Умножение и деление рациональных чисел

Введение

Представь, что ты играешь в Minecraft и у тебя есть -3/4 блока динамита 💣 А теперь нужно умножить это на -2/3… Что получится? Положительный результат или отрицательный? И вообще, как правильно умножать и делить числа со знаками?

Сегодня разберёмся, как работать с умножением и делением рациональных чисел (это дроби со знаками плюс и минус). Эти навыки понадобятся буквально везде - от подсчёта очков в играх до решения уравнений! 🎯

Основная часть

Умножение рациональных чисел

Помнишь правила умножения для целых чисел? Отличная новость - они работают и для дробей! Главное запомнить правила знаков:

📌 Правила знаков при умножении:

• Плюс на плюс = плюс
• Минус на минус = плюс
• Плюс на минус = минус
• Минус на плюс = минус

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема правил знаков при умножении с примерами положительных и отрицательных чисел Промпт: “educational diagram showing multiplication sign rules, positive and negative numbers with + and - symbols, clear visual examples, minimalist style, flat colors, white background, suitable for students aged 12-15”

Примеры умножения

Пример 1: Умножим (-2/3) × (3/5)

Это числа с разными знаками, поэтому результат будет отрицательным:

• Умножаем модули: |−2/3| × |3/5| = 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5
• Ставим минус: -2/5

Короткая запись: (-2/3) × (3/5) = -6/15 = -2/5

Пример 2: Умножим (-1/4) × (-2/7)

Оба числа отрицательные, результат будет положительным: (-1/4) × (-2/7) = +2/28 = 1/14

Пример 3: Умножение с нулём

Любое число, умноженное на ноль, даёт ноль: (-5/8) × 0 = 0

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация умножения дробей с разными знаками, показывающая пошаговый процесс Промпт: “animated illustration showing step-by-step multiplication of rational numbers with different signs, simple geometric shapes, smooth transitions, educational style, 5-8 seconds”

Деление рациональных чисел

Деление дробей - это умножение на обратную дробь! Звучит сложно? На самом деле проще простого 😉

Что такое обратная дробь? Для дроби a/b обратная дробь - это b/a. Просто переворачиваем!

• Для 3/4 обратная дробь: 4/3
• Для -2/5 обратная дробь: -5/2

Алгоритм деления:

1. Заменяем деление умножением
2. Вторую дробь переворачиваем
3. Умножаем по правилам знаков

Пример деления: (-3/4) ÷ (2/7)

(-3/4) ÷ (2/7) = (-3/4) × (7/2) = -21/8

Многоэтажные дроби 🏢

Иногда встречаются дроби-небоскрёбы, где в числителе и знаменателе тоже дроби. Выглядит страшно, но решается легко!

[МЕДИА: image_02] Описание: Визуализация многоэтажной дроби с выделением этажей и стрелками Промпт: “educational illustration of multi-level fractions with floor levels numbered, arrows showing movement between levels, architectural style, clean design, white background”

Лайфхак “С первого на четвёртый”:

Для дроби вида:

  a
  -
  b
-----
  c
  -
  d

Применяем правило: “С первого этажа на четвёртый, со второго на третий” Получаем: (a × d)/(b × c)

Пример: Вычислим многоэтажную дробь

   3
  ---
   4
-------
   5
  ---
   7

По правилу: (3 × 7)/(4 × 5) = 21/20 = 1 1/20

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Вычисли (-1/2) × (3/4)

💡 Подсказка

У чисел разные знаки, поэтому результат будет отрицательным.

✅ Ответ

(-1/2) × (3/4) = -3/8

Задание 2: Найди (-2/5) × (-3/7)

💡 Подсказка

Минус на минус даёт плюс!

✅ Ответ

(-2/5) × (-3/7) = 6/35

Задание 3: Выполни деление: (2/3) ÷ (4/5)

💡 Подсказка

Замени деление на умножение на обратную дробь.

✅ Ответ

(2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6

Средний уровень 🟡

Задание 4: В игре твой герой потерял 3/4 здоровья дважды. На сколько изменилось здоровье всего? (Считай потерю отрицательным числом)

💡 Подсказка

Потеря 3/4 записывается как -3/4. Дважды означает умножить на 2.

✅ Ответ

(-3/4) × 2 = -6/4 = -1 1/2. Герой потерял полтора здоровья (больше максимума).

Задание 5: Реши (-1 2/3) × (-2 1/4)

💡 Подсказка

Сначала переведи смешанные числа в неправильные дроби.

✅ Ответ

(-5/3) × (-9/4) = 45/12 = 3 3/4

Задание 6: Упрости многоэтажную дробь:

   1
  ---
   2
-------
   3
  ---
   4

💡 Подсказка

Используй правило "с первого на четвёртый, со второго на третий".

✅ Ответ

(1 × 4)/(2 × 3) = 4/6 = 2/3

Сложный уровень 🔴

Задание 7: В YouTube канал набрал -2/3 от планируемых подписчиков в первом месяце и -4/5 от планируемых во втором. Какую долю от плана он недобрал за два месяца?

💡 Подсказка

Нужно умножить недобор первого месяца на недобор второго месяца.

✅ Ответ

(-2/3) × (-4/5) = 8/15 от плана. Получается, недобор компенсировался!

Задание 8: Вычисли: (-2,4) ÷ (-0,8)

💡 Подсказка

Можно работать с десятичными дробями или перевести в обыкновенные.

✅ Ответ

(-2,4) ÷ (-0,8) = 2,4 ÷ 0,8 = 3

Задание 9: Найди значение сложной многоэтажной дроби:

   -2
   ---
    3
--------
   -1
   ---
    4

💡 Подсказка

Внимательно следи за знаками при применении правила этажей.

✅ Ответ

(-2 × 4)/(3 × (-1)) = -8/(-3) = 8/3 = 2 2/3

Задание 10: Реши выражение: (-3/5) × (2/7) ÷ (-4/15)

💡 Подсказка

Сначала выполни умножение, потом деление.

✅ Ответ

(-3/5) × (2/7) = -6/35, затем (-6/35) ÷ (-4/15) = (-6/35) × (-15/4) = 90/140 = 9/14

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путают знаки при умножении отрицательных чисел ✅ Правильно: Минус на минус всегда даёт плюс 💡 Почему важно: Это основа всех вычислений с рациональными числами

❌ Ошибка 2: Забывают переворачивать дробь при делении
✅ Правильно: Деление = умножение на обратную дробь 💡 Почему важно: Без этого невозможно правильно делить дроби

❌ Ошибка 3: Неправильно определяют главную черту в многоэтажной дроби ✅ Правильно: Главная черта - самая длинная, она показывает основное деление 💡 Почему важно: От этого зависит весь ход решения

❌ Ошибка 4: Не сокращают ответ до конца ✅ Правильно: Всегда проверяй, можно ли сократить результат 💡 Почему важно: Несокращённый ответ считается неполным

Главное запомнить

✅ При умножении дробей умножай числители и знаменатели отдельно ✅ Правила знаков: одинаковые знаки → плюс, разные знаки → минус
✅ Деление дробей = умножение на обратную дробь ✅ В многоэтажных дробях главная черта - самая длинная ✅ Любое число, умноженное на ноль, равно нулю ✅ Всегда сокращай результат до простейшего вида