Рациональные числа: полный разбор

Введение

Представь, что ты играешь в мобильную игру, где нужно собирать ресурсы 📦. У тебя может быть:

• 5 целых алмазов
• 2,5 блока дерева
• 1¾ единицы еды
• -3 очка здоровья (ты ранен!)

Все эти числа - целые, дробные, положительные и отрицательные - это рациональные числа. Они окружают нас везде: в играх, при подсчёте денег, измерении времени. Давай разберёмся, что это такое и как с ними работать! 🎯

Что такое рациональные числа

Рациональное число - это любое число, которое можно записать как дробь a/b, где:

• a - числитель (любое целое число)
• b - знаменатель (любое целое число, НО НЕ НОЛЬ!)

Почему не ноль? Потому что делить на ноль нельзя - это как попытаться разделить пиццу на 0 частей. Не получится! 🍕

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема с примерами различных типов рациональных чисел Промпт: “educational diagram showing types of rational numbers: whole numbers, fractions, mixed numbers, decimals, arranged in colorful sections, minimalist style, suitable for students aged 12-15”

К рациональным числам относятся:

1. Целые числа: -3, -1, 0, 2, 7

• Число 5 = 5/1 ✅
• Число -2 = -2/1 ✅

2. Обыкновенные дроби: 1/2, 3/4, 7/8

• Уже в нужном виде! ✅

3. Смешанные числа: 2¼, 1⅔, 5⅛

• Число 2¼ = 9/4 ✅

4. Десятичные дроби: 0,5; 1,25; -3,7

• Число 0,5 = 1/2 ✅
• Число 1,25 = 5/4 ✅

5. Периодические дроби: 0,(3) = 0,333…; 0,(142857)

• Число 0,(3) = 1/3 ✅

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация превращения разных типов чисел в дроби a/b Промпт: “animated sequence showing conversion of different number types (whole numbers, decimals, mixed numbers) into fraction form a/b, smooth transitions, educational style”

Рациональные числа на координатной прямой

Помнишь координатную прямую? Это как линейка, но бесконечная в обе стороны 📏

[МЕДИА: image_02] Описание: Координатная прямая с отмеченными рациональными числами разных типов Промпт: “coordinate line with various rational numbers marked: integers, fractions, mixed numbers, decimals, clear labels, educational illustration for middle school”

Целые числа легко найти

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 - они стоят на “главных” позициях.

А вот дроби интереснее!

Между каждыми двумя целыми числами спрятано БЕСКОНЕЧНО много других чисел!

Пример: Дробь 1/2

• Находится ровно посередине между 0 и 1
• 1 ÷ 2 = 0,5
• На том же месте, где 0,5! 🎯

Пример: Смешанное число 1½

• Находится посередине между 1 и 2
• 1½ = 3/2 = 1,5

Отрицательные дроби

Дробь -1/2:

• Находится посередине между -1 и 0
• Симметрично относительно дроби 1/2
• Как отражение в зеркале! 🪞

Минус перед дробью

Где поставить минус в отрицательной дроби? Есть три способа, и все правильные:

-1/2 = 1/(-2) = -(1/2)

Почему так? Вспомни деление:

• (-6) ÷ 2 = -3
• 6 ÷ (-2) = -3
• Результат одинаковый!

Правило: Минус можно “выносить” перед дробь для удобства.

[МЕДИА: image_03] Описание: Схема показывающая эквивалентность разных записей отрицательных дробей Промпт: “educational diagram showing equivalent forms of negative fractions with arrows connecting -a/b = a/(-b) = -(a/b), clean mathematical notation”

Противоположные рациональные числа

У каждого рационального числа есть “близнец-противоположность”:

• Для 3/4 противоположное: -3/4
• Для -2½ противоположное: 2½
• Для 0 противоположное: 0 (он сам себе противоположный!)

На прямой они расположены симметрично относительно нуля - как два игрока на равном расстоянии от центра поля ⚽

Смешанные числа в неправильные дроби

Для положительных чисел (знакомое правило):

2¾ → ?

1. Целую часть × знаменатель: 2 × 4 = 8
2. Прибавить числитель: 8 + 3 = 11
3. Знаменатель остается: 11/4

2¾ = 11/4 ✅

Для отрицательных чисел (новое правило!):

-2¾ → ?

НЕ ДЕЛАЙ ТАК: -(2 × 4 + 3) = -11/4 ❌ ЭТО НЕПРАВИЛЬНО!

ПРАВИЛЬНО:

1. Целую часть × знаменатель: 2 × 4 = 8
2. ВЫЧЕСТЬ числитель: 8 - 3 = 5
3. Поставить минус: -5/4

-2¾ = -5/4 ✅

Почему так? Потому что -2¾ означает “минус две целых И минус три четверти”: -2¾ = -2 + (-3/4) = -2 - 3/4

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Какие из чисел являются рациональными: 5, -2/3, 0, 1,5, √2?

💡 Подсказка

Рациональное число можно записать как дробь a/b. Попробуй для каждого числа!

✅ Ответ

Рациональные: 5 (=5/1), -2/3, 0 (=0/1), 1,5 (=3/2). НЕ рациональное: √2

Задание 2: Запиши число 7 в виде дроби тремя разными способами.

💡 Подсказка

Умножь числитель и знаменатель на одно и то же число

✅ Ответ

7/1, 14/2, 21/3 (или любые другие эквивалентные дроби)

Задание 3: Где на координатной прямой расположена дробь 3/4?

💡 Подсказка

Между какими целыми числами? Сколько это в десятичной записи?

✅ Ответ

Между 0 и 1, ближе к 1. В десятичной записи 0,75

Средний уровень 🟡

Задание 4: Переведи смешанное число 3⅝ в неправильную дробь.

💡 Подсказка

3 × 8 + 5 = ?

✅ Ответ

3⅝ = (3×8+5)/8 = 29/8

Задание 5: Переведи отрицательное смешанное число -1¾ в неправильную дробь.

💡 Подсказка

Для отрицательных: целая часть × знаменатель МИНУС числитель

✅ Ответ

-1¾ = -(1×4-3)/4 = -1/4... Стоп! Правильно: -(1×4+3)/4 = -7/4

Задание 6: Найди противоположное число для -2/5.

💡 Подсказка

Противоположное число имеет противоположный знак

✅ Ответ

2/5

Задание 7: Запиши в виде дроби: 0,25

💡 Подсказка

0,25 = 25 сотых = 25/100, но можно сократить

✅ Ответ

0,25 = 25/100 = 1/4

Сложный уровень 🔴

Задание 8: Если -3⅖ = -a/5, найди значение a.

💡 Подсказка

Сначала переведи смешанное число в неправильную дробь

✅ Ответ

-3⅖ = -(3×5+2)/5 = -17/5, значит a = 17

Задание 9: Между какими соседними целыми числами находится дробь -7/3?

💡 Подсказка

Выдели целую часть из дроби или переведи в десятичную

✅ Ответ

-7/3 = -2⅓ ≈ -2,33..., значит между -3 и -2

Задание 10: В игре у тебя было 2¾ здоровья, но ты получил урон и теперь у тебя -1¼ здоровья. На сколько единиц изменилось твоё здоровье?

💡 Подсказка

Найди разность: конечное состояние минус начальное

✅ Ответ

-1¼ - 2¾ = -5/4 - 11/4 = -16/4 = -4. Здоровье уменьшилось на 4 единицы

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: При переводе -2¾ получаю -(2×4+3)/4 = -11/4 ✅ Правильно: Для отрицательных смешанных чисел: -(2×4+3)/4 = -11/4, НО это даёт -2¾ = -2,75, а должно быть ≈ -2,75. Лучше думать как -2 - ¾ 💡 Почему важно: Неправильный перевод ведёт к ошибкам в вычислениях

❌ Ошибка 2: Считаю, что между 1 и 2 только одно число - 1,5 ✅ Правильно: Между любыми двумя числами бесконечно много других чисел 💡 Почему важно: Понимание плотности чисел важно для математического мышления

❌ Ошибка 3: Путаю расположение отрицательных дробей на прямой ✅ Правильно: -1/2 левее нуля, между -1 и 0 💡 Почему важно: Правильное представление чисел помогает в сравнении и вычислениях

❌ Ошибка 4: Думаю, что 0,333… не равно 1/3 ✅ Правильно: Периодическая дробь 0,(3) = 0,333… = точно 1/3 💡 Почему важно: Понимание связи между периодическими и обыкновенными дробями

Главное запомнить

✅ Рациональное число = любое число вида a/b, где b ≠ 0 ✅ Все знакомые нам числа (кроме некоторых исключений) - рациональные
✅ На координатной прямой рациональные числа расположены везде - между любыми двумя числами их бесконечно много ✅ Минус в дроби можно выносить перед дробь: -a/b = a/(-b) = -(a/b) ✅ Для отрицательных смешанных чисел используй правило: целая часть × знаменатель МИНУС числитель