Делители и кратные
Делители и кратные
Введение
Представь, что ты играешь в Minecraft и нашёл 24 алмаза 💎. Ты хочешь поделить их поровну между друзьями. На сколько человек можно разделить эти алмазы без остатка? На 2? На 3? На 5? А на 7? Давай разберёмся, как быстро находить все возможные варианты!
Что такое делитель?
Делитель — это число, на которое другое число делится нацело, то есть без остатка.
Вернёмся к нашим 24 алмазам:
- Можно разделить на 2 друзей → каждому по 12 алмазов ✅
- Можно разделить на 3 друзей → каждому по 8 алмазов ✅
- Можно разделить на 4 друзей → каждому по 6 алмазов ✅
- А вот на 5 друзей не получится разделить поровну ❌
Числа 2, 3 и 4 — это делители числа 24.
Все делители числа 18
- 18 ÷ 1 = 18 ✅
- 18 ÷ 2 = 9 ✅
- 18 ÷ 3 = 6 ✅
- 18 ÷ 6 = 3 ✅
- 18 ÷ 9 = 2 ✅
- 18 ÷ 18 = 1 ✅
Все делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Кратные числа
У тебя в плейлисте есть треки по 3 минуты каждый 🎵. Сколько времени займёт прослушивание?
- 1 трек = 3 минуты
- 2 трека = 6 минут
- 3 трека = 9 минут
- 4 трека = 12 минут
- 5 треков = 15 минут
Числа 3, 6, 9, 12, 15 — это кратные числа 3.
Кратное числа a — это число, которое делится на a без остатка.
💡 Важно: У любого числа бесконечно много кратных!
Связь делителей и кратных
Это две стороны одной медали! 🪙
- Если 12 делится на 3, то 12 — это кратное числа 3
- Если 12 делится на 3, то 3 — это делитель числа 12
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 10
Правило: Если число заканчивается на 0, оно делится на 10.
Примеры: 370, 1500 ✅
Признак делимости на 5
Правило: Если число заканчивается на 0 или 5, оно делится на 5.
Примеры: 375, 200 ✅
Признак делимости на 2 (чётность)
Правило: Если число заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, оно делится на 2.
Такие числа называются чётными.
Признак делимости на 3
Правило: Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
Пример: число 273
- Сумма цифр: 2 + 7 + 3 = 12
- 12 делится на 3 ✅
- Значит, 273 тоже делится на 3!
Признак делимости на 9
Правило: Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
Пример: число 846
- Сумма цифр: 8 + 4 + 6 = 18
- 18 делится на 9 ✅
- Значит, 846 тоже делится на 9!
Чётные и нечётные числа
Чётные числа — делятся на 2 без остатка. Заканчиваются на: 0, 2, 4, 6, 8
Нечётные числа — при делении на 2 остаётся 1. Заканчиваются на: 1, 3, 5, 7, 9
💡 Быстрая проверка: Смотри только на последнюю цифру!
Простые и составные числа
Простые числа
Простое число — имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…
Проверим число 7:
- Делители: 1 и 7
- Других делителей нет ✅
- Значит, 7 — простое число!
Составные числа
Составное число — имеет больше двух делителей.
Пример: число 12
- Делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Целых 6 делителей!
- Значит, 12 — составное число.
Особый случай
Единица (1) — не является ни простым, ни составным числом.
Разложение на простые множители
Любое составное число можно разложить на простые множители.
Пример: Разложим число 24
24 = 2 × 12
12 = 2 × 6
6 = 2 × 3
Собираем все вместе: 24 = 2 × 2 × 2 × 3
Пример: Разложим число 180
\\ 180 | 2 90 | 2 45 | 3 15 | 3 5 | 5 1 | \\
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
Практика
- Найди все делители числа 15
- Какие делители 24: 3, 5, 6, 7, 8?
- Разложи 72 на простые множители
- Первые 5 кратных числа 7
- Делится ли 2754 на 3? на 9?
- Найди все делители 48
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Путают делители и кратные
✅ Правильно: Делитель ≤ числа, кратное ≥ числа
❌ Ошибка 2: Забывают 1 и само число
✅ Правильно: Всегда включай 1 и само число в делители
❌ Ошибка 3: Проверяют составные числа
✅ Правильно: При разложении проверяй только простые: 2, 3, 5, 7…
❌ Ошибка 4: Неправильно применяют признак делимости
✅ Правильно: Складывай ВСЕ цифры числа
❌ Ошибка 5: Считают 1 простым числом
✅ Правильно: У 1 только один делитель, это особое число
Главное запомнить
✅ Делитель — число, на которое делится без остатка (делитель ≤ числа)
✅ Кратное — число, которое делится на данное без остатка (кратное ≥ числа)
✅ Признаки делимости:
- На 2: последняя цифра чётная
- На 3: сумма цифр делится на 3
- На 5: последняя цифра 0 или 5
- На 9: сумма цифр делится на 9
- На 10: последняя цифра 0
✅ Простое число имеет только 2 делителя (1 и само себя)
✅ Составное число имеет больше 2 делителей
✅ Разложение на множители — представить как произведение простых чисел
✅ Единица (1) — не простое и не составное число