Пропорция
Пропорция
Введение
Представь ситуацию: ты играешь в Minecraft с друзьями. В первой команде 10 алмазов поделили на 5 игроков. Во второй команде 2 алмаза на 1 игрока.
Вопрос: в какой команде справедливее распределение? 🤔
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить отношения. И если они равны — получится пропорция!
[МЕДИА: image_01] Описание: Две группы игроков Minecraft. Слева: 10 синих алмазов над 5 пиксельными персонажами. Справа: 2 алмаза над 1 персонажем. Между ними знак равенства с галочкой. Промпт: “educational illustration, Minecraft pixel art style, left side shows 10 blue diamonds above 5 player characters, right side shows 2 diamonds above 1 player, equals sign with checkmark between them, simple flat design, white background, suitable for students aged 11-13”
Что такое пропорция?
Пропорция — это равенство двух отношений.
Вернёмся к нашим алмазам:
- Первая команда: 10 : 5 = 2 (на каждого игрока по 2 алмаза)
- Вторая команда: 2 : 1 = 2 (на каждого игрока тоже 2 алмаза)
Отношения равны! Значит, можно записать пропорцию:
$$\frac{10}{5} = \frac{2}{1}$$
Читается так: “Десять так относится к пяти, как два относится к одному”
Когда пропорции нет
❌ Возьмём другой пример: 12 подписчиков на 3 видео VS 12 подписчиков на 2 видео
- Первое отношение: 12 ÷ 3 = 4
- Второе отношение: 12 ÷ 2 = 6
4 ≠ 6 → Это НЕ пропорция!
$$\frac{12}{3} \neq \frac{12}{2}$$
[МЕДИА: image_02] Описание: Сравнение двух YouTube каналов. Слева: 12 иконок подписчиков над 3 видео (4:1). Справа: 12 подписчиков над 2 видео (6:1). Красный знак “не равно” между ними. Промпт: “educational illustration, YouTube interface style, left shows 12 subscriber icons above 3 video thumbnails with 4:1 ratio label, right shows 12 subscribers above 2 videos with 6:1 ratio label, red inequality sign between, minimalist flat design, white background”
Члены пропорции
В каждой пропорции 4 числа. Они делятся на крайние и средние члены.
Возьмём пропорцию: $$4 : 2 = 8 : 4$$
- Крайние члены (по краям): 4 и 4
- Средние члены (посередине): 2 и 8
Почему это важно? Сейчас узнаешь! 👇
[МЕДИА: image_03] Описание: Схема пропорции 4:2=8:4. Крайние числа (4 и 4) обведены зелёным кругом, средние (2 и 8) — синим. Стрелки крест-накрест показывают умножение. Промпт: “educational diagram, proportion 4:2=8:4 displayed horizontally, outer numbers 4 and 4 circled in green labeled extreme terms, inner numbers 2 and 8 circled in blue labeled middle terms, crossed arrows showing multiplication pattern, clean mathematical style, white background”
Общая формула
Любую пропорцию можно записать с помощью букв:
$$a : b = c : d$$
Где:
- a и d — крайние члены
- b и c — средние члены
Основное свойство пропорции
Вот главная фишка! 🎯
Произведение крайних членов = Произведению средних членов
То есть если перемножить числа “крест-накрест”, получатся равные результаты!
Проверка пропорции
Давай проверим нашу пропорцию $4 : 2 = 8 : 4$
Умножаем крайние члены: $$4 \times 4 = 16$$
Умножаем средние члены: $$2 \times 8 = 16$$
$$16 = 16$$ ✅ Пропорция верна!
[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация проверки пропорции. Появляется 4:2=8:4, затем стрелки крест-накрест соединяют 4×4 и 2×8, показываются вычисления, оба дают 16, появляется большая зелёная галочка. Промпт: “5-second educational animation, proportion 4:2=8:4 appears, crossed arrows connect 4×4 and 2×8, calculations show both equal 16, big green checkmark appears, simple 2D animation style, clean and minimal”
Пример с неправильной пропорцией
Проверим: $2 : 3 = 1 : 6$ — это пропорция?
Крайние члены: $$2 \times 6 = 12$$
Средние члены: $$3 \times 1 = 3$$
$$12 \neq 3$$ ❌ Это НЕ пропорция!
Примеры из жизни
🎮 Пример 1: Игровая валюта
В Roblox ты купил 100 робаксов за 500 рублей. Друг купил 20 робаксов за 100 рублей. Одинаковые ли условия?
Проверим пропорцию: $\frac{100}{500} = \frac{20}{100}$
- Крайние: $100 \times 100 = 10\,000$
- Средние: $500 \times 20 = 10\,000$
$$10\,000 = 10\,000$$ ✅ Да! Условия одинаковые
📱 Пример 2: Соцсети
На TikTok у блогера A: 300 лайков на 10 видео У блогера B: 90 лайков на 3 видео
Пропорция: $\frac{300}{10} = \frac{90}{3}$
- Крайние: $300 \times 3 = 900$
- Средние: $10 \times 90 = 900$
$$900 = 900$$ ✅ Одинаковая популярность!
[МЕДИА: image_04] Описание: Инфографика с двумя TikTok профилями. Слева: 300 сердечек-лайков, 10 видео. Справа: 90 лайков, 3 видео. Между ними знак равенства и расчёты крест-накрест. Промпт: “educational infographic, TikTok style interface, left profile shows 300 heart icons and 10 video thumbnails, right profile shows 90 hearts and 3 videos, equals sign between with cross multiplication shown, modern flat design, white background”
Задания для тренировки
Уровень 1: Разминка 🟢
Задание 1.1 Проверь, верна ли пропорция: $\frac{6}{3} = \frac{10}{5}$
Показать решение
Решение:
- Крайние: $6 \times 5 = 30$
- Средние: $3 \times 10 = 30$
- $30 = 30$ ✅
Ответ: Да, это пропорция!
Задание 1.2 Является ли пропорцией: $4 : 2 = 6 : 3$
Показать решение
Решение:
- Крайние: $4 \times 3 = 12$
- Средние: $2 \times 6 = 12$
- $12 = 12$ ✅
Ответ: Да!
Задание 1.3 Проверь: $\frac{8}{4} = \frac{5}{2}$
Показать решение
Решение:
- Крайние: $8 \times 2 = 16$
- Средние: $4 \times 5 = 20$
- $16 \neq 20$ ❌
Ответ: Нет, это не пропорция!
Уровень 2: Основной 🟡
Задание 2.1 В игре 15 золотых монет на 3 игрока. Можно ли составить пропорцию с 5 монетами на 1 игрока?
Показать решение
Решение: Проверяем: $\frac{15}{3} = \frac{5}{1}$
- Крайние: $15 \times 1 = 15$
- Средние: $3 \times 5 = 15$
- $15 = 15$ ✅
Ответ: Да, это пропорция! Распределение честное.
Задание 2.2 Магазин: 200 рублей за 4 шоколадки. Составит ли пропорцию 150 рублей за 3 шоколадки?
Показать решение
Решение: $\frac{200}{4} = \frac{150}{3}$
- Крайние: $200 \times 3 = 600$
- Средние: $4 \times 150 = 600$
- $600 = 600$ ✅
Ответ: Да! Цена одинаковая (50 руб за штуку).
Задание 2.3 Проверь пропорцию: $12 : 8 = 9 : 6$
Показать решение
Решение:
- Крайние: $12 \times 6 = 72$
- Средние: $8 \times 9 = 72$
- $72 = 72$ ✅
Ответ: Пропорция верна!
Задание 2.4 YouTube канал A: 120 просмотров на 4 видео Канал B: 90 просмотров на 3 видео Одинакова ли популярность?
Показать решение
Решение: $\frac{120}{4} = \frac{90}{3}$
- Крайние: $120 \times 3 = 360$
- Средние: $4 \times 90 = 360$
- $360 = 360$ ✅
Ответ: Да, одинаковая! (по 30 просмотров на видео)
Задание 2.5 Верна ли пропорция: $\frac{18}{6} = \frac{15}{5}$
Показать решение
Решение:
- Крайние: $18 \times 5 = 90$
- Средние: $6 \times 15 = 90$
- $90 = 90$ ✅
Ответ: Да, пропорция верна!
Уровень 3: Продвинутый 🔴
Задание 3.1 Спортзал: 2400 рублей за 8 занятий Другой зал: 1500 рублей за 5 занятий Где выгоднее?
Показать решение
Решение: Проверяем пропорцию: $\frac{2400}{8} = \frac{1500}{5}$
- Крайние: $2400 \times 5 = 12\,000$
- Средние: $8 \times 1500 = 12\,000$
- $12\,000 = 12\,000$ ✅
Ответ: Цена одинаковая! (300 руб за занятие в обоих)
Задание 3.2 Пропорция: $\frac{x}{12} = \frac{5}{4}$ Найди $x$, используя основное свойство.
Показать решение
Решение: По основному свойству: $$x \times 4 = 12 \times 5$$ $$4x = 60$$ $$x = 60 : 4$$ $$x = 15$$
Проверка: $\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
- Крайние: $15 \times 4 = 60$
- Средние: $12 \times 5 = 60$ ✅
Ответ: $x = 15$
Задание 3.3 В школе соотношение мальчиков к девочкам 7:8. Всего 450 учеников. Сколько мальчиков?
Показать решение
Решение: Обозначим: на 7 мальчиков приходится 8 девочек Всего частей: $7 + 8 = 15$
Одна часть: $450 : 15 = 30$ учеников
Мальчиков: $7 \times 30 = 210$
Проверка: Девочек: $8 \times 30 = 240$ Всего: $210 + 240 = 450$ ✅
Ответ: 210 мальчиков
Типичные ошибки
❌ Ошибка 1: Путаница с крайними и средними
Неправильно: В пропорции $6 : 3 = 4 : 2$ крайние — это 6 и 3
Правильно: Крайние — это 6 и 2 (по краям!), средние — 3 и 4
Почему: Запомни: крайние стоят с краёв, средние — в центре
❌ Ошибка 2: Неправильное умножение
Неправильно: $\frac{10}{5} = \frac{6}{3}$ Умножаем: $10 \times 5 = 6 \times 3$
Правильно: Умножаем КРЕСТ-НАКРЕСТ: $10 \times 3 = 5 \times 6$
Почему: Основное свойство: произведение крайних = произведению средних
❌ Ошибка 3: Забыли проверить результат
Неправильно: $\frac{8}{4} = \frac{10}{5}$ Умножил, получил 40 и 40, забыл сравнить
Правильно: $8 \times 5 = 40$ $4 \times 10 = 40$ $40 = 40$ ✅ → Пропорция ВЕРНА!
Почему: Последний шаг — всегда проверить равенство!
❌ Ошибка 4: Не упростил дроби
Неправильно: $\frac{20}{10}$ оставил как есть
Правильно: $\frac{20}{10} = \frac{2}{1} = 2$
Почему: Упрощённые дроби легче сравнивать и проверять
❌ Ошибка 5: Неправильно записал пропорцию
Неправильно: “15 к 5 как 3 к 9” → $\frac{15}{5} = \frac{3}{9}$
Правильно: Сначала проверь!
- $15 : 5 = 3$
- $3 : 9 = 0.33…$
- $3 \neq 0.33$ ❌
Почему: Пропорция — это РАВЕНСТВО отношений. Всегда проверяй сначала!
Главное запомнить
✅ Пропорция — это равенство двух отношений
✅ В пропорции 4 члена: крайние (по краям) и средние (в центре)
✅ Основное свойство: произведение крайних = произведению средних
✅ Чтобы проверить пропорцию, перемножаем члены крест-накрест
✅ Если произведения равны → пропорция верна ✅
✅ Если произведения разные → это НЕ пропорция ❌
✅ Пропорции помогают сравнивать справедливость, цены, условия
Совет: Всегда рисуй стрелки крест-накрест — так не перепутаешь, что с чем умножать! 🎯