошлых уроков? Это числа, где есть целая часть (полные штуки) и дробная часть (кусочек от следующей штуки). Например, 2½ — это две целых и половина.
В реальной жизни мы постоянно сталкиваемся со смешанными числами:
- “Я прошёл 3½ уровня в игре” 📱
- “Съел 2¼ пиццы на вечеринке” 🍕
- “Пробежал 1⅔ круга вокруг стадиона” 🏃
В этом уроке научимся складывать, вычитать, умножать и делить смешанные числа. Да, это посложнее обычных дробей, но если разобраться — всё логично!
Сложение: собираем кусочки
Целое число + дробь
Самая простая ситуация. У тебя есть 2 полных энергетика в инвентаре, друг даёт ещё половину. Сколько всего?
2 + ½ = ?
Тут всё просто: записываем вместе целую и дробную части:
2 + ½ = 2½
Вот и всё! Знак “+” можно опустить, когда пишем смешанное число.
🎯 Важный момент: Если дробная часть — неправильная дробь, сначала выдели из неё целую часть!
Пример: 2 + ⁵⁄₂
Сначала разбираемся с ⁵⁄₂ = 2½, потом складываем: 2 + 2½ = 4½
Смешанное + Смешанное
Теперь посложнее. У тебя 2½ стака алмазов в Minecraft, нашёл ещё 1⅓ стака. Сколько всего?
2½ + 1⅓ = ?
Алгоритм:
- Складываем целые части отдельно: 2 + 1 = 3
- Складываем дробные части отдельно: ½ + ⅓
- Приводим дроби к общему знаменателю: ³⁄₆ + ²⁄₆ = ⁵⁄₆
- Собираем ответ: 3⁵⁄₆
Полное решение: 2½ + 1⅓ = (2 + 1) + (½ + ⅓) = 3 + ⁵⁄₆ = 3⁵⁄₆
Когда дробная часть “переполняется”
Иногда при сложении дробных частей получается неправильная дробь. Ничего страшного!
Пример: 4⅔ + 3¾ = ?
- Целые: 4 + 3 = 7
- Дроби: ⅔ + ¾ = ⁸⁄₁₂ + ⁹⁄₁₂ = ¹⁷⁄₁₂
- Упс! ¹⁷⁄₁₂ — это неправильная дробь = 1⁵⁄₁₂
- Добавляем к целой части: 7 + 1⁵⁄₁₂ = 8⁵⁄₁₂
✅ Правило: Если дробная часть ≥ 1, выдели целую часть и добавь к основной!
Вычитание: отнимаем кусочки
Вычитание дроби из целого числа
У тебя 3 полных батончика, съел ⅓ одного. Сколько осталось?
3 - ⅓ = ?
Способ 1 (через дроби): Превращаем 3 в дробь ³⁄₁, потом вычитаем: ³⁄₁ - ⅓ = ⁹⁄₃ - ⅓ = ⁸⁄₃ = 2⅔
Способ 2 (в уме): Представь: у тебя 3 батончика, откусил треть от одного. Остаётся 2 целых + две трети от третьего = 2⅔
Вычитание смешанных чисел
Самое сложное! Допустим, у тебя было 5⅓ часа игрового времени, потратил 2½ часа. Сколько осталось?
5⅓ - 2½ = ?
Способ 1 (превращаем в неправильные дроби):
- 5⅓ = ¹⁶⁄₃
- 2½ = ⁵⁄₂
- ¹⁶⁄₃ - ⁵⁄₂ = ³²⁄₆ - ¹⁵⁄₆ = ¹⁷⁄₆ = 2⁵⁄₆
Способ 2 (по частям):
- Вычитаем целые: 5 - 2 = 3
- Вычитаем дробные: ⅓ - ½
- Приводим к общему знаменателю: ²⁄₆ - ³⁄₆ = -¹⁄₆
- Упс! Получилось отрицательное. “Забираем” единицу из целой части: 3 - 1 = 2, но добавляем ⁶⁄₆ к дробной части
- Теперь: ⁶⁄₆ + (-¹⁄₆) = ⁵⁄₆
- Ответ: 2⁵⁄₆
💡 Лайфхак: Для вычитания проще превращать всё в неправильные дроби!
Умножение: берём несколько раз
Целое число × дробь
Сколько получится, если 5 друзей принесут по ½ пиццы на вечеринку?
5 × ½ = ?
Умножаем целое число на числитель, знаменатель оставляем: 5 × ½ = ⁵⁄₂ = 2½ пиццы
Логика: если каждый принёс половинку, то из пяти половинок сложится 2½ пиццы!
Смешанное × дробь
У тебя 2½ литра колы, хочешь взять ⅔ от этого количества. Сколько возьмёшь?
2½ × ⅔ = ?
Алгоритм:
- Превращаем смешанное в неправильную: 2½ = ⁵⁄₂
- Умножаем дроби: ⁵⁄₂ × ⅔ = ¹⁰⁄₆
- Упрощаем: ¹⁰⁄₆ = ⁵⁄₃ = 1⅔ литра
Смешанное × Смешанное
Самый навороченный случай! Сколько получится: 1½ × 2¼ = ?
Решение:
- Превращаем оба в неправильные:
- 1½ = ³⁄₂
- 2¼ = ⁹⁄₄
- Умножаем: ³⁄₂ × ⁹⁄₄ = ²⁷⁄₈
- Выделяем целую часть: ²⁷⁄₈ = 3⅜
Деление: делим на части
Целое ÷ дробь
Сколько раз ½ содержится в 3?
3 ÷ ½ = ?
Вспоминаем правило: делить на дробь = умножить на обратную
- Обратная для ½ это ²⁄₁ = 2
- 3 × 2 = 6
Логика: в трёх целых помещается 6 половинок!
Смешанное ÷ целое
У тебя 4½ плитки шоколада, делишь поровну между 3 друзьями. Сколько каждому?
4½ ÷ 3 = ?
- Превращаем в неправильную: 4½ = ⁹⁄₂
- Делим на 3: ⁹⁄₂ ÷ 3 = ⁹⁄₂ × ⅓ = ⁹⁄₆
- Упрощаем: ⁹⁄₆ = ³⁄₂ = 1½ плитки каждому
Смешанное ÷ Смешанное
Высший пилотаж! Сколько раз 1¼ помещается в 2½?
2½ ÷ 1¼ = ?
- Превращаем оба:
- 2½ = ⁵⁄₂
- 1¼ = ⁵⁄₄
- Делим: ⁵⁄₂ ÷ ⁵⁄₄ = ⁵⁄₂ × ⁴⁄₅ = ²⁰⁄₁₀ = 2
Ответ: ровно 2 раза!
Универсальный метод: неправильные дроби
Хочешь упростить себе жизнь? Для любых действий со смешанными числами работает один метод:
- Превращаем все смешанные в неправильные дроби
- Выполняем действие (как с обычными дробями)
- Возвращаем обратно в смешанное (если нужно)
Пример: (3⅔ × 2¼) ÷ 1½ = ?
- Превращаем: ¹¹⁄₃ × ⁹⁄₄ ÷ ³⁄₂
- Умножаем: ⁹⁹⁄₁₂ ÷ ³⁄₂
- Делим: ⁹⁹⁄₁₂ × ²⁄₃ = ¹⁹⁸⁄₃₆ = ⁹⁹⁄₁₈ = ⁵⁵⁄₉ = 5⁵⁄₉
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Забывают выделять целую часть из дробной 4⅔ + 3¾ = 7¹⁷⁄₁₂ ← НЕПРАВИЛЬНО! ✅ Правильно: 7¹⁷⁄₁₂ = 7 + 1⁵⁄₁₂ = 8⁵⁄₁₂
💡 Почему важно: Смешанное число должно иметь правильную дробную часть (меньше 1)!
❌ Ошибка 2: Складывают/вычитают знаменатели 2½ + 3⅓ = 5⅚ ← НЕПРАВИЛЬНО! (½ + ⅓ ≠ ⅚) ✅ Правильно: 2½ + 3⅓ = 2³⁄₆ + 3²⁄₆ = 5⁵⁄₆
💡 Почему важно: Знаменатели показывают размер кусков, их нельзя просто складывать!
❌ Ошибка 3: Умножают/делят смешанные напрямую 2½ × 3 = 6½ ← НЕПРАВИЛЬНО! ✅ Правильно: 2½ × 3 = ⁵⁄₂ × 3 = ¹⁵⁄₂ = 7½
💡 Почему важно: При умножении/делении ВСЕГДА превращай в неправильные дроби!
❌ Ошибка 4: Путают “делить на дробь” и “делить дробь” 3 ÷ ½ = 1½ ← НЕПРАВИЛЬНО! (забыли перевернуть) ✅ Правильно: 3 ÷ ½ = 3 × 2 = 6
💡 Почему важно: Деление на дробь = умножение на перевёрнутую!
❌ Ошибка 5: Неправильно занимают единицу при вычитании 3¼ - 1½ = 2¼ ← НЕПРАВИЛЬНО! (не заняли) ✅ Правильно: 3¼ - 1½ = 2⁵⁄₄ - 1²⁄₄ = 1¾
💡 Почему важно: Если дробная часть уменьшаемого меньше вычитаемой — занимай единицу!
Практика
Лёгкий уровень
Задание 1. Найди значение: 3 + ⅖
Задание 2. У тебя 2⅓ стака стрел, подобрал ещё 1¼ стака. Сколько стало?
Задание 3. Найди значение: 1½ + 2⅓
Средний уровень
Задание 4. Вычисли: 5⅔ - 2¾
Задание 5. У тебя было 4¼ часа, потратил 1⅔ часа. Сколько осталось?
Задание 6. Умножь: 2⅖ × 1⅔
Задание 7. Раздели: 3¾ ÷ 1½
Сложный уровень
Задание 8. Вычисли: (2½ + 1⅓) × 1⅕
Задание 9. У тебя 6⅔ литра сока, выпил ⅜ от этого количества. Сколько литров выпил?
Задание 10. Реши: (4⅔ - 2¾) ÷ 1⅙ + ½
Главное запомнить
✅ Смешанное число = целая часть + дробная часть (обе записываются вместе)
✅ Сложение/вычитание: складывай/вычитай целые и дроби отдельно, следи за переполнением
✅ Умножение/деление: ВСЕГДА превращай в неправильные дроби сначала
✅ Универсальный метод: преобразуй в неправильные → действуй → преобразуй обратно
✅ Проверяй: дробная часть должна быть < 1 (правильная дробь)
✅ Деление на дробь = умножение на обратную (не забывай переворачивать!)
🎯 Лайфхак для жизни: Смешанные числа — это про реальный мир. Когда видишь “2½ часа” или “1¾ пиццы” — ты уже работаешь со смешанными числами!