6-7 класс ⏱️ 20 мин

Модуль числа

Модуль числа

Введение

Представь: ты стоишь на остановке автобуса (это точка 0). Твой друг находится в 5 остановках от тебя — неважно, поехал он вперёд или назад, расстояние между вами одинаковое. Это и есть главная идея модуля!

В математике модуль — это способ измерить “расстояние до нуля”, не глядя на знак числа. Неважно, плюс или минус — важно только КАК ДАЛЕКО.

Что такое модуль числа?

Модуль числа — это расстояние от начала координат (точки 0) до точки на числовой прямой.

Обозначение

Модуль записывается двумя вертикальными палочками:

  • Модуль числа 5 → |5|
  • Модуль числа -8 → |-8|
  • Модуль нуля → |0|

Читается: “модуль пяти”, “модуль минус восьми”, “модуль нуля”.

Модуль = Расстояние

Давай разберём на примерах.

Пример 1: Модуль положительного числа

Найдём |3| (модуль числа 3).

Смотрим на координатную прямую:

...  -3  -2  -1   0   1   2   3   4  ...
                  └───┴───┴───┘
                   3 шага

От нуля до точки 3 — три шага.

Ответ: |3| = 3 ✅

[МЕДИА: image_01] Описание: Координатная прямая с отмеченной точкой A(3). Стрелки показывают 3 шага от нуля до точки. Расстояние подписано “3 единицы” Промпт: “educational illustration, number line from -4 to 4, point A marked at position 3, arrows showing 3 steps from 0 to A, distance labeled as 3 units, simple minimalist style, bright colors, white background, suitable for students aged 11-13”

Пример 2: Модуль отрицательного числа

Найдём |-3| (модуль числа -3).

...  -3  -2  -1   0   1   2   3   4  ...
      └───┴───┴───┘
       3 шага

От нуля до точки -3 — тоже три шага!

Ответ: |-3| = 3 ✅

Важно: Расстояние не может быть отрицательным! Даже если число отрицательное, модуль всегда положительный (или ноль).

Пример 3: Модуль нуля

Найдём |0|.

...  -2  -1   0   1   2  ...
             ●
          0 шагов

Точка 0 находится прямо в начале координат.

Ответ: |0| = 0 ✅

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация, показывающая человечка, стоящего в точке 0. Затем появляются две точки: +5 и -5. Человечек делает 5 шагов вправо (к +5), потом возвращается и делает 5 шагов влево (к -5). Над обоими путями появляется надпись “расстояние = 5” Промпт: “educational animation, stick figure at coordinate 0, walking 5 steps right to +5 then returning and walking 5 steps left to -5, both paths labeled distance = 5, number line below, 10 seconds duration, simple 2D style, clear visualization”

Три важных правила модуля

Правило 1: Модуль неотрицателен

Модуль всегда ≥ 0 (больше или равен нулю).

Примеры:

  • |7| = 7 ✅
  • |-100| = 100 ✅
  • |0| = 0 ✅
  • Не существует модуля = -5 ❌

Правило 2: Модуль положительного числа = самому числу

Если число уже положительное (или ноль), модуль ничего не меняет.

  • |25| = 25
  • |0,5| = 0,5
  • |1000| = 1000

Правило 3: Модуль отрицательного числа = противоположному числу

Для отрицательного числа модуль “убирает минус”.

  • |-8| = 8 (противоположное числу -8)
  • |-0,3| = 0,3
  • |-999| = 999

Математически: Если $a < 0$, то $|a| = -a$

Звучит странно? На самом деле логично: $-(-8) = +8$!

Противоположные числа

Определение: Два числа называются противоположными, если они отличаются только знаком.

Примеры противоположных пар:

  • 5 и -5
  • 17 и -17
  • 0,25 и -0,25
  • 100 и -100

Главное свойство противоположных чисел

У противоположных чисел модули равны!

Примеры:

  • |5| = |-5| = 5 ✅
  • |12| = |-12| = 12 ✅
  • |0,8| = |-0,8| = 0,8 ✅

[МЕДИА: image_02] Описание: Координатная прямая с точками A(-5) и B(5), расположенными симметрично относительно нуля. Дуги показывают расстояние от 0 до каждой точки. Подписи: “5 единиц” с обеих сторон, внизу формулы |-5| = 5 и |5| = 5 Промпт: “educational illustration, number line with points A at -5 and B at +5 marked symmetrically, arcs showing equal distances from 0 to both points labeled 5 units, formulas |-5|=5 and |5|=5 below, mirror symmetry emphasized, clean flat design, white background”

Почему это работает?

Модуль показывает, как далеко число от нуля без учёта направления.

Представь игру: ты на старте (точка 0), тебе нужно собрать монету на расстоянии 7 шагов. Неважно, пойдёшь ты влево (-7) или вправо (+7) — расстояние одинаковое!

Монета (-7)        Старт (0)        Монета (+7)
     ●────────────────●────────────────●
       7 шагов влево     7 шагов вправо

Оба модуля: |-7| = 7 и |7| = 7

Модуль на координатной прямой

Задача: Сравни модули

Какое число дальше от нуля: -10 или 8?

Решение:

Найдём модули:

  • |-10| = 10
  • |8| = 8

10 > 8, значит -10 дальше от нуля, чем 8.

    -10              0         8
     ●────────────────●─────────●
      10 единиц        8 единиц

[МЕДИА: image_03] Описание: Координатная прямая с точками -10 и 8. Стрелки от 0 к каждой точке с подписями расстояний: “10 единиц” и “8 единиц”. Визуально видно, что -10 дальше Промпт: “educational illustration, number line showing points -10 and 8, arrows from 0 to each point labeled with distances 10 units and 8 units, clear visual comparison showing -10 is farther, simple style, white background”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Найди модуль числа 7

💡 Подсказка Положительное число — модуль равен самому числу
✅ Ответ |7| = 7

Задание 2: Найди модуль числа -12

💡 Подсказка Отрицательное число — убираем минус
✅ Ответ |-12| = 12

Задание 3: Чему равен |0|?

✅ Ответ |0| = 0

Средний уровень 🟡

Задание 4: Найди значение: |-8| + |3|

💡 Подсказка Сначала найди каждый модуль отдельно, потом сложи
✅ Ответ |-8| + |3| = 8 + 3 = **11**

Задание 5: Сравни: какое число дальше от нуля: -15 или 12?

💡 Подсказка Сравни модули этих чисел
✅ Ответ |-15| = 15, |12| = 12 15 > 12 → **-15 дальше от нуля**

Задание 6: Верно ли, что |-7| = |7|?

💡 Подсказка Это противоположные числа
✅ Ответ Да, верно! |-7| = 7 и |7| = 7

Задание 7: Реши уравнение: |x| = 5

💡 Подсказка Какие числа находятся на расстоянии 5 от нуля?
✅ Ответ x = 5 или x = -5 (два решения!)

Сложный уровень 🔴

Задание 8: Вычисли: |-10| - |6| + |-3|

💡 Подсказка Действуй поэтапно: найди модули, потом выполни операции
✅ Ответ 10 - 6 + 3 = **7**

Задание 9: У какого числа модуль больше: -100 или 99?

✅ Ответ |-100| = 100, |99| = 99 100 > 99 → у числа **-100** модуль больше

Задание 10: В игре твой персонаж стоит в точке 0. Враг А на позиции -8, враг Б на позиции 5. До какого врага ближе?

💡 Подсказка Модуль показывает расстояние
✅ Ответ Расстояние до А: |-8| = 8 Расстояние до Б: |5| = 5 **До врага Б ближе** (5 < 8)

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Думают, что модуль отрицательного числа тоже отрицательный
✅ Правильно: Модуль ВСЕГДА ≥ 0. Даже для -1000: |-1000| = 1000
💡 Почему важно: Модуль — это расстояние, а расстояние не бывает отрицательным

❌ Ошибка 2: Путают, какое число дальше от нуля: -20 или 10
✅ Правильно: Сравниваем модули: |-20| = 20 и |10| = 10, значит -20 дальше
💡 Почему важно: Знак не влияет на расстояние — важна только абсолютная величина

❌ Ошибка 3: При решении |x| = 7 указывают только x = 7
✅ Правильно: Два решения: x = 7 и x = -7
💡 Почему важно: От нуля на расстоянии 7 находятся ДВЕ точки (слева и справа)

❌ Ошибка 4: Считают, что |-5| = -5
✅ Правильно: |-5| = 5 (модуль убирает минус, не добавляет его)
💡 Почему важно: Модуль отрицательного числа равен противоположному числу

❌ Ошибка 5: Забывают, что модуль нуля существует
✅ Правильно: |0| = 0 — это валидное значение
💡 Почему важно: Расстояние от 0 до 0 равно нулю

Главное запомнить

✅ Модуль числа — это расстояние от нуля до числа на координатной прямой

✅ Обозначение: две вертикальные палочки |x|

✅ Модуль всегда ≥ 0 (неотрицателен)

✅ Для положительного числа: |a| = a

✅ Для отрицательного числа: |a| = -a (убираем минус)

✅ Для нуля: |0| = 0

✅ Противоположные числа отличаются только знаком и имеют равные модули

✅ Чем больше модуль — тем дальше число от нуля (неважно, плюс или минус)

✅ Уравнение |x| = k имеет два решения: x = k и x = -k (если k > 0)

Есть вопросы?

Задай вопрос AI-учителю в Telegram

🤖 Открыть бота →
💬 Есть вопрос? Спроси бота!