Сравнение дробей
Сравнение дробей
Введение
Представь: у тебя 3/4 пиццы, а у друга 2/3 такой же пиццы. Кто съел больше? 🍕
Или другая ситуация: в игре ты прошёл 5/8 уровня, а твой друг — 7/12. Кто дальше продвинулся? 🎮
Чтобы ответить на такие вопросы, нужно научиться сравнивать дроби. Это как определять, кто выше ростом или у кого больше очков — только с дробями!
Случай 1: Одинаковые знаменатели
Это самая простая ситуация! Когда у дробей одинаковый знаменатель (нижнее число), сравниваем только числители (верхние числа).
Правило: Из двух дробей с одинаковым знаменателем больше та, у которой числитель больше.
Пример из жизни
Допустим, шоколадка разделена на 10 долек:
- Ты съел 7/10 шоколадки
- Друг съел 4/10 такой же шоколадки
Кто съел больше? Смотрим на числители: 7 > 4, значит 7/10 > 4/10
Ты победил в этом соревновании! 🏆
Ещё примеры
- 3/5 и 4/5 — знаменатели одинаковые (5), сравниваем числители: 3 < 4, поэтому 3/5 < 4/5
- 9/12 и 11/12 — знаменатели одинаковые (12), числители: 9 < 11, поэтому 9/12 < 11/12
- 15/20 и 8/20 — знаменатели одинаковые (20), числители: 15 > 8, поэтому 15/20 > 8/20
Случай 2: Одинаковые числители
Здесь всё немного хитрее! Когда числители одинаковые, сравниваем знаменатели, но будь внимателен — здесь всё наоборот!
Правило: Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше.
Звучит странно? Сейчас объясню!
Почему так?
Представь две одинаковые пиццы:
- Первую разрезали на 3 части, ты взял 1 кусок → получил 1/3
- Вторую разрезали на 4 части, друг взял 1 кусок → получил 1/4
Чей кусок больше? Конечно, твой! Потому что когда пиццу делят на меньше частей, каждый кусок получается крупнее.
1/3 > 1/4 (хотя 3 < 4)
Примеры
- 2/7 и 2/5 — числители одинаковые (2), знаменатели: 7 > 5, поэтому 2/7 < 2/5
- 5/8 и 5/10 — числители одинаковые (5), знаменатели: 8 < 10, поэтому 5/8 > 5/10
- 3/4 и 3/6 — числители одинаковые (3), знаменатели: 4 < 6, поэтому 3/4 > 3/6
Случай 3: Разные числители и знаменатели
Это самый сложный случай! Нужно привести дроби к общему знаменателю, а потом сравнить.
Алгоритм действий
Шаг 1: Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей Шаг 2: Найти дополнительные множители для каждой дроби Шаг 3: Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель Шаг 4: Сравнить получившиеся дроби (у них уже одинаковые знаменатели!)
Пример: Сравним 5/6 и 3/4
Шаг 1: НОК(6, 4) = 12
Шаг 2:
- Для 5/6: дополнительный множитель = 12 ÷ 6 = 2
- Для 3/4: дополнительный множитель = 12 ÷ 4 = 3
Шаг 3:
- 5/6 = (5×2)/(6×2) = 10/12
- 3/4 = (3×3)/(4×3) = 9/12
Шаг 4: Сравниваем 10/12 и 9/12 → 10 > 9, поэтому 5/6 > 3/4
Ещё пример: Сравним 2/3 и 5/8
Шаг 1: НОК(3, 8) = 24
Шаг 2:
- Для 2/3: множитель = 24 ÷ 3 = 8
- Для 5/8: множитель = 24 ÷ 8 = 3
Шаг 3:
- 2/3 = 16/24
- 5/8 = 15/24
Шаг 4: 16/24 > 15/24, поэтому 2/3 > 5/8
Сравнение смешанных чисел
Когда нужно сравнить смешанные числа (например, 2¾ и 3½), есть два подхода:
Способ 1: Сравнить целые части
Если целые части разные, ответ очевиден:
- 3½ > 2¾ (потому что 3 > 2, неважно что там в дробной части)
- 5⅔ > 4⅞ (потому что 5 > 4)
Способ 2: Когда целые части одинаковые
Если целые части равны, сравниваем дробные части:
- 2⅗ и 2½ → сравниваем 3/5 и 1/2 → приводим к общему знаменателю → 6/10 и 5/10 → 2⅗ > 2½
Способ 3: Перевести в неправильные дроби
Иногда проще перевести всё в неправильные дроби и сравнить их:
- 1¾ и 1⅚
- 1¾ = 7/4 = 21/12
- 1⅚ = 11/6 = 22/12
- 21/12 < 22/12, поэтому 1¾ < 1⅚
Практика
Лёгкий уровень
Задание 1: Сравни дроби (поставь знак >, < или =)
- 3/7 __ 5/7
- 2/9 __ 2/9
- 8/11 __ 6/11
- 4/15 __ 9/15
Показать решение
- 3/7 < 5/7 (одинаковые знаменатели, 3 < 5)
- 2/9 = 2/9 (одинаковые дроби)
- 8/11 > 6/11 (одинаковые знаменатели, 8 > 6)
- 4/15 < 9/15 (одинаковые знаменатели, 4 < 9)
Задание 2: Сравни дроби (одинаковые числители)
- 1/4 __ 1/3
- 5/8 __ 5/12
- 3/10 __ 3/7
- 7/20 __ 7/15
Показать решение
- 1/4 < 1/3 (одинаковые числители, 4 > 3, поэтому первая дробь меньше)
- 5/8 > 5/12 (одинаковые числители, 8 < 12)
- 3/10 < 3/7 (одинаковые числители, 10 > 7)
- 7/20 < 7/15 (одинаковые числители, 20 > 15)
Средний уровень
Задание 3: Сравни дроби, приведя к общему знаменателю
- 2/3 __ 3/4
- 5/6 __ 7/9
- 3/5 __ 4/7
Показать решение
- 2/3 и 3/4: НОК(3,4)=12 → 8/12 и 9/12 → 2/3 < 3/4
- 5/6 и 7/9: НОК(6,9)=18 → 15/18 и 14/18 → 5/6 > 7/9
- 3/5 и 4/7: НОК(5,7)=35 → 21/35 и 20/35 → 3/5 > 4/7
Задание 4: Расположи дроби в порядке возрастания
- 1/2, 2/5, 3/4, 1/3
Показать решение
НОК(2,5,4,3) = 60
- 1/2 = 30/60
- 2/5 = 24/60
- 3/4 = 45/60
- 1/3 = 20/60
Порядок: 1/3, 2/5, 1/2, 3/4
Задание 5: Сравни смешанные числа
- 2⅓ __ 2⅖
- 1⅚ __ 1¾
- 3½ __ 3⅗
Показать решение
- 2⅓ и 2⅖: целые части равны, сравниваем 1/3 и 2/5 → 5/15 и 6/15 → 2⅓ < 2⅖
- 1⅚ и 1¾: целые части равны, сравниваем 5/6 и 3/4 → 10/12 и 9/12 → 1⅚ > 1¾
- 3½ и 3⅗: целые части равны, сравниваем 1/2 и 3/5 → 5/10 и 6/10 → 3½ < 3⅗
Сложный уровень
Задание 6: В игре три друга прошли уровень:
- Миша: 7/12 уровня
- Саша: 5/9 уровня
- Лёша: 3/4 уровня
Расположи их по результатам от худшего к лучшему.
Показать решение
НОК(12,9,4) = 36
- Миша: 7/12 = 21/36
- Саша: 5/9 = 20/36
- Лёша: 3/4 = 27/36
От худшего к лучшему: Саша (5/9), Миша (7/12), Лёша (3/4)
Задание 7: На YouTube-канале:
- Видео А набрало 2/5 от миллиона просмотров
- Видео Б набрало 3/8 от миллиона просмотров
- Видео В набрало 7/20 от миллиона просмотров
Какое видео популярнее всего? Какое на втором месте?
Показать решение
НОК(5,8,20) = 40
- Видео А: 2/5 = 16/40
- Видео Б: 3/8 = 15/40
- Видео В: 7/20 = 14/40
Видео А самое популярное (16/40), Видео Б на втором месте (15/40)
Задание 8: Верно ли утверждение? “Если числитель одной дроби меньше числителя другой дроби, то и сама дробь меньше”
Показать решение
Неверно! Контрпример: 1/2 и 2/5
- Числитель: 1 < 2
- Но дроби: 1/2 = 5/10 и 2/5 = 4/10, поэтому 1/2 > 2/5
Правило работает только когда знаменатели одинаковые!
Задание 9: Найди дробь, которая находится ровно посередине между 1/3 и 1/2
Показать решение
Сначала приведём к общему знаменателю:
- 1/3 = 2/6
- 1/2 = 3/6
Между 2/6 и 3/6 находится… подождите, между ними нет дроби со знаменателем 6!
Нужен больший знаменатель: 12
- 1/3 = 4/12
- 1/2 = 6/12
Между ними находится 5/12
Проверка: 4/12 < 5/12 < 6/12 ✓
Задание 10 (творческое): Придумай три дроби так, чтобы:
- Все три дроби были меньше 1
- Первая была меньше 1/2
- Вторая была между 1/2 и 3/4
- Третья была больше 3/4
- У всех разные знаменатели
Пример решения
Возможный вариант:
- 1/3 (это меньше 1/2, так как 1/3 = 2/6 < 3/6 = 1/2)
- 5/8 (это между 1/2 и 3/4, так как 4/8 < 5/8 < 6/8)
- 4/5 (это больше 3/4, так как 16/20 > 15/20)
Есть много других правильных ответов!
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: “Чем больше знаменатель, тем больше дробь” Многие думают, что 1/8 больше, чем 1/4, потому что 8 > 4.
✅ Правильно: При одинаковых числителях всё наоборот! 1/4 > 1/8, потому что когда делишь на меньшее число частей, каждая часть получается крупнее.
💡 Запомни: Представь пиццу: 1 кусок из 4 больше, чем 1 кусок из 8!
❌ Ошибка 2: Сравнивать числители и знаменатели отдельно “3/5 < 4/7, потому что 3 < 4 и 5 < 7”
✅ Правильно: Нельзя сравнивать числа “крест-накрест”! Нужно привести к общему знаменателю: 3/5 = 21/35, а 4/7 = 20/35, поэтому 3/5 > 4/7
💡 Запомни: Дробь — это единое целое, её нельзя разбивать на части при сравнении.
❌ Ошибка 3: Забывать, что у смешанных чисел сначала сравниваются целые части При сравнении 2⅞ и 3⅛ смотрят только на дробные части: “7/8 > 1/8, значит 2⅞ > 3⅛”
✅ Правильно: Сначала смотрим на целые: 2 < 3, поэтому 2⅞ < 3⅛, неважно что в дробной части!
💡 Запомни: Целая часть всегда важнее дробной.
❌ Ошибка 4: Путать знаки > и Пишут “5/6 < 2/3” вместо “5/6 > 2/3”
✅ Правильно: Острый угол знака всегда указывает на меньшее число. Можно представить знак как клюв птицы, которая хочет съесть бОльшее число: 5/6 > 2/3
💡 Лайфхак: Большая сторона знака (открытая) — у большего числа!
❌ Ошибка 5: Не упрощать дроби перед сравнением Сравнивают 4/6 и 10/15, приводя к НОК(6,15)=30, хотя можно было сократить
✅ Правильно: Сначала упрости: 4/6 = 2/3 и 10/15 = 2/3, сразу видно что они равны!
💡 Совет: Всегда сокращай дроби перед сравнением — работы будет меньше.
Главное запомнить
✅ Одинаковые знаменатели → сравниваем числители (больше числитель = больше дробь)
✅ Одинаковые числители → сравниваем знаменатели наоборот (меньше знаменатель = больше дробь)
✅ Разные всё → приводим к общему знаменателю, потом сравниваем
✅ Смешанные числа → сначала целые части, потом дробные
✅ Золотое правило: Когда сомневаешься — приведи к общему знаменателю!
Полезные подсказки
🎯 Если нужно сравнить несколько дробей — приведи их все к одному знаменателю (НОК всех знаменателей)
🎯 Любую дробь можно сравнить с ½ — это часто помогает понять примерный размер дроби
🎯 Чтобы проверить себя, переведи дроби в десятичные на калькуляторе
🎯 При сравнении смешанных чисел можно переводить их в неправильные дроби — иногда так проще