Прямая и обратная пропорциональность

Введение

Представь: чем больше времени ты играешь в любимую игру, тем больше очков набираешь. Или наоборот: чем быстрее бежишь, тем меньше времени нужно, чтобы добраться до школы. Это не случайность — это пропорциональность!

Пропорциональность — это когда две величины связаны так, что изменение одной автоматически меняет другую. Причём меняет не как попало, а по определённому правилу.

Бывает два типа такой связи:

• 📈 Прямая — одна растёт, другая тоже растёт
• 📉 Обратная — одна растёт, другая падает

Давай разберёмся!

Прямая пропорциональность

Что это такое?

Ты заказываешь пиццу. Одна пицца стоит 500₽. Сколько будут стоить 2 пиццы? Правильно, 1000₽. А 3 пиццы? 1500₽.

Смотри что происходит:

• Количество пицц увеличилось в 2 раза (с 1 до 2)
• Цена тоже увеличилась в 2 раза (с 500₽ до 1000₽)

Это и есть прямая пропорциональность! 🎯

Определение:
Прямая пропорциональность — это когда при увеличении одной величины в несколько раз, другая величина увеличивается во столько же раз.

И наоборот: если одна уменьшается в 3 раза, то и вторая уменьшается в 3 раза.

[МЕДИА: image_01] Описание: Инфографика с пиццами. Слева: 1 пицца = 500₽, в центре: 2 пиццы = 1000₽, справа: 3 пиццы = 1500₽. Стрелки показывают, как растёт количество и цена одновременно Промпт: “educational infographic, pizza pricing illustration, left side showing 1 pizza with 500 rubles price tag, center showing 2 pizzas with 1000 rubles, right showing 3 pizzas with 1500 rubles, arrows indicating proportional growth, colorful flat design, simple icons, white background, suitable for students aged 11-13”

Секретное свойство: постоянное отношение

У прямо пропорциональных величин есть фишка: их отношение всегда одинаковое!

Пример с пиццами:

• 500₽ для 1 пиццы → $\frac{500}{1} = 500$ ₽/шт
• 1000₽ для 2 пицц → $\frac{1000}{2} = 500$ ₽/шт
• 1500₽ для 3 пицц → $\frac{1500}{3} = 500$ ₽/шт

Видишь? Всегда получается 500₽ за штуку!

Это число (500) называется коэффициентом прямой пропорциональности. В данном случае это просто цена одной пиццы.

Пример из реальной жизни: YouTube-канал

Ты набираешь подписчиков. За каждый день публикаций ты получаешь примерно 50 новых подписчиков.

• 1 день → 50 подписчиков
• 2 дня → 100 подписчиков
• 3 дня → 150 подписчиков
• 10 дней → 500 подписчиков

Время и количество подписчиков — прямо пропорциональны!

Коэффициент: $\frac{50}{1} = 50$ подписчиков в день.

Можно составить пропорцию: $$\frac{50}{1} = \frac{100}{2} = \frac{150}{3}$$

Читается так: “50 подписчиков относятся к 1 дню так же, как 100 подписчиков относятся к 2 дням”.

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация роста графика подписчиков на YouTube. Ось X — дни (1, 2, 3… 10), ось Y — подписчики (50, 100, 150… 500). График растёт равномерно вверх по прямой линии Промпт: “educational animation, YouTube subscriber growth chart, X-axis showing days 1 to 10, Y-axis showing subscribers from 0 to 500, straight diagonal line growing steadily, small YouTube icons appearing at each point, smooth 2D animation, duration 8 seconds, minimalist modern style”

Ещё примеры прямой пропорциональности

1. Деньги и скины в игре
   1 скин = 100₽ → 5 скинов = 500₽ → 10 скинов = 1000₽

2. Расстояние и время при постоянной скорости
   Едешь на велике 10 км/ч: за 1 час — 10 км, за 2 часа — 20 км, за 3 часа — 30 км

3. Лайки и посты
   Каждый пост собирает 200 лайков: 1 пост = 200 лайков, 3 поста = 600 лайков

Обратная пропорциональность

Что это такое?

Теперь представь другую ситуацию. Тебе нужно пройти 12 км до друга.

Вариант 1: Идёшь пешком со скоростью 3 км/ч → потратишь 4 часа
Вариант 2: Едешь на велике 6 км/ч → потратишь 2 часа
Вариант 3: Едешь на автобусе 12 км/ч → потратишь 1 час

Смотри:

• Скорость увеличилась в 2 раза (с 3 до 6 км/ч)
• Время уменьшилось в 2 раза (с 4 до 2 часов)

Одна величина растёт, другая падает — это обратная пропорциональность! 🔄

Определение:
Обратная пропорциональность — это когда при увеличении одной величины в несколько раз, другая величина уменьшается во столько же раз.

[МЕДИА: image_02] Описание: Три сценария одного пути (12 км). Слева: пешеход (3 км/ч, 4 часа), в центре: велосипедист (6 км/ч, 2 часа), справа: автобус (12 км/ч, 1 час). Видно, как растёт скорость и падает время Промпт: “educational illustration, three travel scenarios showing same 12km distance, left showing person walking at 3 km/h taking 4 hours, center showing cyclist at 6 km/h taking 2 hours, right showing bus at 12 km/h taking 1 hour, arrows showing inverse relationship between speed and time, simple icons, flat colorful design, white background”

Секретное свойство: постоянное произведение

У обратно пропорциональных величин другая фишка: их произведение всегда одинаковое!

Пример с дорогой:

• Скорость 3 км/ч, время 4 ч → $3 \times 4 = 12$ км
• Скорость 6 км/ч, время 2 ч → $6 \times 2 = 12$ км
• Скорость 12 км/ч, время 1 ч → $12 \times 1 = 12$ км

Всегда получается 12 км — это расстояние, которое не меняется!

Пример из реальной жизни: Команда в игре

Вам нужно собрать 120 ресурсов в Minecraft.

• 1 игрок работает → закончит за 120 минут
• 2 игрока работают → закончат за 60 минут
• 4 игрока работают → закончат за 30 минут
• 6 игроков работают → закончат за 20 минут

Количество игроков и время — обратно пропорциональны!

Проверка произведения:

• $1 \times 120 = 120$
• $2 \times 60 = 120$
• $4 \times 30 = 120$

Всегда 120 — это общий объём работы!

[МЕДИА: image_03] Описание: График обратной пропорциональности. Ось X — количество игроков (1, 2, 4, 6), ось Y — время в минутах (120, 60, 30, 20). Кривая гипербола, падающая вниз Промпт: “educational graph, inverse proportionality curve, X-axis showing number of players (1, 2, 4, 6), Y-axis showing time in minutes (120, 60, 30, 20), smooth hyperbola curve descending, Minecraft block icons at each point, grid background, simple mathematical visualization, clean flat design”

Ещё примеры обратной пропорциональности

1. Скорость интернета и время загрузки
   Скорость 1 Мбит/с → файл качается 10 минут
   Скорость 5 Мбит/с → файл качается 2 минуты

2. Количество людей и время уборки
   1 человек убирает квартиру за 2 часа
   2 человека уберут за 1 час
   4 человека уберут за 30 минут

3. Цена и количество товаров на фиксированную сумму
   У тебя 300₽:
   Если шоколадка стоит 50₽ → купишь 6 штук
   Если шоколадка стоит 100₽ → купишь 3 штуки

Как различить прямую и обратную пропорциональность?

🎯 Лайфхак-схема:

Задай вопрос: “Если ПЕРВАЯ величина увеличится, ВТОРАЯ увеличится или уменьшится?”

✅ Увеличится → Прямая пропорциональность
✅ Уменьшится → Обратная пропорциональность

Примеры:

Ситуация 1: Цена и количество купленных булочек (на фиксированную сумму)

Вопрос: “Если цена булочки вырастет, я куплю больше или меньше?”
Ответ: Меньше! → Обратная пропорциональность

Ситуация 2: Количество съеденных конфет и калории

Вопрос: “Если я съем больше конфет, калорий будет больше или меньше?”
Ответ: Больше! → Прямая пропорциональность

Ситуация 3: Скорость бега и время до финиша

Вопрос: “Если я побегу быстрее, времени до финиша нужно больше или меньше?”
Ответ: Меньше! → Обратная пропорциональность

[МЕДИА: animation_02] Описание: Интерактивная схема-дерево решений. Вопрос сверху “Если первая величина растёт…”, две ветки вниз: слева “вторая тоже растёт” → иконка стрелок вверх → “Прямая”, справа “вторая падает” → стрелки в разные стороны → “Обратная” Промпт: “educational decision tree animation, top question bubble asking about first variable increasing, two branches below, left branch showing both arrows up with label direct proportionality, right branch showing arrows opposite directions with label inverse proportionality, simple icons, smooth transitions, 10 seconds duration, clean infographic style”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Определи тип пропорциональности: “Чем больше денег у тебя есть, тем больше игр ты можешь купить”

💡 Подсказка

Деньги растут → игр можешь купить больше. Обе величины растут вместе!

✅ Ответ

Прямая пропорциональность

Задание 2: Определи тип: “Чем быстрее ты бежишь, тем меньше времени тебе нужно, чтобы добежать до дома”

✅ Ответ

Обратная пропорциональность (скорость растёт, время падает)

Задание 3: Одна булочка стоит 25₽. Сколько будут стоить 4 булочки?

💡 Подсказка

Цена и количество — прямая пропорциональность. Количество увеличилось в 4 раза...

✅ Ответ

25 × 4 = **100₽**

Средний уровень 🟡

Задание 4: За 3 дня ты проходишь 15 уровней в игре. Сколько уровней пройдёшь за 7 дней (при той же скорости)?

💡 Подсказка

Дни и уровни — прямая пропорциональность. Составь пропорцию: 3/15 = 7/x

✅ Ответ

$\frac{3}{15} = \frac{7}{x}$ → $3x = 15 \times 7$ → $3x = 105$ → $x = 35$ уровней

Задание 5: Двое рабочих строят забор за 6 дней. За сколько дней его построят 3 рабочих (при той же скорости работы)?

💡 Подсказка

Рабочих и время — обратная пропорциональность. Произведение постоянно: 2 × 6 = ?

✅ Ответ

$2 \times 6 = 3 \times x$ → $12 = 3x$ → $x = 4$ дня

Задание 6: Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч и проезжает расстояние за 5 часов. Какова будет скорость, если то же расстояние нужно проехать за 3 часа?

💡 Подсказка

Скорость и время — обратная пропорциональность при постоянном расстоянии

✅ Ответ

$60 \times 5 = x \times 3$ → $300 = 3x$ → $x = 100$ км/ч

Сложный уровень 🔴

Задание 7: На 400₽ можно купить 8 шоколадок. Сколько таких же шоколадок можно купить на 550₽?

💡 Подсказка

Деньги и количество — прямая пропорциональность. Составь пропорцию!

✅ Ответ

$\frac{400}{8} = \frac{550}{x}$ → $400x = 550 \times 8$ → $400x = 4400$ → $x = 11$ шоколадок

Задание 8: 5 комбайнов убирают поле за 12 дней. За сколько дней уберут это же поле 15 комбайнов?

💡 Подсказка

Комбайнов стало больше в 3 раза (15÷5). Обратная пропорциональность → время...

✅ Ответ

$5 \times 12 = 15 \times x$ → $60 = 15x$ → $x = 4$ дня

Задание 9: Автобус едет со скоростью 80 км/ч и тратит на дорогу 3 часа. Водитель увеличил скорость до 120 км/ч. Сколько времени теперь займёт дорога?

💡 Подсказка

Обратная пропорциональность: 80 × 3 = 120 × x

✅ Ответ

$80 \times 3 = 120 \times x$ → $240 = 120x$ → $x = 2$ часа

Задание 10 (хитрое!): В магазине акция: каждая вторая булочка за полцены (первая 30₽, вторая 15₽, третья 30₽, четвёртая 15₽…). Это прямая пропорциональность между количеством булочек и стоимостью?

💡 Подсказка

Проверь отношение: цена к количеству постоянна? 1 булка = 30₽, 2 булки = 45₽, 3 булки = 75₽...

✅ Ответ

**НЕТ!** Это НЕ прямая пропорциональность, потому что отношение цены к количеству не постоянно: 30/1 = 30₽ 45/2 = 22,5₽ 75/3 = 25₽ Коэффициент меняется → это не пропорциональность!

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путают прямую и обратную пропорциональность
✅ Правильно: Задавай вопрос: “Если первая величина растёт, вторая тоже растёт или падает?” Обе растут → прямая, одна растёт, другая падает → обратная
💡 Почему важно: Иначе получишь неправильный ответ в задаче (например, вместо умножения поделишь)

❌ Ошибка 2: Считают, что “скорость и расстояние” всегда прямо пропорциональны
✅ Правильно: Зависит от условия! Если время постоянное, то прямая. Если расстояние постоянное, то обратная (скорость и время)
💡 Почему важно: Нужно смотреть, какие величины меняются, а какая фиксирована

❌ Ошибка 3: Забывают проверить постоянство отношения (для прямой) или произведения (для обратной)
✅ Правильно: Для прямой — раздели первую на вторую, должно быть одно число. Для обратной — умножь, должно быть одно число
💡 Почему важно: Это главный признак пропорциональности!

❌ Ошибка 4: В обратной пропорциональности записывают величины неправильно в пропорцию
✅ Правильно: Используй произведение: $a_1 \times b_1 = a_2 \times b_2$, а не отношение!
💡 Почему важно: Для обратной пропорциональности работает умножение, а не деление

❌ Ошибка 5: Применяют пропорциональность там, где её нет (например, возраст и рост человека)
✅ Правильно: Не все зависимости — это пропорциональность! Нужно проверить, выполняется ли правило “во столько же раз”
💡 Почему важно: Не всякая связь между величинами означает пропорциональность

Главное запомнить

✅ Прямая пропорциональность: одна величина растёт → другая тоже растёт (во столько же раз)

✅ Обратная пропорциональность: одна величина растёт → другая падает (во столько же раз)

✅ Проверка прямой: отношение величин постоянно (это коэффициент пропорциональности)

✅ Проверка обратной: произведение величин постоянно

✅ Лайфхак: задай вопрос “Если первая растёт, вторая что делает?” → обе растут = прямая, одна растёт, другая падает = обратная

✅ Примеры прямой: цена и количество (одного товара), расстояние и время (при постоянной скорости), лайки и посты

✅ Примеры обратной: скорость и время (при постоянном расстоянии), количество рабочих и время работы, цена и количество (на фиксированную сумму)

✅ Важно: не все зависимости — это пропорциональность! Проверяй правило “во столько же раз”