5-6 класс ⏱️ 35 мин

Действия с десятичными дробями

Введение

Помнишь, как в играх нужно складывать очки, делить ресурсы между игроками или умножать бонусы? 🎮 В реальной жизни мы постоянно работаем с десятичными дробями: делим счёт в кафе на троих, складываем цены покупок, считаем скидки в процентах.

В этом уроке ты научишься выполнять все основные операции с десятичными дробями. Это как прокачать своего персонажа сразу на несколько уровней! 💪

Важное определение: Целые числа — это привычные нам числа 0, 1, 2, 3, 4, 5… То есть числа без дробной части. В отличие от них, десятичные дроби содержат запятую и цифры после неё.

Сложение десятичных дробей

Главное правило: запятая под запятой!

Представь, что ты собираешь деньги на новую игру. У тебя есть 3,2 тысячи рублей, друг даёт ещё 5,3 тысячи. Сколько всего?

При сложении десятичных дробей целая и дробная части складываются отдельно. Важно записывать числа столбиком так, чтобы запятая оказалась строго под запятой.

Пример: 3,2 + 5,3 3,2

5,3

Складываем дробные части: 2 + 3 = 5
Складываем целые части: 3 + 5 = 8
Ставим запятую на той же позиции: 8,5

Ответ: 8,5 тысячи рублей 💰

Разряды десятичных дробей

После запятой тоже есть разряды, как у обычных чисел:

Первая цифра после запятой — разряд десятых
Вторая цифра — разряд сотых
Третья цифра — разряд тысячных

Возьмём число 0,345:

3 находится в разряде десятых (три десятых = 3/10)
4 находится в разряде сотых (четыре сотых = 4/100)
5 находится в разряде тысячных (пять тысячных = 5/1000)

💡 Почему важно: При сложении десятые складываются с десятыми, сотые с сотыми. Поэтому правило “запятая под запятой” обеспечивает правильное выравнивание разрядов!

Пример 2: 1,5 + 3,4 = 4,9

Пример 3: 3,51 + 1,22 = 4,73

Когда разряд переполняется

Иногда при сложении получается больше 10. Тогда единицу переносим в следующий разряд — точно так же, как при сложении обычных чисел!

Пример: 2,65 + 3,27 2,65

3,27

Сотые: 5 + 7 = 12 → записываем 2, а 1 переносим
Десятые: 6 + 2 = 8, плюс 1 (перенос) = 9
Целые: 2 + 3 = 5

Ответ: 5,92

Пример со скидкой: У тебя 9,5 тысячи на счету в игре, выиграл ещё 2,8 тысячи. Всего: 9,5 + 2,8 = 12,3 тысячи! 🎉

Разное количество знаков после запятой

Правило: Перед сложением делаем одинаковое количество цифр после запятой, дописывая нули.

Пример: 12,725 + 1,7

Превращаем 1,7 в 1,700 (дописали два нуля), затем складываем: 12,725

1,700

14,425

Вычитание десятичных дробей

Правила те же самые: запятая под запятой, одинаковое количество знаков после запятой!

Пример 1: 2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2: 7,353 − 3,1

Сначала превращаем 3,1 в 3,100, затем вычитаем: 7,353

3,100

4,253

Занимаем у соседнего разряда

Если цифра, которую нужно вычесть, больше той, из которой вычитаем, — занимаем единицу из следующего разряда.

Пример: 3,46 − 2,39 3,46

2,39

Сотые: 6 − 9 не получается → занимаем из десятых
Теперь: 16 − 9 = 7
Десятые: было 4, заняли 1, осталось 3 → 3 − 3 = 0
Целые: 3 − 2 = 1

Ответ: 1,07

Пример из жизни: У тебя было 3 кг конфет 🍬, съел 1,2 кг. Осталось: 3 − 1,2 = 1,8 кг

Обрати внимание: 3 превращается в 3,0 для удобства вычитания.

Умножение десятичных дробей

Простой способ

Умножаем числа, игнорируя запятые (как обычные числа)
В ответе ставим запятую, отсчитав справа столько цифр, сколько всего цифр после запятой в обоих множителях

Пример 1: 2,5 × 1,5

Умножаем 25 × 15 = 375

Считаем цифры после запятой: в 2,5 одна, в 1,5 одна → всего две

Отсчитываем справа две цифры в числе 375 → 3,75

Ответ: 2,5 × 1,5 = 3,75

Пример 2: 12,85 × 2,7

Умножаем: 1285 × 27 = 34695
Цифр после запятой: 2 + 1 = 3
Ставим запятую: 34,695

Умножение на целое число

Всё точно так же! Умножаем, не обращая внимания на запятую, затем в ответе отсчитываем справа столько цифр, сколько было после запятой в десятичной дроби.

Пример: 2,54 × 2

Умножаем: 254 × 2 = 508
В 2,54 после запятой две цифры
Ставим запятую: 5,08

Умножение на 10, 100, 1000

Супербыстрый способ: Переносим запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в множителе.

Примеры:

2,88 × 10 = 28,8 (один ноль → запятая на 1 позицию вправо)
2,88 × 100 = 288 (два нуля → запятая на 2 позиции)
2,88 × 1000 = 2880 (три нуля → запятая на 3 позиции)

💡 Лайфхак: Представь, что запятая “убегает вправо” от нулей!

Умножение на 0,1, 0,01, 0,001

Обратная ситуация: Запятая движется влево на столько позиций, сколько нулей.

Примеры:

3,25 × 0,1 = 0,325 (один ноль → влево на 1)
3,25 × 0,01 = 0,0325 (два нуля → влево на 2)
3,25 × 0,001 = 0,00325 (три нуля → влево на 3)

❗ Не путай!

× 10, 100, 1000 → запятая ВПРАВО ➡️
× 0,1, 0,01, 0,001 → запятая ВЛЕВО ⬅️

Деление десятичных дробей

Деление меньшего на большее

Когда делим меньшее число на большее (например, 1 : 2), получается десятичная дробь с нулём в целой части.

Пример: 1 : 2

Делим уголком:

1 на 2 нацело не делится → пишем 0, ставим запятую
Дописываем к 1 ноль → получаем 10
10 : 2 = 5

Ответ: 0,5

Из жизни: Делишь одно яблоко 🍎 на двоих → каждому по 0,5 яблока (половинка)

Ещё примеры:

4 : 5 = 0,8
5 : 125 = 0,04

Деление без остатка

Если при делении остаётся остаток, можно продолжить деление, получив десятичную дробь.

Пример: 9 : 5

Обычное деление: 9 : 5 = 1 (остаток 4)

Продолжаем:

Ставим в частном запятую после 1
К остатку 4 дописываем 0 → получаем 40
40 : 5 = 8

Ответ: 1,8

Деление десятичной дроби на целое число

Алгоритм:

Делим целую часть
Сразу ставим запятую в частном
Продолжаем делить дробную часть

Пример: 4,8 : 2 4,8 │ 2 4 │ 2,4 08 8 0

4 : 2 = 2 → ставим запятую
8 : 2 = 4

Ответ: 2,4

Пример 2: 8,43 : 3 = 2,81

Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Главный трюк: Переносим запятую в делимом и делителе вправо на одинаковое количество позиций, чтобы делитель стал целым числом.

Пример: 5,95 : 1,7

В делителе 1,7 одна цифра после запятой
Переносим запятые вправо на 1 позицию: 59,5 : 17
Теперь делим как обычно: 59,5 : 17 = 3,5

Ответ: 3,5

💡 Почему работает: Умножение делимого и делителя на одно число не меняет частное (свойство деления).

Деление на 10, 100, 1000

Быстрый способ: Запятая движется влево на столько позиций, сколько нулей.

Примеры:

2,1 : 10 = 0,21
2,1 : 100 = 0,021
2,1 : 1000 = 0,0021

Деление на 0,1, 0,01, 0,001

Запятая движется вправо на столько позиций, сколько нулей!

Примеры:

6,3 : 0,1 = 63
6,3 : 0,01 = 630
6,3 : 0,001 = 6300

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Не выравниваем запятые при сложении Неправильно: Правильно: 12,5 12,5

3,215 + 3,215

✅ Правильно: Всегда пиши запятую под запятой! 💡 Почему важно: Иначе складываются не те разряды.

❌ Ошибка 2: Путаем направление переноса запятой

При умножении на 10 запятая идёт ВПРАВО ➡️
При умножении на 0,1 запятая идёт ВЛЕВО ⬅️

✅ Правильно: Запомни: больше нулей после запятой в множителе → запятая бежит влево; целые числа 10, 100 → вправо 💡 Лайфхак: Нули “отталкивают” запятую от себя!

❌ Ошибка 3: Забываем считать все цифры после запятой при умножении Пример: 2,5 × 1,23 = ?

Умножили: 25 × 123 = 3075
Забыли, что цифр после запятой 1 + 2 = 3

✅ Правильно: 3,075 (отсчитали 3 цифры справа)

❌ Ошибка 4: Не дописываем нули при выравнивании Пример: 5,6 + 2,345 Нельзя просто сложить! Сначала: 5,6 → 5,600

✅ Правильно: Сделай одинаковое количество знаков после запятой

❌ Ошибка 5: При делении десятичной дроби на десятичную забываем переносить запятую в делимом Пример: 4,5 : 1,5 Нельзя делить так! Сначала обе запятые вправо на 1: 45 : 15

✅ Правильно: Переноси запятую и в делимом, и в делителе одновременно!

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1. Вычисли: 0,6 + 0,3

Подсказка

Запиши столбиком, запятая под запятой

Решение

0,6 + 0,3 = 0,9

Задание 2. Вычисли: 1,2 + 5,3

Решение

1,2 + 5,3 = 6,5

Задание 3. Вычисли: 0,9 − 0,4

Решение

0,9 − 0,4 = 0,5

Средний уровень 🟡

Задание 4. У тебя было 9 тысяч рублей, потратил 7,8 тысячи на новый телефон. Сколько осталось?

Подсказка

9 можно записать как 9,0

Решение

9 − 7,8 = 9,0 − 7,8 = 1,2 тысячи рублей

Задание 5. Вычисли: 3,2 × 1,8

Подсказка

Умножь 32 на 18, потом поставь запятую

Решение

32 × 18 = 576 Цифр после запятой: 1 + 1 = 2 Ответ: 5,76

Задание 6. Вычисли: 9,36 : 6

Подсказка

Раздели целую часть, поставь запятую, продолжи деление

Решение

9,36 : 6 = 1,56

Задание 7. Цена игры — 0,23 тысячи рублей. Купил 7 игр на распродаже. Сколько заплатил?

Решение

0,23 × 7 = 1,61 тысячи рублей

Сложный уровень 🔴

Задание 8. Вычисли: 0,23 × 0,07

Подсказка

Умножь 23 на 7, потом отсчитай 2 + 2 = 4 цифры справа

Решение

23 × 7 = 161 Цифр после запятой: 2 + 2 = 4 Ответ: 0,0161

Задание 9. Переведи 3,25 килограмма в граммы (умножь на 1000)

Подсказка

При умножении на 1000 запятая движется вправо на 3 позиции

Решение

3,25 × 1000 = 3250 граммов

Задание 10. Вычисли: 0,169 : 13

Подсказка

0 не делится на 13, ставь сразу 0 и запятую, затем дели 169

Решение

0,169 : 13 = 0,013

Главное запомнить

✅ При сложении и вычитании: Запятая ВСЕГДА под запятой, одинаковое количество знаков после запятой

✅ При умножении: Игнорируй запятые → умножай → отсчитай справа столько цифр, сколько было после запятой в ОБОИХ числах

✅ При делении на целое: Раздели целую часть → сразу запятую → продолжай делить

✅ При делении десятичной на десятичную: Перенеси запятые вправо в ОБОИХ числах, чтобы делитель стал целым

✅ Умножение/деление на 10, 100, 1000:

Умножение → запятая ВПРАВО ➡️
Деление → запятая ВЛЕВО ⬅️

✅ Умножение/деление на 0,1, 0,01, 0,001:

Умножение → запятая ВЛЕВО ⬅️
Деление → запятая ВПРАВО ➡️

🎯 Главный секрет: Десятичные дроби — это просто удобная запись обычных дробей. Все правила работают одинаково, нужно только следить за запятой!

Есть вопросы?

Задай вопрос AI-учителю в Telegram

Открыть бота →