Вынесение общего множителя за скобки

Введение

Представь, что ты покупаешь в магазине 3 пачки чипсов по 50 рублей и 3 газировки по 30 рублей. Сколько потратишь? 🤔

Можно считать так: 3×50 + 3×30 = 150 + 90 = 240 рублей.

А можно заметить, что ты покупаешь по 3 штуки каждого товара: 3×(50+30) = 3×80 = 240 рублей.

Во втором способе мы “вынесли” число 3 за скобки! Это и есть тема нашего урока 🎯

Что такое общий множитель

Общий множитель - это число (или переменная), на которое делятся все слагаемые в выражении.

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема, показывающая как число 3 является общим множителем для выражения 3×4 + 3×5 Промпт: “educational illustration showing factoring concept, number 3 being factored out from expression 3×4 + 3×5, colorful arrows and mathematical notation, minimalist style, flat colors, white background, suitable for students aged 12-14”

Например, в выражении 6 + 9:

• 6 = 3 × 2
• 9 = 3 × 3
• Общий множитель: 3

Значит: 6 + 9 = 3×2 + 3×3 = 3×(2+3) = 3×5

Как найти общий множитель

Чтобы найти общий множитель, нужно:

1️⃣ Найти НОД (наибольший общий делитель) всех чисел 2️⃣ Этот НОД и будет общим множителем

Пример: 12 + 18

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• НОД(12, 18) = 2 × 3 = 6

Значит: 12 + 18 = 6×2 + 6×3 = 6×(2+3) = 6×5

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация процесса вынесения общего множителя на примере 12 + 18 Промпт: “animated educational diagram showing step-by-step factoring process, numbers being divided and reorganized with smooth transitions, colorful mathematical elements, clean modern style”

Алгоритм вынесения за скобки

🔸 Найди НОД всех чисел (коэффициентов) 🔸 Запиши этот НОД перед скобками 🔸 В скобки запиши результат деления каждого слагаемого на НОД 🔸 Проверь: умножь то, что получилось - должно получиться исходное выражение

Примеры с числами

Пример 1: 15 + 25

НОД(15, 25) = 5 15 + 25 = 5×3 + 5×5 = 5×(3+5) = 5×8

Пример 2: 24 + 36 + 48

НОД(24, 36, 48) = 12 24 + 36 + 48 = 12×2 + 12×3 + 12×4 = 12×(2+3+4) = 12×9

Пример 3: 21 - 14

НОД(21, 14) = 7 21 - 14 = 7×3 - 7×2 = 7×(3-2) = 7×1 = 7

Вынесение отрицательного множителя

Иногда удобно выносить отрицательный множитель:

Пример: -6 - 9 Можно вынести -3: -6 - 9 = (-3)×2 + (-3)×3 = -3×(2+3) = -3×5

[МЕДИА: image_02] Описание: Иллюстрация вынесения отрицательного множителя с примером -6 - 9 Промпт: “educational diagram showing negative factoring, minus signs and numbers clearly visible, step-by-step breakdown, bright colors on white background, student-friendly design”

Буквенные выражения

С переменными работаем так же!

Пример: 4x + 6x Общий множитель: 2x (НОД коэффициентов = 2, общая переменная = x) 4x + 6x = 2x×2 + 2x×3 = 2x×(2+3) = 2x×5 = 10x

Пример: 3a + 6b + 9c НОД(3, 6, 9) = 3, общих переменных нет 3a + 6b + 9c = 3×a + 3×2b + 3×3c = 3×(a + 2b + 3c)

[МЕДИا: image_03] Описание: Схема вынесения множителей в буквенных выражениях с несколькими примерами Промпт: “mathematical illustration showing algebraic factoring with variables, letters and numbers clearly separated, educational layout with examples, modern flat design, colorful but professional”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Вынеси общий множитель: 8 + 12

💡 Подсказка

Найди НОД чисел 8 и 12

✅ Ответ

4(2 + 3), так как НОД(8,12) = 4

Задание 2: Вынеси общий множитель: 15 + 20

💡 Подсказка

На какое наибольшее число делятся и 15, и 20?

✅ Ответ

5(3 + 4), так как НОД(15,20) = 5

Задание 3: Вынеси общий множитель: 2x + 4x

💡 Подсказка

У обоих слагаемых есть общий коэффициент и общая переменная

✅ Ответ

2x(1 + 2) = 2x × 3 = 6x

Средний уровень 🟡

Задание 4: Вынеси общий множитель: 18 + 24 + 30

💡 Подсказка

Разложи числа на простые множители и найди НОД

✅ Ответ

6(3 + 4 + 5), так как НОД(18,24,30) = 6

Задание 5: Вынеси общий множитель: 6a + 9b + 12c

💡 Подсказка

Найди НОД коэффициентов 6, 9, 12

✅ Ответ

3(2a + 3b + 4c), так как НОД(6,9,12) = 3

Задание 6: Вынеси общий множитель: -10 - 15

💡 Подсказка

Удобнее вынести отрицательный множитель

✅ Ответ

-5(2 + 3), так как НОД(10,15) = 5

Задание 7: Вынеси общий множитель: 12xy + 8x

💡 Подсказка

Какой общий множитель у коэффициентов? Какие общие переменные?

✅ Ответ

4x(3y + 2), так как НОД(12,8) = 4, общая переменная x

Сложный уровень 🔴

Задание 8: Вынеси общий множитель: 45 - 60 + 75

💡 Подсказка

Найди НОД чисел 45, 60, 75

✅ Ответ

15(3 - 4 + 5), так как НОД(45,60,75) = 15

Задание 9: Вынеси общий множитель: -14a - 21b - 28c

💡 Подсказка

Вынеси отрицательный общий множитель

✅ Ответ

-7(2a + 3b + 4c), так как НОД(14,21,28) = 7

Задание 10: Можно ли вынести общий множитель из выражения: 13 + 17?

💡 Подсказка

Какой НОД у простых чисел?

✅ Ответ

Нет, так как 13 и 17 - простые числа, НОД(13,17) = 1

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Вынес не наибольший общий делитель Пример: 12 + 18 = 2(6 + 9) ✅ Правильно: 12 + 18 = 6(2 + 3) 💡 Почему важно: Нужно выносить именно НОД, чтобы максимально упростить

❌ Ошибка 2: Забыл проверить результат ✅ Правильно: Всегда умножай результат - должно получиться исходное выражение 💡 Почему важно: Проверка помогает избежать ошибок в вычислениях

❌ Ошибка 3: Неправильно работал с отрицательными числами Пример: -6 - 9 = 3(-2 - 3) ✅ Правильно: -6 - 9 = -3(2 + 3) 💡 Почему важно: При вынесении отрицательного множителя знаки в скобках меняются

❌ Ошибка 4: В буквенных выражениях не учёл общие переменные Пример: 4x + 6x = 2(2x + 3x) ✅ Правильно: 4x + 6x = 2x(2 + 3) = 10x 💡 Почему важно: Переменные тоже могут быть общими множителями

Главное запомнить

✅ Общий множитель = НОД всех коэффициентов × общие переменные ✅ Всегда проверяй результат умножением ✅ С отрицательными числами удобнее выносить отрицательный множитель ✅ В буквенных выражениях учитывай и числа, и переменные ✅ Если НОД = 1, то вынесение множителя нецелесообразно