Умножение и деление целых чисел
📋 Содержание урока
Умножение и деление целых чисел ✖️
Ты уже умеешь складывать и вычитать целые числа с любыми знаками. Но что происходит, когда отрицательные числа нужно умножить или разделить? Работает ли здесь та же логика долгов и доходов, что и в прошлом уроке?
Ответ — и да, и нет. Правила знаков при умножении и делении гораздо проще, чем при сложении: тебе не нужно сравнивать никакие модули, достаточно один раз запомнить всего два случая. Зато здесь есть своя ловушка — деление на ноль, о которую спотыкаются даже взрослые.
В этом уроке ты разберёшь правила знаков, узнаешь, что происходит при умножении на ноль, вспомнишь законы умножения (уже с отрицательными числами) и научишься быстро определять знак результата в длинных произведениях, даже не вычисляя их до конца.
🎯 Ты узнаешь:
- Как определить знак произведения и частного двух чисел
- Что получится, если умножить любое число на ноль
- Почему на ноль нельзя делить — и что в этом плохого
- Как быстро определить знак в произведении из нескольких множителей
История: почему «минус на минус даёт плюс»? 📜
Правило знаков при умножении отрицательных чисел веками вызывало недоверие даже у профессиональных математиков — оно кажется неочевидным, если пытаться объяснить его «на пальцах» через простой пересчёт предметов.
Уже упомянутый индийский математик Брахмагупта в VII веке сформулировал и это правило: «произведение двух долгов есть имущество», то есть минус на минус даёт плюс. Но по-настоящему строгое обоснование появилось позже, когда математики стали требовать, чтобы правила действий с отрицательными числами не противоречили уже известным законам арифметики — в первую очередь распределительному закону.
Вот классическое рассуждение, которое приводили математики XVI–XVIII веков. Возьмём заведомо верное равенство: $(-1) \times (5 + (-5)) = (-1) \times 0 = 0$. С другой стороны, раскрыв скобки по распределительному закону, получим $(-1) \times 5 + (-1) \times (-5) = -5 + (-1)\times(-5)$. Чтобы вся сумма дала ноль, слагаемое $(-1)\times(-5)$ обязано равняться $+5$ — иначе распределительный закон сломается. Получается, что «минус на минус даёт плюс» — это не произвольная договорённость, а математическая необходимость, если мы хотим, чтобы старые законы арифметики продолжали работать и для отрицательных чисел. Итальянский математик и по совместительству инженер и учёный XVI века уже свободно оперировал такими рассуждениями, хотя философское принятие отрицательных чисел растянулось ещё на пару столетий.
Сегодня это правило — база не только школьной алгебры, но и физики (например, при расчёте направления силы или заряда), и информатики, где знаковые числа обрабатываются в компьютере по абсолютно тем же законам.
Блок 1: Правило знаков при умножении
Что это такое простыми словами
Представь, что «плюс» — это друг, а «минус» — соперник. Если у тебя два друга (плюс на плюс) — вы точно заодно, результат положительный. Если друг и соперник (плюс на минус) — они не совпадают, результат отрицательный. А если два соперника объединяются против третьего (минус на минус) — они, как ни странно, оказываются заодно, и результат снова положительный.
Строгое определение
Правило:
- «плюс» × «плюс» = «плюс»
- «минус» × «минус» = «плюс»
- «плюс» × «минус» = «минус»
- «минус» × «плюс» = «минус»
Другими словами: одинаковые знаки дают плюс, разные знаки дают минус. Сама величина результата всегда равна произведению модулей: $|a \times b| = |a| \times |b|$.
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $6 \times (-4)$
Шаг 1: Знаки разные (плюс и минус) — результат отрицательный.
Шаг 2: Перемножаем модули: $6 \times 4 = 24$.
Ответ: $-24$.
Пример 2 (средний): Вычисли $(-7) \times (-3)$
Шаг 1: Знаки одинаковые (оба минус) — результат положительный.
Шаг 2: Перемножаем модули: $7 \times 3 = 21$.
Ответ: $21$.
Пример 3 (сложный): В игре ты теряешь по 8 очков в каждом из 5 неудачных раундов подряд. Сколько очков потеряно всего? Запиши через умножение
Шаг 1: Потеря очков в одном раунде — это $-8$. Раундов было 5, то есть множитель $+5$.
Шаг 2: Считаем: $(-8) \times 5$. Знаки разные — результат отрицательный: $8 \times 5 = 40$, значит $-40$.
Ответ: потеряно 40 очков, итоговое изменение $-40$.
Почему это важно
Умножение на отрицательное число по сути означает «повторить действие несколько раз, но в противоположном направлении» — именно поэтому потеря очков или денег за несколько одинаковых раундов считается через умножение отрицательного числа на количество повторений.
Блок 2: Умножение на ноль
Что это такое простыми словами
Если у тебя ноль коробок с конфетами — неважно, по сколько конфет было бы в каждой коробке, конфет у тебя всё равно ровно ноль. Умножение на ноль «обнуляет» результат вне зависимости от второго множителя.
Строгое определение
Правило: Для любого числа $a$:
$$a \times 0 = 0$$
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $(-9) \times 0$
Шаг 1: Один из множителей — ноль.
Ответ: $0$.
Пример 2 (средний): Вычисли $0 \times (-100) \times 47$
Шаг 1: Среди множителей есть ноль — значит всё произведение равно нулю, независимо от остальных чисел.
Ответ: $0$.
Пример 3 (сложный): Верно ли, что если $a \times b = 0$, то обязательно $a=0$ или $b=0$? Проверь на числах $a=-5$, $b=0$
Шаг 1: Подставляем: $(-5) \times 0 = 0$ — равенство выполняется.
Шаг 2: Это иллюстрирует общее правило: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (никакие ненулевые числа при умножении друг на друга ноль дать не могут).
Ответ: да, верно; в примере как раз $b=0$, и произведение действительно равно нулю.
Почему это важно
Это правило — одна из основ алгебры: когда позже ты будешь решать уравнения вида $(x-3)(x+5)=0$, ты будешь опираться именно на факт «произведение равно нулю ⟺ хотя бы один из множителей равен нулю».
Блок 3: Законы умножения с отрицательными числами
Что это такое простыми словами
Три знакомых тебе закона умножения — переместительный, сочетательный и распределительный — продолжают работать и для отрицательных чисел, просто теперь нужно внимательнее следить за знаками.
Строгое определение
Переместительный закон: $a \times b = b \times a$
Сочетательный закон: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
Распределительный закон: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Проверь переместительный закон на числах $-6$ и $5$
Шаг 1: Считаем $(-6) \times 5 = -30$.
Шаг 2: Считаем $5 \times (-6) = -30$.
Ответ: оба произведения равны $-30$ — закон подтверждён.
Пример 2 (средний): Вычисли $(-2) \times 3 \times (-5)$ двумя способами группировки
Способ 1: сначала $(-2) \times 3 = -6$, затем $(-6) \times (-5) = 30$.
Способ 2: сначала $3 \times (-5) = -15$, затем $(-2) \times (-15) = 30$.
Ответ: оба способа дают 30 — группировать множители можно как удобно.
Пример 3 (сложный): Раскрой скобки, применяя распределительный закон: $(-4) \times (7 + (-3))$
Способ 1 — сначала скобка: $7 + (-3) = 4$, затем $(-4) \times 4 = -16$.
Способ 2 — распределительный закон: $(-4) \times 7 + (-4) \times (-3) = -28 + 12 = -16$.
Ответ: оба способа дают $-16$ ✅ — распределительный закон работает и здесь.
Почему это важно
Распределительный закон с отрицательными числами — это именно то, чем ты будешь пользоваться в уроке 41 при раскрытии скобок: минус перед скобкой — это, по сути, умножение всего содержимого скобки на $-1$.
Блок 4: Деление целых чисел
Что это такое простыми словами
Деление — операция, обратная умножению, поэтому правило знаков здесь абсолютно то же самое: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
Строгое определение
Правило: При делении, как и при умножении, одинаковые знаки дают плюс, разные знаки дают минус. Величина частного равна частному модулей: $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$.
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $(-24) \div 6$
Шаг 1: Знаки разные — результат отрицательный.
Шаг 2: Делим модули: $24 \div 6 = 4$.
Ответ: $-4$.
Пример 2 (средний): Вычисли $(-45) \div (-9)$
Шаг 1: Знаки одинаковые — результат положительный.
Шаг 2: Делим модули: $45 \div 9 = 5$.
Ответ: $5$.
Пример 3 (сложный): Класс из 24 учеников поделили на равные команды, и суммарный результат команды за проигранный конкурс — минус 96 баллов. Раздели штраф поровну между всеми 24 учениками
Шаг 1: Записываем как деление: $(-96) \div 24$.
Шаг 2: Знаки разные — результат отрицательный. Делим модули: $96 \div 24 = 4$.
Ответ: каждому ученику начислен штраф $-4$ балла.
Почему это важно
Деление отрицательного числа поровну между несколькими объектами — классическая жизненная ситуация: общий долг, разделённый между участниками, общий штраф команды, разделённый между игроками.
Блок 5: Деление на ноль запрещено
Что это такое простыми словами
Раздели пиццу между нулём человек — сколько получит каждый? Вопрос не имеет смысла, потому что «делить между нулём» — это вообще не про распределение чего-либо. Именно поэтому деление на ноль в математике строго запрещено: для него просто не существует ответа.
Строгое определение
Правило: Деление на ноль не определено. Для любого числа $a$: выражение $a \div 0$ не имеет смысла и в вычислениях не используется. Само число 0 можно делить на любое ненулевое число: $0 \div a = 0$ (при $a \neq 0$).
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Вычисли $0 \div 7$
Шаг 1: Делимое равно нулю, делитель ненулевой.
Ответ: $0$ (у нуля предметов, поделённых на любое число людей, каждому достанется ноль).
Пример 2 (средний): Можно ли вычислить $9 \div 0$?
Шаг 1: Проверяем: есть ли такое число $x$, что $x \times 0 = 9$? По правилу умножения на ноль, $x \times 0$ всегда равно $0$, никогда не 9.
Ответ: такого числа не существует, значит $9 \div 0$ не определено — выражение не имеет смысла.
Пример 3 (сложный): Почему $0 \div 0$ — это тоже не определено, хотя, казалось бы, «ноль на ноль должен быть ноль»?
Шаг 1: Проверяем через умножение: нужно найти такое $x$, что $x \times 0 = 0$.
Шаг 2: Но это равенство верно для абсолютно любого числа $x$ — хоть 0, хоть 5, хоть $-100$: любое число, умноженное на 0, даёт 0.
Ответ: раз подходит любое число, а не какое-то одно конкретное, у выражения $0 \div 0$ нет единственного определённого значения — оно тоже считается неопределённым.
Почему это важно
Запрет деления на ноль — это не «прихоть» школьной программы, а логическая необходимость: без него математика теряла бы однозначность (одно и то же выражение могло бы «равняться» сразу нескольким разным числам). Этот запрет ты будешь постоянно учитывать в дробях — знаменатель дроби никогда не может быть равен нулю.
Блок 6: Знак произведения нескольких множителей
Что это такое простыми словами
Когда множителей больше двух, не обязательно перемножать их строго по порядку, чтобы понять знак ответа. Есть быстрый трюк: просто посчитай, сколько среди множителей отрицательных чисел.
Строгое определение
Правило: Если среди множителей произведения чётное число отрицательных сомножителей — результат положительный. Если нечётное — результат отрицательный (при условии, что среди множителей нет нуля, иначе всё произведение — 0).
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Определи знак произведения $(-2) \times (-3) \times (-4)$, не вычисляя до конца
Шаг 1: Считаем отрицательные множители: их три — $(-2)$, $(-3)$, $(-4)$.
Шаг 2: Три — число нечётное, значит результат отрицательный.
Шаг 3: Вычисляем модуль: $2 \times 3 \times 4 = 24$.
Ответ: $-24$.
Пример 2 (средний): Определи знак и вычисли $(-2) \times (-3) \times (-4) \times (-1)$
Шаг 1: Отрицательных множителей четыре — число чётное, значит результат положительный.
Шаг 2: Модуль: $2 \times 3 \times 4 \times 1 = 24$.
Ответ: $24$.
Пример 3 (сложный): Цена товара 200 рублей трижды подряд снижалась на 15%. Найди итоговую цену (используй, что после снижения на 15% остаётся 85% от цены, то есть умножение на 0,85)
Шаг 1: Каждое снижение — это умножение на $0{,}85$ (положительное число, знак здесь не при чём — это не «минус», а просто дробный коэффициент).
Шаг 2: Считаем: $200 \times 0{,}85 = 170$.
Шаг 3: $170 \times 0{,}85 = 144{,}5$.
Шаг 4: $144{,}5 \times 0{,}85 = 122{,}825$.
Ответ: примерно $122{,}83$ рубля (округляя до копеек).
Почему это важно
Быстрое определение знака по чётности отрицательных множителей экономит время на контрольных: не обязательно домножать всё по порядку, чтобы понять хотя бы знак результата — а часто этого уже достаточно, чтобы проверить, не ошибся ли ты в вычислениях.
Практика: 30 заданий
Базовые (задания 1–10)
Задание 1: Вычисли: $5 \times (-6)$
Задание 2: Вычисли: $(-8) \times (-2)$
Задание 3: Вычисли: $(-14) \div 7$
Задание 4: Вычисли: $(-36) \div (-4)$
Задание 5: Вычисли: $(-17) \times 0$
Задание 6: Вычисли: $0 \div (-13)$
Задание 7: Верно ли, что можно вычислить $8 \div 0$? Объясни.
Задание 8: Вычисли: $9 \times (-1)$
Задание 9: Найди произведение $(-3) \times (-3)$
Задание 10: Ты теряешь по 6 очков в каждом из 4 раундов. Запиши через умножение и вычисли итоговое изменение.
Средние (задания 11–20)
Задание 11: Вычисли: $(-4) \times 3 \times (-2)$
Задание 12: Применяя распределительный закон, вычисли: $(-3) \times (5 + 7)$
Задание 13: Температура падает на $3°$ каждый час в течение 4 часов, а потом поднимается на $2°$ каждый час в течение 6 часов. Как изменилась температура за всё время?
Задание 14: Вычисли: $(-2) \times (-3) \times (-4) \times (-1)$
Задание 15: Найди $x$: $(-5) \times x = 35$
Задание 16: Вычисли: $(-100) \div (-25)$
Задание 17: В магазине цена товара уменьшается на 15% три раза подряд. Изначальная цена — 200 рублей. Найди итоговую цену.
Задание 18: Определи, не вычисляя до конца, знак произведения пяти отрицательных чисел.
Задание 19: Вычисли: $(-6) \times 5 \div (-3)$
Задание 20: Найди $x$: $x \div (-6) = -9$
Продвинутые (задания 21–30)
Задание 21: Вычисли: $(-2)^3$ (то есть $(-2)\times(-2)\times(-2)$)
Задание 22: Вычисли: $(-2)^4$
Задание 23: Класс из 24 учеников получил на конкурсе общий штраф $-96$ баллов, поровну на всех. Сколько баллов штрафа у каждого?
Задание 24: Вычисли выражение $(-3-2) \times (7-10)$
Задание 25: Найди значение выражения $(-4) \times (-5) - (-3) \times 6$
Задание 26: Вычисли: $(-2) \times (-3) \times 0 \times 1000000$
Задание 27: Реши уравнение: $(-7) \times x = (-7) \times (-7)$
Задание 28: Реши задачу: команда из 6 игроков проиграла три раунда подряд, теряя по 12 очков за раунд на всю команду. Раздели общий итог поровну между игроками — сколько очков потерял каждый?
Задание 29: Определи знак выражения $(-1)^{101}$ без вычисления всей степени.
Задание 30 (на подумать): Объясни, почему выражение $\dfrac{(-8)+8}{-3}$ равно нулю, а не «не определено», хотя в нём тоже участвует деление.
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: При умножении $(-3) \times (-4)$ получают $-12$ Неправильно: $(-3) \times (-4) = -12$ Правильно: $(-3) \times (-4) = 12$ — одинаковые знаки всегда дают плюс Почему важно: это самая частая ошибка темы — путают с правилами сложения, где знаки работают иначе
❌ Ошибка 2: Думают, что $(-5) \times 0 = -5$ Неправильно: $(-5) \times 0 = -5$ Правильно: $(-5) \times 0 = 0$ — умножение на ноль всегда даёт ноль, вне зависимости от знака другого множителя Почему важно: ноль «побеждает» любой другой множитель, знак второго числа здесь вообще не важен
❌ Ошибка 3: Пытаются вычислить деление на ноль Неправильно: $12 \div 0 = 0$ или $12 \div 0 = 12$ Правильно: деление на ноль не определено, у этого выражения просто нет значения Почему важно: это фундаментальный запрет в математике, который сохранится и в дробях, и в уравнениях, и во всех разделах алгебры дальше
❌ Ошибка 4: Забывают определять чётность числа отрицательных множителей Неправильно: при трёх и более множителях перемножают знаки наугад Правильно: посчитай количество отрицательных множителей: чётное число — плюс, нечётное — минус Почему важно: этот трюк экономит время и помогает быстро проверить, не ошибся ли ты уже в промежуточных шагах
❌ Ошибка 5: Путают знак операции и знак числа в записи вида $6-(-4)$ Неправильно: видят в записи «умножение минуса на минус» там, где на самом деле стоит вычитание Правильно: внимательно разбирайся, что перед тобой — операция (сложение/вычитание/умножение/деление) или знак самого числа Почему важно: смешение операций «сложение-вычитание» и «умножение-деление» — источник путаницы в комбинированных примерах
Главное запомнить
📝 Ключевые понятия
✅ Правило знаков (одинаково для умножения и деления): одинаковые знаки → плюс, разные знаки → минус
✅ Величина результата всегда равна произведению (или частному) модулей чисел
✅ Умножение на ноль: $a \times 0 = 0$ для любого числа $a$
✅ Деление на ноль запрещено: выражение $a \div 0$ не имеет смысла ни при каком $a$
✅ Ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю: $0 \div a = 0$ при $a \neq 0$
✅ Законы умножения (переместительный, сочетательный, распределительный) работают и для отрицательных чисел
✅ Чётность минусов: чётное число отрицательных множителей даёт плюс, нечётное — минус
✅ При нескольких умножениях и делениях подряд действия выполняются слева направо
✅ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю
Связь с другими темами курса
Что нужно было знать до этого урока:
- Сложение и вычитание целых чисел (урок 32) — база работы со знаками, хотя правила там отличаются от сегодняшних
- Что такое множество (урок 31) — множество $\mathbb{Z}$, операции внутри которого мы разбираем
Что изучить дальше:
- Рациональные числа (урок 34) — множество $\mathbb{Q}$, где те же самые правила знаков будут применяться уже к дробям
- Умножение и деление рациональных чисел (урок 37) — прямое продолжение сегодняшних правил
Где это нужно в жизни:
- 🎮 В играх: расчёт суммарного урона или бонуса за несколько одинаковых раундов подряд
- 📱 В технологиях: проценты скидок и наценок в приложениях магазинов считаются именно повторным умножением
- 💰 В финансах: равномерное распределение общего долга или общей прибыли между несколькими участниками — это деление целых чисел
Интересные факты
💡 «Минус на минус» и логическая необходимость — правило знаков при умножении можно строго вывести из уже известных законов арифметики (переместительного, распределительного), а не просто выучить как договорённость — это делает его не случайным правилом, а неизбежным следствием.
💡 Компьютеры и знаковые числа — внутри компьютера отрицательные числа хранятся в специальном двоичном формате (дополнительный код), но при умножении и делении процессор применяет ровно то же правило чётности минусов, что ты выучил сегодня.
💡 Деление на ноль в калькуляторах — если ввести в калькулятор деление на ноль, он выдаст ошибку («Error» или «∞»), а не число — это прямое цифровое воплощение математического запрета, о котором ты сегодня узнал.
💡 Отрицательные показатели степени — чётные степени отрицательного числа всегда положительны, а нечётные — всегда отрицательны: это прямое следствие правила о чётности числа минусов в произведении.
Лайфхаки и полезные трюки
1. Считай минусы, а не перемножай знаки по одному В длинном произведении сразу посчитай общее количество отрицательных множителей — чётное даёт плюс, нечётное минус. Не нужно определять знак пошагово.
2. Ноль — «джокер» умножения Если среди множителей есть хотя бы один ноль, можно сразу писать ответ 0, не считая остальное.
3. Проверка деления через умножение Если сомневаешься в результате деления $a \div b = c$, проверь обратным действием: $c \times b$ должно снова дать $a$.
4. Мнемоника для знаков «Друзья дружат, враги дружат против третьего» — одинаковые знаки (друзья или враги вместе) дают плюс, разные — минус.
5. Деление на ноль — красный флаг Если в решении задачи у тебя получилось деление на выражение, которое может обратиться в ноль, — это сигнал остановиться и отдельно проверить этот случай, а не механически продолжать вычисления.
💡 Совет: Правила знаков при умножении и делении гораздо проще, чем при сложении — здесь не нужно сравнивать модули, только считать количество минусов. Заучи это один раз железно, и вся дальнейшая алгебра станет заметно легче.
Готов двигаться дальше? В следующем уроке ты познакомишься с рациональными числами — множеством $\mathbb{Q}$, куда входят все дроби. А если хочешь порешать задачи с подсказками — открой AI-репетитора в Telegram.