Десятичные дроби
Десятичные дроби
Введение
Помнишь обыкновенные дроби с их числителями и знаменателями? Теперь познакомимся с их “младшими сёстрами” — десятичными дробями. Они работают точно так же, но выглядят проще и удобнее в использовании.
Представь: ты купил игру за 499 рублей 50 копеек. Как записать эту цену одним числом? Правильно — 499,50₽. Это и есть десятичная дробь! Запятая отделяет целые рубли от копеек.
Что такое десятичная дробь?
Десятичная дробь — это способ записать обыкновенную дробь БЕЗ знаменателя, используя запятую.
Главное правило: в знаменателе должно быть 10, 100, 1000 или 10000.
Как это работает?
Возьмём линейку. 1 дециметр = 10 сантиметров.
Один сантиметр — это $\frac{1}{10}$ дециметра (одна десятая).
Три сантиметра — это $\frac{3}{10}$ дециметра (три десятых).
Шесть целых дециметров и 3 сантиметра можно записать как:
Способ 1 (старый): $6\frac{3}{10}$ см
Способ 2 (новый): 6,3 см
Читаем десятичные дроби правильно
- 0,5 — “ноль целых, пять десятых”
- 3,2 — “три целых, две десятых”
- 5,03 — “пять целых, три сотых”
- 11,2 — “одиннадцать целых, две десятых”
👆 Название зависит от количества нулей в знаменателе:
- 10 → десятые
- 100 → сотые
- 1000 → тысячные
Из смешанного числа в десятичную дробь
Алгоритм перевода:
Шаг 1: Записываем целую часть и ставим запятую
Шаг 2: Считаем нули в знаменателе
Шаг 3: Записываем числитель (добавляем нули спереди, если нужно)
Пример 1: Простой случай
Переведём $3\frac{2}{10}$ в десятичную дробь.
1️⃣ Целая часть: 3,
2️⃣ В знаменателе 1 ноль → после запятой будет 1 цифра
3️⃣ Числитель: 2
Ответ: 3,2 ✅
Пример 2: Добавляем ноль
Переведём $5\frac{3}{100}$ в десятичную дробь.
1️⃣ Целая часть: 5,
2️⃣ В знаменателе 2 нуля → после запятой нужно 2 цифры
3️⃣ Числитель 3 — это только 1 цифра. Добавляем ноль спереди: 03
Ответ: 5,03 ✅
Пример 3: Много нулей
Переведём $3\frac{2}{1000}$ в десятичную дробь.
1️⃣ Целая часть: 3,
2️⃣ В знаменателе 3 нуля → после запятой нужно 3 цифры
3️⃣ Числитель 2 — это 1 цифра. Добавляем 2 нуля: 002
Ответ: 3,002 (читается “три целых, две тысячных”) ✅
Обыкновенные дроби → Десятичные
Если целой части нет, пишем 0, и затем числитель.
Пример 1: $\frac{5}{10}$
В знаменателе 1 ноль → после запятой 1 цифра.
Ответ: 0,5 ✅
Пример 2: $\frac{2}{100}$
В знаменателе 2 нуля → нужно 2 цифры.
Числитель 2 — добавляем ноль: 02
Ответ: 0,02 ✅
Пример 3: $\frac{5}{100000}$
В знаменателе 5 нулей → нужно 5 цифр.
Числитель 5 — добавляем 4 нуля: 00005
Ответ: 0,00005 (читается “ноль целых, пять стотысячных”) ✅
Неправильные дроби → Десятичные
Правило: Сначала выделяем целую часть!
Пример: $\frac{112}{10}$
Шаг 1: Делим 112 на 10 с остатком: 112 ÷ 10 = 11 (остаток 2)
Шаг 2: Получаем смешанное число: $11\frac{2}{10}$
Шаг 3: Переводим в десятичную: 11,2 ✅
Пример 2: $\frac{450}{100}$
450 ÷ 100 = 4 (остаток 50)
Получили: $4\frac{50}{100}$ → 4,50
💡 Секрет: Ноль в конце можно отбросить: 4,50 = 4,5
Обратно: Десятичная → Обыкновенная
Метод: Читаем дробь вслух и записываем
Пример 1: 0,3
“Ноль целых, три десятых” → $\frac{3}{10}$ ✅
Пример 2: 0,02
“Ноль целых, две сотых” → $\frac{2}{100}$ ✅
Пример 3: 3,5
“Три целых, пять десятых” → $3\frac{5}{10}$
Переводим в неправильную: $\frac{3 \times 10 + 5}{10} = \frac{35}{10}$ ✅
Пример 4: 1,25
“Одна целая, двадцать пять сотых” → $1\frac{25}{100}$
Переводим: $\frac{1 \times 100 + 25}{100} = \frac{125}{100}$ ✅
Почему 4,50 = 4,5?
Магия основного свойства дроби! 🎩
Доказательство:
$4,50 = 4\frac{50}{100}$
Сокращаем дробную часть на 10:
$4\frac{50 \div 10}{100 \div 10} = 4\frac{5}{10} = 4,5$ ✅
Вывод: Нули в конце десятичной дроби не влияют на её значение!
Практика
Лёгкий уровень 🟢
Задание 1: Переведи в десятичную дробь: $\frac{7}{10}$
💡 Подсказка
В знаменателе 1 ноль → после запятой 1 цифра✅ Ответ
0,7Задание 2: Переведи в десятичную дробь: $2\frac{3}{10}$
✅ Ответ
2,3Задание 3: Прочитай вслух: 5,8
✅ Ответ
Пять целых, восемь десятыхСредний уровень 🟡
Задание 4: Переведи в десятичную дробь: $7\frac{5}{100}$
💡 Подсказка
2 нуля в знаменателе → нужно 2 цифры после запятой. Добавь ноль перед пятёркой!✅ Ответ
7,05Задание 5: Переведи в обыкновенную дробь: 0,25
💡 Подсказка
"Двадцать пять сотых"✅ Ответ
$\frac{25}{100}$ или $\frac{1}{4}$ (после сокращения)Задание 6: Переведи неправильную дробь в десятичную: $\frac{73}{10}$
💡 Подсказка
Сначала выдели целую часть: 73 ÷ 10 = ?✅ Ответ
7,3 (потому что 73 ÷ 10 = 7 остаток 3, значит $7\frac{3}{10}$)Сложный уровень 🔴
Задание 7: Переведи в десятичную: $15\frac{7}{1000}$
✅ Ответ
15,007Задание 8: Переведи в обыкновенную дробь и сократи: 2,75
💡 Подсказка
2,75 = $2\frac{75}{100}$ → переведи в неправильную → сократи на 25✅ Ответ
$\frac{275}{100} = \frac{11}{4}$ (после сокращения на 25)Задание 9: Верно ли равенство: 0,30 = 0,3?
✅ Ответ
Да! 0,30 = $\frac{30}{100} = \frac{3}{10}$ = 0,3Задание 10: У тебя есть 1250 рублей. Ты потратил 0,4 от этой суммы. Сколько рублей осталось?
💡 Подсказка
0,4 = $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Сначала найди, сколько потратил, потом вычти из 1250✅ Ответ
Потратил: 1250 × 0,4 = 500₽ Осталось: 1250 - 500 = **750₽**Частые ошибки
❌ Ошибка 1: При переводе $5\frac{3}{100}$ пишут 5,3 вместо 5,03
✅ Правильно: В знаменателе 2 нуля → после запятой нужно 2 цифры! Добавляем ноль: 5,03
💡 Почему важно: Иначе получится “пять целых, три десятых” ($5\frac{3}{10}$), а не “пять целых, три сотых”
❌ Ошибка 2: Забывают выделять целую часть у неправильных дробей
✅ Правильно: $\frac{112}{10}$ сначала делим: 112 ÷ 10 = 11 (ост. 2), получаем $11\frac{2}{10}$ = 11,2
💡 Почему важно: Без выделения целой части запишешь неправильно
❌ Ошибка 3: Думают, что 4,50 больше, чем 4,5
✅ Правильно: Это одно и то же число! Нули в конце можно отбрасывать
💡 Почему важно: $\frac{50}{100} = \frac{5}{10}$ — это основное свойство дроби
❌ Ошибка 4: При чтении 0,02 говорят “ноль целых, два десятых”
✅ Правильно: Считаем цифры после запятой! 02 — это 2 цифры → “ноль целых, две сотых”
💡 Почему важно: От этого зависит знаменатель: $\frac{2}{100}$, а не $\frac{2}{10}$
❌ Ошибка 5: Путают порядок: записывают знаменатель вместо числителя
✅ Правильно: После запятой ВСЕГДА идёт числитель (верхнее число дроби)
💡 Почему важно: $3\frac{7}{10}$ = 3,7 (не 3,10!)
Главное запомнить
✅ Десятичная дробь = обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000…
✅ Запятая отделяет целую часть от дробной
✅ Количество цифр после запятой = количество нулей в знаменателе
✅ При переводе обращай внимание на нули! Если цифр в числителе меньше, добавляй нули спереди
✅ Нули в конце десятичной дроби можно отбрасывать: 4,50 = 4,5
✅ Неправильную дробь сначала преобразуй в смешанное число!
✅ Чтобы перевести обратно: читай дробь вслух и записывай то, что слышишь