Задачи на движение: встречное, вдогонку и по реке
📋 Содержание урока
Задачи на движение: встречное, вдогонку и по реке 🚗
Представь: ты едешь к другу в гости на автобусе, а одноклассник — на велосипеде из другого района, навстречу тебе. Кто доедет быстрее? А если вы, наоборот, разъезжаетесь в разные стороны — насколько увеличится расстояние между вами за час?
Такие задачи встречаются повсюду — от планирования поездки до расчёта, сколько времени займёт доставка курьером. В этом уроке ты научишься решать их как настоящий детектив: определять тип движения, выбирать нужную формулу и не путаться, когда объекты движутся навстречу, вдогонку или по реке с течением.
🎯 Ты узнаешь:
- Главную формулу движения и все её варианты
- Как считать скорость сближения при встречном движении
- Как решать задачи "вдогонку", когда один объект догоняет другой
- Как течение реки помогает или мешает движению судна
История: откуда взялись задачи на движение? 📜
Задачи "кто быстрее доедет" и "когда встретятся два путника" — это классика математики на протяжении тысяч лет. Уже в вавилонских и китайских математических текстах встречаются похожие сюжеты: два гонца выехали навстречу друг другу, когда они встретятся?
Особенно интересна история со знаменитым древнегреческим парадоксом Зенона Элейского (V век до н.э.) про Ахиллеса и черепаху: быстроногий Ахиллес никак не может догнать медленную черепаху, если она выползла раньше, потому что, пока он добегает до её прежней точки, она уже успевает немного проползти дальше. Это философский парадокс, но по сути — ровно та же задача "вдогонку", которую ты сегодня научишься решать без всяких противоречий, просто грамотно применив формулу.
Задачи на движение оставались важными всегда: морякам нужно было рассчитать время в пути с учётом течения, торговым караванам — спланировать встречу в пустыне, а сегодня твой навигатор в телефоне каждую секунду решает точно такую же задачу, пересчитывая время прибытия (ETA) на основе скорости и оставшегося расстояния.
Блок 1: Главная формула движения
Что это такое простыми словами
Все задачи на движение крутятся вокруг одной простой связи: пройденное расстояние зависит от того, с какой скоростью и как долго что-то двигалось.
Строгое определение
Определение: Расстояние S, пройденное с постоянной скоростью V за время t, вычисляется по формуле:
$$S = V \times t$$Из неё легко выразить любую другую величину: $V = S \div t$ и $t = S \div V$.
Обозначения:
- S — расстояние (обычно в км или м)
- V — скорость (км/ч, м/с и т.д.)
- t — время (ч, мин, с)
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч. Сколько километров он проедет за 3 часа?
S = V × t = 15 × 3 = 45 км
Ответ: 45 км.
Пример 2 (средний): Автомобиль проехал 210 км за 3,5 часа. Какова его скорость?
V = S ÷ t = 210 ÷ 3,5 = 60 км/ч
Ответ: 60 км/ч.
Пример 3 (сложный — единицы измерения): Пешеход идёт со скоростью 5 км/ч. За сколько минут он пройдёт 750 метров?
Шаг 1: Приводим все величины к одинаковым единицам — переведём метры в километры.
750 м = 0,75 км
Шаг 2: Находим время в часах.
t = S ÷ V = 0,75 ÷ 5 = 0,15 часа
Шаг 3: Переводим часы в минуты.
0,15 × 60 = 9 минут
Ответ: 9 минут.
Почему это важно
Формула S = V × t — это фундамент, на котором строятся вообще все задачи на движение, даже самые запутанные с несколькими объектами. Если её знать твёрдо и уметь выражать любую переменную — остальное дело техники.
Блок 2: Встречное движение и движение в разные стороны
Что это такое простыми словами
Когда два объекта движутся НАВСТРЕЧУ друг другу, расстояние между ними сокращается быстрее, чем если бы двигался только один. Точно так же, если они разъезжаются в ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ стороны, расстояние между ними растёт быстрее. В обоих случаях скорости просто складываются.
Строгое определение
Определение: При встречном движении или движении в противоположных направлениях суммарная скорость изменения расстояния между объектами (скорость сближения или скорость удаления) равна сумме их скоростей:
$$V_{\text{сближения (удаления)}} = V_1 + V_2$$
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой — встречное движение): Из двух деревень навстречу друг другу выехали два велосипедиста — со скоростями 15 км/ч и 20 км/ч. Через 3 часа они встретились. Каково расстояние между деревнями?
Шаг 1: Находим скорость сближения.
15 + 20 = 35 км/ч
Шаг 2: Умножаем на время до встречи.
35 × 3 = 105 км
Ответ: 105 км.
Пример 2 (средний — удаление): Из одной точки в противоположных направлениях одновременно выехали автомобиль (80 км/ч) и мотоцикл (120 км/ч). Какое расстояние будет между ними через 2,5 часа?
Шаг 1: Находим скорость удаления.
80 + 120 = 200 км/ч
Шаг 2: Умножаем на время.
200 × 2,5 = 500 км
Ответ: 500 км.
Пример 3 (сложный — встречное движение с разным временем старта): Из города A в город B выехал автобус со скоростью 50 км/ч. Через 2 часа из B навстречу ему выехал автомобиль со скоростью 80 км/ч. Расстояние AB = 500 км. Через сколько времени ПОСЛЕ выезда автобуса они встретятся?
Шаг 1: Считаем, сколько проехал автобус за первые 2 часа один, пока автомобиль ещё не выехал.
50 × 2 = 100 км
Шаг 2: Находим, сколько расстояния осталось к моменту выезда автомобиля.
500 − 100 = 400 км
Шаг 3: Теперь оба едут навстречу друг другу — находим скорость сближения.
50 + 80 = 130 км/ч
Шаг 4: Находим время встречи от момента выезда автомобиля.
400 ÷ 130 ≈ 3,08 часа
Шаг 5: Прибавляем те 2 часа, что автобус ехал один, чтобы получить общее время от старта автобуса.
2 + 3,08 ≈ 5,08 часа (около 5 ч 5 мин)
Ответ: примерно через 5,08 часа после выезда автобуса.
Почему это важно
Задачи с разным временем старта — это не "усложнение ради усложнения": именно так работают реальные расписания транспорта, где рейсы отправляются не одновременно, и нужно аккуратно учитывать "форы" во времени.
Блок 3: Движение вдогонку
Что это такое простыми словами
Когда один объект догоняет другой, который движется в ТУ ЖЕ сторону, расстояние между ними сокращается медленнее, чем при встречном движении — ведь оба "убегают" в одном направлении. Здесь скорости не складываются, а вычитаются.
Строгое определение
Определение: При движении вдогонку скорость сближения равна разности скоростей более быстрого и более медленного объектов:
$$V_{\text{сближения}} = V_{\text{быстрого}} - V_{\text{медленного}}$$
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Автомобиль (90 км/ч) догоняет автобус (60 км/ч), который едет впереди. Изначально между ними было 75 км. Через сколько времени автомобиль догонит автобус?
Шаг 1: Находим скорость сближения.
90 − 60 = 30 км/ч
Шаг 2: Делим расстояние на скорость сближения.
75 ÷ 30 = 2,5 часа
Ответ: 2,5 часа.
Пример 2 (средний — разное время старта): Велосипедист A выехал в 8:00 со скоростью 12 км/ч. Велосипедист B выехал из ТОЙ ЖЕ точки в 9:00 в ТУ ЖЕ сторону со скоростью 18 км/ч. Когда B догонит A?
Шаг 1: Находим, насколько A успел уехать вперёд к моменту старта B (за 1 час).
12 × 1 = 12 км
Шаг 2: Находим скорость сближения.
18 − 12 = 6 км/ч
Шаг 3: Находим время, за которое B догонит A (от момента старта B).
12 ÷ 6 = 2 часа
Шаг 4: B выехал в 9:00, значит, догонит A в 11:00.
Ответ: в 11:00.
Пример 3 (сложный): Пешеход вышел из пункта A в сторону B (расстояние 60 км) в 8:00 со скоростью 5 км/ч. Велосипедист выехал из того же пункта A в 9:30 со скоростью 20 км/ч, чтобы догнать пешехода. В какое время и на каком расстоянии от A велосипедист догонит пешехода?
Шаг 1: Находим, сколько прошёл пешеход к моменту выезда велосипедиста (за 1,5 часа).
5 × 1,5 = 7,5 км
Шаг 2: Находим скорость сближения.
20 − 5 = 15 км/ч
Шаг 3: Находим время, за которое велосипедист догонит пешехода.
7,5 ÷ 15 = 0,5 часа = 30 минут
Шаг 4: Велосипедист выехал в 9:30, значит, догонит пешехода в 10:00.
Шаг 5: Находим расстояние от A — умножаем скорость велосипедиста на время его движения.
20 × 0,5 = 10 км
Проверка: пешеход к 10:00 шёл 2 часа: 5 × 2 = 10 км — совпадает! ✅
Ответ: в 10:00, на расстоянии 10 км от пункта A.
Почему это важно
Задачи "вдогонку" учат внимательно следить за тем, кто и когда начал двигаться — эта же логика используется при расчёте, успеет ли курьер доставить заказ до закрытия магазина, или при планировании, кто первым доберётся до финиша, стартовав позже.
Блок 4: Движение по реке
Что это такое простыми словами
Течение реки не меняет "свои" усилия пловца или мотора лодки, но меняет итоговую скорость относительно берега: по течению плыть быстрее, против течения — медленнее. Это как эскалатор в аэропорту: если идти по нему, суммарная скорость выше, если против — ниже.
Строгое определение
Определение: Скорость судна по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения. Скорость судна против течения равна разности этих скоростей:
$$V_{\text{по течению}} = V_{\text{собств.}} + V_{\text{теч.}} \qquad V_{\text{против течения}} = V_{\text{собств.}} - V_{\text{теч.}}$$Отсюда легко выразить обратно: $V_{\text{собств.}} = \dfrac{V_{\text{по теч.}} + V_{\text{против теч.}}}{2}$, а $V_{\text{теч.}} = \dfrac{V_{\text{по теч.}} - V_{\text{против теч.}}}{2}$.
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Скорость катера в стоячей воде — 25 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч. Найди скорость катера по течению и против течения.
По течению: 25 + 3 = 28 км/ч
Против течения: 25 − 3 = 22 км/ч
Ответ: 28 км/ч и 22 км/ч.
Пример 2 (средний): Катер проплыл 84 км по течению за 3 часа. Собственная скорость катера — 25 км/ч. Найди скорость течения.
Шаг 1: Находим скорость катера по течению из формулы S = V × t.
84 ÷ 3 = 28 км/ч
Шаг 2: Так как эта скорость равна сумме собственной скорости и течения, находим течение.
28 − 25 = 3 км/ч
Ответ: 3 км/ч.
Пример 3 (сложный): Теплоход проплыл 120 км по течению за 4 часа, а те же 120 км против течения — за 6 часов. Найди собственную скорость теплохода и скорость течения.
Шаг 1: Находим скорость по течению.
120 ÷ 4 = 30 км/ч
Шаг 2: Находим скорость против течения.
120 ÷ 6 = 20 км/ч
Шаг 3: Находим собственную скорость теплохода как среднее этих двух скоростей.
(30 + 20) ÷ 2 = 25 км/ч
Шаг 4: Находим скорость течения как половину разности.
(30 − 20) ÷ 2 = 5 км/ч
Проверка: 25 + 5 = 30 ✅ (по течению), 25 − 5 = 20 ✅ (против течения)
Ответ: собственная скорость 25 км/ч, скорость течения 5 км/ч.
Почему это важно
Задачи на движение по реке — частный случай более общей идеи: скорость объекта относительно земли складывается из его "собственных усилий" и внешнего фактора (течения, ветра, движущейся дорожки). Та же логика применяется в расчётах полёта самолёта при попутном и встречном ветре.
Практика: 30 заданий
Базовые (задания 1–10)
Задание 1: Пешеход идёт со скоростью 6 км/ч. Сколько километров он пройдёт за 2 часа?
Задание 2: Велосипедист проехал 48 км за 4 часа. Найди скорость.
Задание 3: За сколько времени можно проехать 100 км со скоростью 50 км/ч?
Задание 4: Автомобиль едет со скоростью 70 км/ч. Сколько он проедет за 3 часа?
Задание 5: Сколько километров проедет автомобиль за 30 минут со скоростью 60 км/ч?
Задание 6: Два друга идут навстречу друг другу со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Найди скорость их сближения.
Задание 7: Автомобиль (90 км/ч) и мотоцикл (110 км/ч) выезжают из одной точки в противоположные стороны. Найди скорость их удаления.
Задание 8: Собственная скорость лодки 20 км/ч, скорость течения 4 км/ч. Найди скорость лодки по течению.
Задание 9: Для той же лодки (V = 20 км/ч, течение 4 км/ч) найди скорость против течения.
Задание 10: Найди расстояние, пройденное со скоростью 45 км/ч за 2 часа 40 минут.
Средние (задания 11–20)
Задание 11: Из двух деревень навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 15 км/ч и 20 км/ч. Через 3 часа они встретились. Найди расстояние между деревнями.
Задание 12: Из одной точки в противоположных направлениях выехали автомобиль (80 км/ч) и мотоцикл (120 км/ч). Какое расстояние будет между ними через 2,5 часа?
Задание 13: Автомобиль (90 км/ч) догоняет автобус (60 км/ч). Между ними было 75 км. Через сколько времени автомобиль догонит автобус?
Задание 14: Собственная скорость катера 25 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Найди скорость по течению и против течения.
Задание 15: Велосипедист A выехал в 8:00 со скоростью 12 км/ч. Велосипедист B выехал из той же точки в ту же сторону в 9:00 со скоростью 18 км/ч. Когда B догонит A?
Задание 16: Катер проплыл 84 км по течению за 3 часа. Собственная скорость катера 25 км/ч. Найди скорость течения.
Задание 17: Два поезда выехали навстречу друг другу из городов, расстояние между которыми 840 км. Скорость первого поезда 80 км/ч, второго — на 20% больше. Через сколько часов они встретятся?
Задание 18: Пешеход идёт со скоростью 5 км/ч. За сколько минут он пройдёт 750 метров?
Задание 19: Пешеход прошёл 3 км за 45 минут. Найди его скорость в км/ч.
Задание 20: Велосипедист проехал расстояние за 50 минут со скоростью 12 км/ч. Найди пройденное расстояние.
Продвинутые (задания 21–30)
Задание 21: Автобус выехал из города A со скоростью 50 км/ч. Через 2 часа из города B навстречу ему выехал автомобиль со скоростью 80 км/ч. Расстояние AB = 500 км. Через сколько времени ПОСЛЕ выезда автобуса они встретятся?
Задание 22: Гонщик A стартовал в 9:00 со скоростью 45 км/ч. Гонщик B стартовал из той же точки в ту же сторону в 9:15 со скоростью 60 км/ч. Когда B догонит A и на каком расстоянии от старта?
Задание 23: Теплоход проплыл 120 км по течению за 4 часа, а те же 120 км против течения — за 6 часов. Найди собственную скорость теплохода и скорость течения.
Задание 24: Два корабля вышли из одного порта одновременно в противоположных направлениях: один со скоростью 22 км/ч, другой — 28 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними станет 350 км?
Задание 25: Автомобиль выехал из города в 9:00 к месту, находящемуся в 300 км, со скоростью 60 км/ч. Через 1 час из того же города вдогонку выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. Догонит ли он первый автомобиль ДО прибытия в пункт назначения, и если да — во сколько это произойдёт?
Задание 26: Два туриста идут навстречу друг другу, находясь на расстоянии 10 км, со скоростями 4 км/ч и 6 км/ч. В момент старта между ними начинает бегать туда-сюда собака со скоростью 10 км/ч, пока туристы не встретятся. Какое расстояние пробежит собака?
Задание 27: Скорость катера по течению 27 км/ч, против течения — 17 км/ч. Найди собственную скорость катера, скорость течения и время, за которое катер пройдёт 108 км по течению.
Задание 28: Две машины выезжают из одной точки одновременно в одном направлении: первая со скоростью 50 км/ч, вторая — 65 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними станет 90 км?
Задание 29: Поезд проехал первые 120 км маршрута со скоростью 60 км/ч, а следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч. Найди среднюю скорость поезда на всём маршруте.
Задание 30 (на подумать): Пешеход вышел из пункта A в сторону B (60 км) в 8:00 со скоростью 5 км/ч. Велосипедист выехал из A в 9:30 со скоростью 20 км/ч, чтобы догнать пешехода. В какое время и на каком расстоянии от A велосипедист догонит пешехода?
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Путают, когда складывать, а когда вычитать скорости Неправильно: вычитать скорости при встречном движении или складывать при погоне Правильно: встречное движение и движение в разные стороны — скорости СКЛАДЫВАЮТСЯ; движение вдогонку в одну сторону — скорости ВЫЧИТАЮТСЯ Почему важно: это единственное правило, от которого зависит вся структура решения
❌ Ошибка 2: Забывают учесть форы во времени Неправильно: сразу применять формулу сближения, не учитывая, что один из объектов начал движение раньше Правильно: сначала найди, сколько прошёл (или проехал) объект, стартовавший раньше, к моменту старта второго — и только потом считай сближение Почему важно: без этого шага ответ будет неверным, если участники стартуют не одновременно
❌ Ошибка 3: При движении по реке путают направление течения Неправильно: случайно прибавлять течение вместо вычитания (или наоборот) Правильно: по течению всегда быстрее (прибавляем), против течения всегда медленнее (вычитаем) — проверяй по смыслу, а не по памяти Почему важно: перепутанный знак даёт скорость, которая противоречит здравому смыслу
❌ Ошибка 4: Не переводят единицы измерения в одну систему Неправильно: складывать минуты и часы напрямую, без перевода Правильно: прежде чем решать задачу, приведи все величины к одинаковым единицам — например, всё время в часы Почему важно: разные единицы измерения делают вычисления бессмысленными
❌ Ошибка 5: Считают среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей на участках Неправильно: для расчёта средней скорости просто сложить скорости участков и поделить на 2 Правильно: средняя скорость = общее расстояние ÷ общее время (а не среднее двух скоростей!) Почему важно: если время на участках разное, среднее арифметическое скоростей даёт неверный ответ
Главное запомнить
📝 Ключевые понятия
✅ Главная формула: S = V × t (и все её варианты — V = S÷t, t = S÷V)
✅ Встречное движение: скорости складываются (скорость сближения = V₁ + V₂)
✅ Движение в разные стороны: скорости тоже складываются (скорость удаления = V₁ + V₂)
✅ Движение вдогонку: скорости вычитаются (скорость сближения = V быстрого − V медленного)
✅ По течению: собственная скорость + скорость течения
✅ Против течения: собственная скорость − скорость течения
✅ Если участники стартуют в разное время — сначала учти "фору", а потом применяй формулы сближения
✅ Средняя скорость = общее расстояние ÷ общее время (никогда не среднее арифметическое скоростей!)
✅ Все единицы измерения должны быть в одной системе перед вычислениями
Связь с другими темами курса
Что нужно было знать до этого урока:
- Расстояние, скорость, время (урок 26) — базовая формула, которую мы сегодня применяли во всех вариантах
- Простейшие задачи (урок 42) — план решения, который мы использовали для многошаговых задач
- Задачи на дроби (урок 43) — переводы единиц времени часто требуют работы с дробями часа
Что изучить дальше:
- Производительность труда (урок 46) — задачи на совместную работу решаются той же логикой "складываем скорости", только вместо километров считаем объём работы
- Элементы статистики (урок 47) — там встретится похожий подвох со "средней скоростью", но уже в общем виде среднего арифметического
Где это нужно в жизни:
- 🎮 В играх: расчёт времени прохождения уровня при разной скорости персонажа или транспорта
- 📱 В технологиях: навигатор в телефоне каждую секунду пересчитывает время прибытия по этой же формуле
- 💰 В жизни: планирование поездок, расчёт, успеешь ли на автобус, если он и ты движетесь навстречу друг другу
Интересные факты
💡 Парадокс Ахиллеса и черепахи — древнегреческий философ Зенон предложил задачу, где быстроногий Ахиллес якобы никогда не догонит медленную черепаху. На самом деле это просто задача "вдогонку" — если черепаха стартовала раньше, а Ахиллес быстрее, он догонит её за конечное время, что легко доказывается формулой сближения.
💡 GPS-навигаторы пересчитывают оставшееся время в пути (ETA) буквально каждую секунду, используя ровно ту же формулу t = S ÷ V, только с постоянно обновляющимися данными о скорости и расстоянии.
💡 Самолёты и попутный ветер — при полёте по ветру самолёт летит быстрее относительно земли (скорости складываются), а против ветра — медленнее (скорости вычитаются), совсем как лодка на реке.
💡 Рекорд скорости течения — самая быстрая река в мире по силе течения — Амазонка в сезон дождей, где скорость потока может достигать 8 км/ч, что заметно замедляет лодки, идущие против течения.
Лайфхаки и полезные трюки
1. Сначала определи тип движения Задай себе вопрос: объекты движутся навстречу, в разные стороны, вдогонку, или это движение по реке? От ответа сразу зависит, складывать скорости или вычитать.
2. Рисуй схему с стрелками Даже простой рисунок — точка, стрелки скоростей, известное расстояние — сразу проясняет, что откуда куда двигается.
3. Проверяй разумность ответа по знаку Если "скорость сближения" при погоне получилась отрицательной или нулевой — значит, догоняющий вообще не догонит убегающего (он либо медленнее, либо едет с той же скоростью).
4. Для реки — используй формулы для восстановления собственной скорости Если знаешь скорость по течению и против — среднее арифметическое даёт собственную скорость, а половина разности — скорость течения. Это работает всегда.
5. Не забывай про "фору" при разном времени старта Если участники стартуют не одновременно — сначала посчитай, что успел проехать (пройти) тот, кто стартовал раньше, и лишь потом применяй формулы сближения.
💡 Совет: Задачи на движение любят "маскировать" тип движения — читай условие внимательно и задавай себе вопрос "они едут друг к другу, друг от друга, или один догоняет другого?" прежде чем хвататься за формулу.
Готов двигаться дальше? В следующем уроке ты узнаешь, что задачи на совместную работу решаются точно такой же логикой сложения скоростей — только вместо километров считают объём выполненной работы. А если хочешь порешать задачи с подсказками — открой AI-репетитора в Telegram.