Периодические дроби

Введение

Запускаешь калькулятор, делишь 1 на 3, и видишь: 0,333333… Цифры бегут бесконечно! 😱 Калькулятор сходит с ума или это математика так работает?

Спокойно, это периодические дроби - числа с бесконечно повторяющимся “хвостом”. Они встречаются постоянно: когда делишь пиццу на троих, считаешь винрейт в игре, или просто делишь деньги поровну.

Сегодня научимся работать с этими “бесконечными” числами и узнаем, что на самом деле они вполне укротимые! 🎯

Что такое периодическая дробь?

Попробуй на калькуляторе разделить:

• 1 ÷ 3 = 0,333333…
• 2 ÷ 3 = 0,666666…
• 5 ÷ 11 = 0,454545…

Видишь закономерность? После запятой какие-то цифры бесконечно повторяются. Эти повторяющиеся цифры называются период, а сама дробь - периодическая.

Откуда берутся бесконечные хвосты?

Давай разберём по шагам деление 1 на 3 столбиком:

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация деления 1 на 3 столбиком с зацикливанием Промпт: “educational animation showing long division 1 divided by 3 step by step, write 0 comma in quotient, add zero to remainder showing 10 divided by 3 equals 3 remainder 1 in red color, repeat process showing the loop with curved arrow, display infinite 3s in result with dots, highlight repeating pattern with blue circle, simple 2D mathematical style, clean notation, white background, 10 seconds duration”

Видишь закономерность? Мы постоянно получаем остаток 1, приписываем к нему ноль, делим 10 на 3 - и снова остаток 1! Это беличье колесо 🐿️, которое крутится бесконечно.

Короткая запись

Писать 0,3333333… с кучей троек неудобно. Математики придумали компактную запись: повторяющиеся цифры берём в круглые скобки.

0,(3) - читается “ноль целых и три в периоде”

Примеры:

• 0,333… = 0,(3)
• 0,666… = 0,(6)
• 0,454545… = 0,(45)
• 1,153846153846… = 1,(153846)

💡 Лайфхак: В скобках только то, что повторяется!

Два типа периодических дробей

[МЕДИА: image_01] Описание: Инфографика - чистые vs смешанные дроби Промпт: “educational infographic comparing two types of periodic fractions, split screen design: LEFT - Pure fractions with clean water droplet mascot character, examples 0,(3), 0,(6), 0,(45) below, label Period starts immediately after comma, RIGHT - Mixed fractions with mixed juice mascot character, examples 0,52(3), 0,16(5), 0,31(6) below, label Regular digits first then period, bright modern colors, friendly cartoon style, flat design, white background, for ages 10-14”

Чистые периодические дроби

Если период начинается сразу после запятой - это чистая периодическая дробь.

Примеры:

• 0,(3) - тройка сразу повторяется
• 0,(45) - сорок пять в периоде (45-45-45…)
• 0,(142857) - длинный период из шести цифр

Легко запомнить: чистая = чистый старт, никаких лишних цифр перед периодом! ✨

Смешанные периодические дроби

Если перед периодом есть цифры, которые НЕ повторяются - это смешанная периодическая дробь.

Примеры:

• 0,52(3) - сначала 52, потом бесконечные тройки
• 0,16(5) - 16 один раз, потом пятёрки
• 2,31(6) - две целых, потом 31, потом шестёрки

Представь разбег перед прыжком: сначала несколько шагов (обычные цифры), потом прыгаешь и зависаешь (период повторяется)! 🏃‍♂️

Примеры получения периодических дробей

Пример 1: Делим 5 на 11

Результат: 0,454545454545…

Видишь? Цифры 45 повторяются снова и снова!

Короткая запись: 0,(45)

Пример 2: Делим 15 на 13

Результат: 1,153846153846153846…

Здесь период длинный - целых шесть цифр: 153846

Короткая запись: 1,(153846)

Пример 3: Делим 471 на 900

Результат: 0,52333333…

[МЕДИА: video_01] Описание: Лайфхак - как записать периодическую дробь Промпт: “30-second tutorial video in modern vlog style: smartphone screen shows calculator, fingers type 471 divided by 900, result 0,52333 appears, animated hand with neon marker circles 52 then repeating 3s, split-screen shows notation 0,52(3), upbeat background music, text overlay: Just bracket the repeating part, bright colors, dynamic transitions, Gen-Z aesthetic”

Сначала идёт 52 (не повторяется), потом только тройки.

Короткая запись: 0,52(3) - смешанная!

Округление периодических дробей

Бесконечные дроби неудобны для расчётов. Можно их обрезать - округлить до нужного разряда.

Как округлять?

Используем обычные правила округления! Просто представь, что период продолжается, и смотри на нужную цифру.

Задача: Округли 0,(3) до сотых

Решение:

1. Запишем полностью: 0,3333333…
2. Сотые - второй знак после запятой
3. Смотрим на третий знак (тысячные): это 3
4. По правилу: 3 < 5, значит не увеличиваем
5. Ответ: 0,(3) ≈ 0,33

Задача: Округли 6,31(6) до тысячных

Решение:

1. Полная запись: 6,31666666…
2. Тысячные - третий знак: это 6
3. Смотрим на четвёртый знак: тоже 6
4. По правилу: 6 ≥ 5, значит увеличиваем
5. 6 + 1 = 7
6. Ответ: 6,31(6) ≈ 6,317

💡 Секрет: Просто развёрнутый период мысленно и округляй как обычное число!

Перевод чистых дробей в обыкновенные

Это математический трюк! Работает не часто, но знать полезно. 🎩✨

Правило для чистых дробей

Алгоритм:

1. Числитель: период (сами повторяющиеся цифры)
2. Знаменатель: столько девяток, сколько цифр в периоде

Пример 1: Переводим 0,(3)

Шаг 1: Период = 3 (одна цифра) Шаг 2: Числитель = 3 Шаг 3: Знаменатель = 9 (одна девятка) Шаг 4: Получаем 3/9 Шаг 5: Сокращаем: 3/9 = 1/3

Проверка: 1 ÷ 3 = 0,(3) ✅ Сошлось!

Пример 2: Переводим 0,(45)

Период = 45 (две цифры) → Числитель = 45 Знаменатель = 99 (две девятки) Получаем 45/99 Сокращаем на 9: 45/99 = 5/11

[МЕДИА: image_02] Описание: Алгоритм перевода чистой дроби Промпт: “educational step-by-step infographic in game quest style: Title Algorithm for Pure Fractions with golden scroll background, Step 1 magnifying glass icon Find the period example 0,(3) with 3 highlighted in yellow, Step 2 upward arrow Period to numerator showing 3 above fraction line, Step 3 calculator icon Count digits in period showing number 1, Step 4 grid of 9s icon Same amount of 9s below showing 9 under line, Step 5 magic wand Simplify showing fraction 3/9 equals 1/3 with sparkles, bright quest markers, level-up style, colorful flat design”

💡 Запомни: Цифр в периоде = девяток в знаменателе!

Перевод смешанных дробей в обыкновенные

Здесь посложнее, но принцип тот же!

Правило для смешанных дробей

Числитель: (все цифры после запятой) МИНУС (цифры до периода)

Знаменатель:

• Девяток столько, сколько цифр в периоде
• Нулей столько, сколько цифр до периода

Пример: Переводим 0,31(6)

Шаг 1: Все цифры: 316 Шаг 2: До периода: 31 Шаг 3: Числитель = 316 - 31 = 285 Шаг 4: Период 1 цифра → 1 девятка: 9 Шаг 5: До периода 2 цифры → 2 нуля: 00 Шаг 6: Знаменатель = 900 Шаг 7: Дробь = 285/900 = 19/60

[МЕДИА: animation_02] Описание: Анимация перевода смешанной дроби Промпт: “interactive math animation converting 0,31(6) to fraction: show large 0,31(6) at top, animate digits 316 sliding up in blue as all digits after comma, show minus sign, animate 31 in red as digits before period, display subtraction 316 minus 31 equals 285 with calculator effect, below show denominator: 9 appears with green label 1 digit in period, then 00 slides in with orange label 2 digits before period, final 900 forms, show result 285/900 with success checkmark, smooth transitions, 15 seconds”

💡 Фишка: Девяток по периоду, нулей до периода!

Где используется в жизни?

Деление денег 💰

Трое скинулись на игру за 100₽. С каждого? 100 ÷ 3 = 33,(3) ≈ 33,33₽

Игровая статистика 🎮

2 победы из 3 матчей 2 ÷ 3 = 0,(6) = 66,67% винрейт!

Деление пиццы 🍕

8 кусков на троих 8 ÷ 3 = 2,(6) куска

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путают чистую и смешанную 0,52(3) - это чистая? НЕТ! Смешанная (перед скобками 52)

❌ Ошибка 2: Неверное число девяток 0,(45) = 45/9? НЕТ! = 45/99 (две цифры → две девятки)

❌ Ошибка 3: Забывают нули 0,52(3) = (523-52)/9? НЕТ! = (523-52)/900

❌ Ошибка 4: Неправильно округляют 0,(6) ≈ 0,6? НЕТ! ≈ 0,7 (0,666… → 7)

❌ Ошибка 5: Думают период прерывается 0,33335 периодическая? НЕТ! Конечная дробь

Практика

Задание 1 (Легко 🟢)

Какие дроби периодические? а) 0,25 б) 0,333… в) 1,5 г) 0,666…

✅ Решение

б) и г) - периодические

Задание 2 (Легко 🟢)

Запиши сокращённо: а) 0,777… б) 0,454545… в) 3,121212…

✅ Решение

а) 0,(7) б) 0,(45) в) 3,(12)

Задание 3 (Средне 🟡)

Округли до десятых: 0,(6)

✅ Решение

0,666... ≈ 0,7

Задание 4 (Средне 🟡)

Переведи: 0,(7) = ?

✅ Решение

7/9

Задание 5 (Сложно 🔴)

Переведи: 0,5(3) = ?

✅ Решение

(53-5)/90 = 48/90 = 8/15

Задание 6 (Сложно 🔴)

Трое поделили 50₽. Сколько каждому?

✅ Решение

50÷3 = 16,(6) ≈ 16,67₽

Главное запомнить

✅ Периодическая дробь = бесконечное повторение цифр ✅ Период в скобках: 0,(3) ✅ Чистая = период сразу: 0,(3) ✅ Смешанная = сначала цифры: 0,52(3) ✅ Чистая: период/девятки ✅ Смешанная: (все-до)/девятки+нули ✅ Факт: 0,(9) = 1 🤯'