Умножение и деление рациональных чисел
📋 Содержание урока
Умножение и деление рациональных чисел 🍰
Ты уже освоил сложение и вычитание рациональных чисел — самое время перейти к умножению и делению. И тут тебя ждёт приятный сюрприз: с точки зрения знаков всё даже проще, чем при сложении. Правило «одинаковые знаки — плюс, разные — минус» из уроков про целые числа работает для дробей один в один, без единого исключения — не нужно сравнивать никакие модули, только считать знаки.
Главная новая сложность здесь не в знаках, а в самой механике: как умножить дробь на дробь, что значит «разделить на дробь» и как быть с загадочными многоэтажными дробями, где числитель и знаменатель сами оказываются дробями. Разберём всё по порядку.
🎯 Ты узнаешь:
- Как умножать обыкновенные, смешанные и десятичные дроби со знаком
- Что такое обратное число и почему деление — это умножение на обратную дробь
- Как справляться с многоэтажными дробями
- Как быстро определять знак в длинной цепочке умножений и делений
История: как появилось правило «переверни и умножь»? 📜
Идея, что деление дробей сводится к умножению на «перевёрнутую» дробь, кажется удобным трюком — но на самом деле это строгое математическое следствие из самого смысла деления. Уже в средневековых арабских и индийских математических трактатах — например, у персидского математика аль-Каши в XV веке — подробно описывались операции с дробями, включая деление, причём результат вычислялся именно через умножение на обратную величину.
Смысл этого правила легко понять на бытовом примере. Раздели 6 пицц между людьми, каждый из которых съедает по $\frac12$ пиццы — сколько человек наедятся? Интуитивно: $6 \div \frac12 = 12$ человек, потому что в каждой целой пицце помещается 2 порции по половине. А теперь заметь: $6 \times 2 = 12$ — то же самое число, только через умножение на 2, которое как раз и является числом, обратным $\frac12$. Оказывается, «поделить на дробь» и «умножить на перевёрнутую дробь» всегда дают один и тот же ответ — это не совпадение, а прямое следствие того, что деление определяется как действие, обратное умножению.
Сегодня умножение и деление дробей — база не только математики, но и кулинарии (пересчёт рецепта на другое количество порций), строительства (расчёт материалов по чертежам в масштабе) и финансов (расчёт процентов, скидок и наценок, которые почти всегда представляют собой умножение на дробный коэффициент).
Блок 1: Умножение обыкновенных дробей
Что это такое простыми словами
Умножить одну дробь на другую проще, чем складывать: не нужен общий знаменатель — просто перемножь числители между собой и знаменатели между собой, а знак определи заранее по уже знакомому правилу.
Строгое определение
Правило:
$$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$$Знак произведения определяется так же, как для целых чисел: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $\left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{3}{5}$
Шаг 1: Знаки разные — результат отрицательный.
Шаг 2: Перемножаем модули: числители $2\times3=6$, знаменатели $3\times5=15$.
Шаг 3: Получаем $-\dfrac{6}{15}$, сокращаем на 3: $-\dfrac{2}{5}$.
Ответ: $-\dfrac{2}{5}$.
Пример 2 (средний): Вычисли $\dfrac{2}{5} \times \left(-\dfrac{5}{8}\right)$
Шаг 1: Знаки разные — результат отрицательный.
Шаг 2: Числители: $2\times5=10$, знаменатели: $5\times8=40$.
Шаг 3: Получаем $-\dfrac{10}{40}$, сокращаем: делим на 10, получаем $-\dfrac14$.
Ответ: $-\dfrac{1}{4}$.
Пример 3 (сложный): Вычисли $\left(-1\dfrac{2}{3}\right) \times \left(-2\dfrac{1}{4}\right)$
Шаг 1: Переводим в неправильные дроби: $-1\dfrac23=-\dfrac53$, $-2\dfrac14=-\dfrac94$.
Шаг 2: Знаки одинаковые (оба минус) — результат положительный.
Шаг 3: Перемножаем модули: числители $5\times9=45$, знаменатели $3\times4=12$: $\dfrac{45}{12}$.
Шаг 4: Сокращаем: делим на 3, получаем $\dfrac{15}{4}=3\dfrac34$.
Ответ: $3\dfrac{3}{4}$.
Почему это важно
Умножение дробей не требует общего знаменателя — это заметно проще сложения, и на этом можно сэкономить время: сначала определи знак, потом сократи там, где возможно, ещё до умножения (например, если числитель одной дроби и знаменатель другой имеют общий делитель).
Блок 2: Умножение смешанных и десятичных чисел
Что это такое простыми словами
Смешанные числа перед умножением почти всегда стоит перевести в неправильные дроби. А десятичные дроби можно перемножать напрямую, как обычные числа, просто внимательно считая знаки и положение запятой.
Строгое определение
Правило: Смешанные числа переводятся в неправильные дроби перед умножением. Десятичные дроби умножаются как обычные числа, а запятая в результате ставится так, чтобы общее число знаков после запятой совпадало с суммой знаков после запятой в обоих множителях.
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $2{,}5 \times (-1{,}4)$
Шаг 1: Знаки разные — результат отрицательный.
Шаг 2: Перемножаем как целые числа, забыв на время про запятые: $25 \times 14 = 350$.
Шаг 3: Всего в множителях один плюс один знак после запятой — значит в результате должно быть 2 знака после запятой: $3{,}50 = 3{,}5$.
Ответ: $-3{,}5$.
Пример 2 (средний): Товар стоит 500 рублей, на него действует скидка 25% (то есть после скидки остаётся 75%, или 0,75 от цены). Найди цену со скидкой
Шаг 1: Скидка — это умножение на коэффициент $0{,}75$.
Шаг 2: Считаем: $500 \times 0{,}75 = 375$.
Ответ: $375$ рублей.
Пример 3 (сложный): Вычисли $\left(-1\dfrac{2}{5}\right) \times 0{,}6$
Шаг 1: Переводим смешанное число в неправильную дробь: $-1\dfrac25=-\dfrac75$.
Шаг 2: Переводим десятичную дробь: $0{,}6=\dfrac35$.
Шаг 3: Знаки разные — результат отрицательный. Модули: $\dfrac75 \times \dfrac35 = \dfrac{21}{25}$.
Ответ: $-\dfrac{21}{25}$ (или $-0{,}84$).
Почему это важно
Скидки, наценки, проценты роста — это всегда умножение на дробный (десятичный) коэффициент. Понимание того, что «минус 25%» означает «умножить на 0,75», а не «умножить на минус 0,25», спасает от очень частой практической ошибки.
Блок 3: Деление дробей — умножение на обратное число
Что это такое простыми словами
У каждой ненулевой дроби есть «перевёрнутый двойник» — число, при умножении на которое получается 1. Оказывается, разделить на дробь — это то же самое, что умножить на этого перевёрнутого двойника.
Строгое определение
Определение: Числа $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{b}{a}$ называются взаимно обратными, если их произведение равно 1: $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{b}{a} = 1$.
Правило деления:
$$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}$$
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5}$
Шаг 1: Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\dfrac23 \times \dfrac54$.
Шаг 2: Числители: $2\times5=10$, знаменатели: $3\times4=12$: $\dfrac{10}{12}$.
Шаг 3: Сокращаем на 2: $\dfrac56$.
Ответ: $\dfrac{5}{6}$.
Пример 2 (средний): Вычисли $\left(-\dfrac{3}{4}\right) \div \dfrac{2}{7}$
Шаг 1: Заменяем деление умножением на обратную дробь: $-\dfrac34 \times \dfrac72$.
Шаг 2: Знаки разные — результат отрицательный. Модули: числители $3\times7=21$, знаменатели $4\times2=8$: $\dfrac{21}{8}$.
Ответ: $-\dfrac{21}{8} = -2\dfrac58$.
Пример 3 (сложный): Вычисли $1\dfrac{1}{2} \div \left(-\dfrac{2}{3}\right)$
Шаг 1: Переводим смешанное число: $1\dfrac12=\dfrac32$.
Шаг 2: Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\dfrac32 \times \left(-\dfrac32\right)$.
Шаг 3: Знаки разные — результат отрицательный. Модули: числители $3\times3=9$, знаменатели $2\times2=4$: $\dfrac94$.
Ответ: $-\dfrac{9}{4} = -2\dfrac14$.
Почему это важно
Приём «раздели — значит умножь на обратное» превращает любое деление дробей в уже знакомое умножение. Единственное, что нужно не забыть, — перевернуть именно вторую дробь (делитель), а не первую.
Блок 4: Деление смешанных и десятичных чисел
Что это такое простыми словами
Как и с умножением, смешанные числа перед делением переводят в неправильные дроби. Десятичные дроби можно либо делить напрямую (перенося запятую в делимом и делителе на одинаковое число знаков, чтобы делитель стал целым числом), либо переводить в обыкновенные дроби.
Строгое определение
Правило деления десятичных дробей: чтобы разделить на десятичную дробь, перенеси запятую в делимом и делителе на одинаковое число знаков вправо так, чтобы делитель стал целым числом, а затем выполни обычное деление.
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $(-2{,}4) \div (-0{,}8)$
Шаг 1: Знаки одинаковые — результат положительный.
Шаг 2: Переносим запятую на один знак вправо у обоих чисел: $24 \div 8$.
Шаг 3: $24 \div 8 = 3$.
Ответ: $3$.
Пример 2 (средний): Вычисли $6{,}3 \div (-0{,}09)$
Шаг 1: Знаки разные — результат отрицательный.
Шаг 2: Переносим запятую на два знака вправо (чтобы делитель 0,09 стал целым числом 9): делимое $6{,}3 \to 630$, делитель $0{,}09 \to 9$.
Шаг 3: $630 \div 9 = 70$.
Ответ: $-70$.
Пример 3 (сложный): Вычисли $2\dfrac{1}{4} \div (-0{,}5)$
Шаг 1: Переводим смешанное число: $2\dfrac14=\dfrac94$.
Шаг 2: Переводим десятичную дробь: $-0{,}5=-\dfrac12$.
Шаг 3: Заменяем деление умножением на обратную дробь: $\dfrac94 \times \left(-\dfrac21\right)$.
Шаг 4: Знаки разные — результат отрицательный. Модули: числители $9\times2=18$, знаменатели $4\times1=4$: $\dfrac{18}{4}=\dfrac92$.
Ответ: $-\dfrac{9}{2} = -4\dfrac12$.
Почему это важно
Деление десятичных дробей друг на друга постоянно встречается в задачах на скорость, цену за единицу товара, плотность — при переносе запятой важно сдвигать её у обоих чисел одинаково, иначе результат исказится в 10, 100 или 1000 раз.
Блок 5: Многоэтажные дроби
Что это такое простыми словами
Иногда встречается дробь, у которой в числителе или знаменателе стоит ещё одна дробь — выглядит как настоящий небоскрёб. На самом деле это всего лишь ещё одна запись деления: главная (самая длинная) черта дроби означает «раздели верхний этаж на нижний».
Строгое определение
Правило: Многоэтажная дробь вида $\dfrac{\;\frac{a}{b}\;}{\;\frac{c}{d}\;}$ равна $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}$.
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $\dfrac{\;\frac{1}{2}\;}{\;\frac{3}{4}\;}$
Шаг 1: Это деление: $\dfrac12 \div \dfrac34$.
Шаг 2: Заменяем умножением на обратную дробь: $\dfrac12 \times \dfrac43 = \dfrac{4}{6} = \dfrac23$.
Ответ: $\dfrac{2}{3}$.
Пример 2 (средний): Вычисли $\dfrac{\;-\frac{2}{3}\;}{\;-\frac{1}{4}\;}$
Шаг 1: Это деление: $-\dfrac23 \div \left(-\dfrac14\right)$.
Шаг 2: Знаки одинаковые — результат положительный.
Шаг 3: Модули: $\dfrac23 \times \dfrac41 = \dfrac83$.
Ответ: $\dfrac{8}{3} = 2\dfrac23$.
Пример 3 (сложный): Вычисли $\dfrac{\;\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\;}{\;\frac{2}{5} - \frac{1}{4}\;}$
Шаг 1: Сначала вычисляем числитель как отдельную сумму: $\dfrac35+\dfrac12$, общий знаменатель 10: $\dfrac{6}{10}+\dfrac{5}{10}=\dfrac{11}{10}$.
Шаг 2: Теперь знаменатель как отдельную разность: $\dfrac25-\dfrac14$, общий знаменатель 20: $\dfrac{8}{20}-\dfrac{5}{20}=\dfrac{3}{20}$.
Шаг 3: Делим результаты: $\dfrac{11}{10} \div \dfrac{3}{20} = \dfrac{11}{10} \times \dfrac{20}{3} = \dfrac{220}{30} = \dfrac{22}{3}$.
Ответ: $\dfrac{22}{3} = 7\dfrac13$.
Почему это важно
Многоэтажные дроби на первый взгляд пугают, но алгоритм всегда один и тот же: сначала честно вычисли числитель и знаменатель как отдельные выражения, а потом раздели то, что получилось.
Блок 6: Цепочки умножения и деления
Что это такое простыми словами
Когда в одном выражении несколько умножений и делений подряд, знак результата можно определить заранее — точно так же, как для целых чисел, посчитав количество отрицательных множителей и делителей.
Строгое определение
Правило: При нескольких умножениях и делениях подряд действия выполняются слева направо. Знак итогового результата определяется чётностью общего количества отрицательных чисел среди всех множителей и делителей.
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $\left(-\dfrac{3}{5}\right) \times \dfrac{2}{7} \div \left(-\dfrac{4}{15}\right)$
Шаг 1: Считаем отрицательные числа: их два (чётное количество) — итоговый знак положительный.
Шаг 2: Сначала умножение: $-\dfrac35 \times \dfrac27 = -\dfrac{6}{35}$.
Шаг 3: Теперь деление на $-\dfrac{4}{15}$ — заменяем умножением на обратную: $-\dfrac{6}{35} \times \left(-\dfrac{15}{4}\right)$.
Шаг 4: Модули: числители $6\times15=90$, знаменатели $35\times4=140$: $\dfrac{90}{140}$.
Шаг 5: Сокращаем: делим на 10, получаем $\dfrac{9}{14}$.
Ответ: $\dfrac{9}{14}$ (положительный, как и предполагалось).
Пример 2 (средний): Определи заранее знак, а затем вычисли $6 \div \left(-\dfrac13\right) \times \left(-\dfrac12\right) \div \dfrac{1}{4}$
Шаг 1: Отрицательных чисел два (чётное) — результат положительный.
Шаг 2: Считаем по порядку: $6 \div \left(-\dfrac13\right) = 6 \times (-3) = -18$.
Шаг 3: $-18 \times \left(-\dfrac12\right) = 9$.
Шаг 4: $9 \div \dfrac14 = 9 \times 4 = 36$.
Ответ: $36$ (знак совпал с предсказанным).
Пример 3 (сложный): YouTube-канал недобрал $\dfrac{2}{3}$ от плана подписчиков в первом месяце и $\dfrac{4}{5}$ от плана во втором (то есть набрал только эти доли от цели). Найди, какую долю от плана в среднем набирал канал за месяц, если известно, что за два месяца общий множитель роста равен произведению долей, а искомое среднее — квадратный корень из произведения (геометрическое среднее). Пока просто найди произведение долей
Шаг 1: Обе доли положительные (это именно доли выполнения плана, не «недобор со знаком минус»): $\dfrac23 \times \dfrac45$.
Шаг 2: Числители: $2\times4=8$, знаменатели: $3\times5=15$: $\dfrac{8}{15}$.
Ответ: произведение долей — $\dfrac{8}{15}$ (то есть суммарно за два месяца эффект соответствует набору примерно 53% от «двойного плана»).
Почему это важно
Заранее определять знак по чётности отрицательных сомножителей — отличная привычка для самопроверки: если в конце у тебя получился знак, не совпадающий с предсказанным, значит где-то в вычислениях закралась ошибка.
Практика: 30 заданий
Базовые (задания 1–10)
Задание 1: Вычисли: $\left(-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{3}{4}$
Задание 2: Вычисли: $\left(-\dfrac{2}{5}\right) \times \left(-\dfrac{3}{7}\right)$
Задание 3: Вычисли: $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5}$
Задание 4: Вычисли: $(-3{,}6) \div 4$
Задание 5: Найди число, обратное $\dfrac{5}{9}$.
Задание 6: Вычисли: $\left(-\dfrac{7}{8}\right) \times 0$
Задание 7: Вычисли: $1{,}5 \times (-2)$
Задание 8: Вычисли: $\left(-\dfrac{9}{10}\right) \div \left(-\dfrac{3}{5}\right)$
Задание 9: Товар стоит 800 рублей, скидка 10% (остаётся 90%, то есть коэффициент 0,9). Найди цену со скидкой.
Задание 10: Вычисли: $\dfrac{\;\frac{1}{3}\;}{\;\frac{2}{9}\;}$
Средние (задания 11–20)
Задание 11: Вычисли: $\left(-1\dfrac{1}{3}\right) \times \left(-\dfrac{3}{4}\right)$
Задание 12: Вычисли: $\left(-\dfrac{3}{4}\right) \div \dfrac{2}{7}$
Задание 13: Вычисли: $(-2{,}4) \div (-0{,}8)$
Задание 14: Вычисли: $1\dfrac{1}{2} \div \left(-\dfrac{2}{3}\right)$
Задание 15: Вычисли: $\dfrac{\;-\frac{2}{3}\;}{\;-\frac{1}{4}\;}$
Задание 16: Вычисли: $6{,}3 \div (-0{,}09)$
Задание 17: Вычисли: $\left(-1\dfrac{2}{5}\right) \times 0{,}6$
Задание 18: Найди $x$: $x \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{9}$
Задание 19: Вычисли: $2\dfrac{1}{4} \div (-0{,}5)$
Задание 20: Вычисли: $\dfrac{\;\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\;}{\;\frac{2}{5} - \frac{1}{4}\;}$
Продвинутые (задания 21–30)
Задание 21: Вычисли: $\left(-\dfrac{3}{5}\right) \times \dfrac{2}{7} \div \left(-\dfrac{4}{15}\right)$
Задание 22: Определи заранее знак, затем вычисли: $6 \div \left(-\dfrac13\right) \times \left(-\dfrac12\right) \div \dfrac14$
Задание 23: Цена товара 400 рублей выросла на 20% (умножение на 1,2), а затем снизилась на 20% (умножение на 0,8). Равна ли итоговая цена исходной?
Задание 24: Найди $x$: $\dfrac{2}{3} \div x = \dfrac{4}{9}$
Задание 25: Вычисли: $\left(-\dfrac56\right)^2$ (то есть $\left(-\dfrac56\right)\times\left(-\dfrac56\right)$)
Задание 26: Рецепт рассчитан на 4 порции и требует $2\dfrac{1}{2}$ стакана муки. Сколько муки нужно на 6 порций? (Подсказка: раздели на 4, затем умножь на 6, или сразу умножь на $\dfrac64$.)
Задание 27: Вычисли: $\dfrac{\;\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\;}{\;\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\;}$
Задание 28: Найди значение выражения $\left(-\dfrac23\right) \times \left(-\dfrac34\right) \times \left(-\dfrac45\right)$
Задание 29: Скорость течения реки $\dfrac34$ км/ч, а лодка идёт против течения со скоростью $6\dfrac14$ км/ч относительно воды. Реальная скорость лодки относительно берега — это разность. Найди время, за которое лодка пройдёт $11$ км против течения (используй время = расстояние ÷ скорость).
Задание 30 (на подумать): Докажи, что для любой ненулевой дроби $\dfrac{a}{b}$ выполняется $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{a}{b} = 1$, и объясни, почему это согласуется с определением взаимно обратных чисел.
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Ищут общий знаменатель перед умножением дробей Неправильно: тратят время на приведение $\dfrac23 \times \dfrac45$ к общему знаменателю Правильно: при умножении общий знаменатель не нужен — просто перемножь числители и знаменатели отдельно Почему важно: это лишняя работа, которая только увеличивает шанс ошибиться
❌ Ошибка 2: Забывают перевернуть именно вторую дробь при делении Неправильно: $\dfrac23 \div \dfrac45 = \dfrac32 \times \dfrac45$ Правильно: переворачивается делитель (вторая дробь): $\dfrac23 \div \dfrac45 = \dfrac23 \times \dfrac54$ Почему важно: переворот не той дроби полностью меняет результат
❌ Ошибка 3: Путают знак скидки/наценки с математическим минусом Неправильно: «скидка 20%» переводят как умножение на $-0{,}2$ Правильно: скидка 20% означает, что остаётся 80% цены — умножение на положительный коэффициент $0{,}8$ Почему важно: проценты скидок — это доля от исходной цены, а не отрицательное число
❌ Ошибка 4: В многоэтажной дроби путают, какая черта главная Неправильно: случайно делят не то, что нужно, перепутав уровни дроби Правильно: сначала честно вычисли числитель и знаменатель как отдельные выражения, потом раздели результаты Почему важно: торопливость в многоэтажных дробях — источник половины всех ошибок в этой теме
❌ Ошибка 5: Забывают сокращать результат Неправильно: оставляют ответ вроде $\dfrac{10}{40}$ несокращённым Правильно: всегда проверяй, можно ли сократить итоговую дробь, и доводи её до простейшего вида: $\dfrac{10}{40}=\dfrac14$ Почему важно: несокращённый ответ считается неполным решением
Главное запомнить
📝 Ключевые понятия
✅ Умножение дробей: $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$, общий знаменатель не нужен
✅ Правило знаков (как для целых чисел): одинаковые знаки — плюс, разные — минус
✅ Взаимно обратные числа: $\dfrac{a}{b}$ и $\dfrac{b}{a}$ дают в произведении 1
✅ Деление дробей: $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$ — переворачивается делитель
✅ Смешанные числа перед умножением и делением переводятся в неправильные дроби
✅ Скидка $n\%$ — это умножение на коэффициент $\left(1-\dfrac{n}{100}\right)$, а не на отрицательное число
✅ Многоэтажная дробь — это деление: сначала вычисли числитель и знаменатель отдельно, потом раздели
✅ В цепочке умножений и делений знак определяется чётностью числа отрицательных сомножителей
✅ Итоговый ответ всегда стоит сокращать до простейшего вида
Связь с другими темами курса
Что нужно было знать до этого урока:
- Сложение и вычитание рациональных чисел (урок 36) — понимание работы с дробями разных видов
- Умножение и деление целых чисел (урок 33) — правило знаков, которое сегодня распространилось на дроби
Что изучить дальше:
- Дополнительные сведения о дробях (урок 38) — поиск части от числа и числа по его части, что напрямую опирается на умножение и деление дробей
- Буквенные выражения (урок 39) — те же операции, но уже с переменными вместо конкретных чисел
Где это нужно в жизни:
- 🎮 В играх: пересчёт характеристик персонажа при бонусах и штрафах в разы (например, «урон ×1,5» или «броня ×0,7»)
- 📱 В технологиях: расчёт скидок, кэшбэка и процентов в приложениях банков и магазинов
- 💰 В кулинарии и быту: пересчёт рецептов на другое количество порций, деление счёта между друзьями поровну
Интересные факты
💡 Кулинария как источник дробей — пересчёт рецепта с 4 порций на 6 (как в одном из сегодняшних заданий) — это классическая задача на умножение дроби на дробь, с которой сталкивается любой, кто готовит по рецепту не на то количество человек.
💡 Проценты — это дроби в замаскированном виде — слово «процент» происходит от латинского per centum, «на сто», то есть любой процент — это просто дробь со знаменателем 100, и все операции с процентами — это операции с дробями.
💡 Масштаб на чертежах — архитекторы и инженеры используют масштаб (например, 1:100) — это ровно то же умножение и деление дробей, только направленное на длины на бумаге и в реальности.
💡 Обратные числа и единица — единственное число, обратное самому себе, — это 1 (и, отдельно, $-1$): $\dfrac11=1$ и $\dfrac{-1}{-1}=1$. Для всех остальных чисел обратное — это другое, отличное от исходного, число.
Лайфхаки и полезные трюки
1. Сокращай до умножения, а не после Если видишь, что числитель одной дроби и знаменатель другой имеют общий делитель — сократи их сразу, до умножения, чтобы работать с меньшими числами.
2. Проценты — сразу в коэффициент Переводи проценты сразу в десятичный коэффициент («скидка 15%» → «умножить на 0,85»), не думая отдельно про вычитание процентов.
3. Деление на дробь меньше 1 увеличивает число Если делишь на дробь меньше единицы (например, $\div \dfrac12$), результат окажется БОЛЬШЕ исходного числа — это полезный ориентир для проверки правдоподобности ответа.
4. Многоэтажные дроби — по этажам Считай числитель и знаменатель многоэтажной дроби как два отдельных примера, и только в конце примени деление между готовыми результатами.
5. Считай минусы заранее Прежде чем вычислять длинную цепочку умножений и делений, посчитай количество отрицательных чисел — это подскажет ожидаемый знак ответа и поможет проверить себя.
💡 Совет: Умножение и деление дробей на самом деле проще, чем кажется — здесь нет капризного общего знаменателя. Основные трудности возникают из-за спешки: не торопись, сокращай там, где можно, и всегда сверяй знак ответа с предсказанным заранее.
Готов двигаться дальше? В следующем уроке ты узнаешь ещё несколько полезных приёмов работы с дробями — как искать часть от числа и число по его части. А если хочешь порешать задачи с подсказками — открой AI-репетитора в Telegram.