Задачи на проценты: от простых расчетов до реальных ситуаций

Введение

Представь: ты видишь в магазине скидку 30% на новые AirPods, а в другом магазине — скидку 25% плюс дополнительную скидку 10% на ту же модель. 🎧 Где выгоднее покупать? Или твой любимый ютубер набрал 500K подписчиков, что на 25% больше, чем было месяц назад. Сколько у него было подписчиков раньше?

Проценты окружают нас везде! В этом уроке мы разберем, как решать задачи на проценты так, чтобы ты мог легко разобраться в любой жизненной ситуации.

Три способа найти процент от числа

Способ 1: Через 1%

Самый понятный способ — сначала найти 1%, потом умножить на нужное количество процентов.

Пример: Найдем 35% от 800 рублей (например, скидка на игру в Steam).

1. Найдем 1%: 800 ÷ 100 = 8 рублей
2. Найдем 35%: 8 × 35 = 280 рублей

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема нахождения процентов через 1%, показана пошагово с примером денег Промпт: “educational illustration showing percentage calculation method, step by step breakdown of finding 1% then multiplying, money bills and coins, minimalist style, flat colors, white background, suitable for students aged 12-15”

Способ 2: Через обычную дробь

Представляем проценты как обычную дробь и находим эту дробь от числа.

35% = 35/100 = 7/20

800 × 7/20 = 800 × 7 ÷ 20 = 5600 ÷ 20 = 280 рублей

Способ 3: Через десятичную дробь (самый быстрый!)

Переводим проценты в десятичную дробь и умножаем.

35% = 0,35 800 × 0,35 = 280 рублей

💡 Лайфхак: Чтобы быстро перевести проценты в десятичную дробь, просто сдвинь запятую на два знака влево: 35% → 0,35, 7% → 0,07

Нахождение числа по его проценту

Иногда мы знаем, сколько составляют проценты, а нужно найти целое число.

Пример: В Minecraft на сервере 420 игроков, что составляет 60% от максимального количества. Сколько максимум игроков может быть на сервере?

Решение: 60% = 0,6 420 ÷ 0,6 = 700 игроков максимум

Проверка: 700 × 0,6 = 420 ✅

[МЕДИА: image_02] Описание: Диаграмма показывающая соотношение известной части к целому числу Промпт: “educational diagram showing part-to-whole relationship in percentages, visual representation of finding whole number from known percentage, modern infographic style, blue and green colors, white background”

Процентное соотношение

Когда нужно сравнить две величины в процентах, одну принимаем за 100%, а вторую выражаем относительно первой.

Пример: У Насти в TikTok 1200 подписчиков, а у Максима — 1500. На сколько процентов у Максима больше подписчиков?

Решение:

1. Принимаем 1200 за 100%
2. Разница: 1500 - 1200 = 300
3. Находим: 300/1200 = 0,25 = 25%

Ответ: У Максима на 25% больше подписчиков.

Увеличение и уменьшение на проценты

Увеличение

• Увеличить на 20% = умножить на 1,2
• Увеличить на 50% = умножить на 1,5
• Увеличить на 100% = умножить на 2

Уменьшение

• Уменьшить на 20% = умножить на 0,8
• Уменьшить на 50% = умножить на 0,5
• Уменьшить на 75% = умножить на 0,25

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация показывающая как изменяется столбик при увеличении/уменьшении на проценты Промпт: “educational animation showing bar chart growing and shrinking to demonstrate percentage increase and decrease, smooth transitions, colorful bars, clean design, 5-8 seconds duration”

Задачи на концентрацию и смеси

Такие задачи часто встречаются в реальной жизни — от приготовления спортивного напитка до смешивания красок.

Принцип решения:

1. Находим количество чистого вещества в каждом растворе
2. Складываем количества веществ и объемы
3. Находим новую концентрацию

Пример: Смешали 300 мл сока с 40% содержанием фруктов и 200 мл сока с 60% содержанием фруктов. Какова концентрация в новом соке?

Решение:

1. В первом соке: 300 × 0,4 = 120 мл фруктов
2. Во втором соке: 200 × 0,6 = 120 мл фруктов
3. Всего фруктов: 120 + 120 = 240 мл
4. Всего сока: 300 + 200 = 500 мл
5. Концентрация: 240/500 = 0,48 = 48%

[МЕДИА: image_03] Описание: Схема смешивания двух растворов с разной концентрацией Промпт: “educational illustration showing mixture of two solutions with different concentrations, beakers and arrows, scientific style but simplified for students, pastel colors, white background”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: В школе 600 учеников. 45% из них играют в футбол. Сколько учеников играют в футбол?

💡 Подсказка

Найди 45% от 600. Используй самый удобный для тебя способ!

✅ Ответ

600 × 0,45 = 270 учеников

Задание 2: Цена игры была 2000 рублей. После скидки стала 1600 рублей. На сколько процентов снизилась цена?

💡 Подсказка

Найди размер скидки в рублях, потом вырази её в процентах от первоначальной цены.

✅ Ответ

Скидка: 2000 - 1600 = 400 рублей 400/2000 = 0,2 = 20%

Задание 3: Увеличь число 80 на 25%.

💡 Подсказка

Умножь на 1,25 или найди 25% от 80 и прибавь к 80.

✅ Ответ

80 × 1,25 = 100

Средний уровень 🟡

Задание 4: Ютубер набрал 84 000 просмотров, что на 40% больше, чем в прошлом месяце. Сколько просмотров было в прошлом месяце?

💡 Подсказка

84 000 просмотров соответствуют 140% (100% + 40%). Найди число по его проценту.

✅ Ответ

84 000 ÷ 1,4 = 60 000 просмотров

Задание 5: Смешали 2 кг конфет по 300 руб/кг с 3 кг конфет по 500 руб/кг. Какова средняя цена 1 кг смеси?

💡 Подсказка

Найди общую стоимость всех конфет и раздели на общий вес.

✅ Ответ

(2×300 + 3×500) ÷ (2+3) = 2100 ÷ 5 = 420 руб/кг

Задание 6: Число уменьшили на 20%, потом увеличили на 25%. Как изменилось число в итоге?

💡 Подсказка

Представь исходное число как 1. Проследи все изменения пошагово.

✅ Ответ

1 × 0,8 × 1,25 = 1 × 1 = 1 Число не изменилось!

Сложный уровень 🔴

Задание 7: В спортивном напитке содержится 8% сахара. Сколько воды нужно добавить к 500 мл такого напитка, чтобы получить 5%-й раствор?

💡 Подсказка

Количество чистого сахара не изменится. Найди, сколько сахара в 500 мл, потом определи, сколько должен весить 5%-й раствор с таким количеством сахара.

✅ Ответ

Сахара: 500 × 0,08 = 40 мл Нужный объем напитка: 40 ÷ 0,05 = 800 мл Добавить воды: 800 - 500 = 300 мл

Задание 8: Цену товара сначала повысили на 20%, потом снизили на 20%. На сколько процентов изменилась цена относительно первоначальной?

💡 Подсказка

Пусть первоначальная цена равна 100 рублей. Проследи все изменения.

✅ Ответ

100 → 120 → 96 рублей Цена снизилась на 4%

Задание 9: Два раствора соли смешали в отношении 2:3. В первом растворе 15% соли, во втором — 25%. Найди концентрацию получившегося раствора.

💡 Подсказка

Пусть первого раствора 2 части, второго — 3 части. Найди количество соли в каждом и общую концентрацию.

✅ Ответ

Соли: 2×0,15 + 3×0,25 = 0,3 + 0,75 = 1,05 части Всего раствора: 2 + 3 = 5 частей Концентрация: 1,05/5 = 0,21 = 21%

Задание 10: Население города ежегодно увеличивается на 5%. За сколько лет население увеличится в 2 раза?

💡 Подсказка

Каждый год население умножается на 1,05. Нужно найти n, при котором (1,05)ⁿ = 2.

✅ Ответ

Примерно за 14 лет (точнее: 1,05¹⁴ ≈ 1,98)

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путают “увеличить НА 50%” с “увеличить В 1,5 раза” ✅ Правильно: Увеличить НА 50% = умножить на 1,5; увеличить В 1,5 раза = то же самое 💡 Почему важно: Разные формулировки могут означать одно и то же!

❌ Ошибка 2: При нахождении числа по проценту делят на проценты, а не на десятичную дробь ✅ Правильно: 30% от числа равно 150 → число = 150 ÷ 0,3 = 500 💡 Почему важно: Проценты нужно перевести в десятичную дробь!

❌ Ошибка 3: В задачах на смеси забывают, что концентрация — это отношение вещества к общему объему ✅ Правильно: Концентрация = (количество чистого вещества) ÷ (общий объем раствора) 💡 Почему важно: Это основа для решения всех задач на смеси и сплавы!

❌ Ошибка 4: Считают, что если цену сначала увеличили на 10%, а потом уменьшили на 10%, то цена не изменилась ✅ Правильно: 100 → 110 → 99, цена уменьшилась на 1% 💡 Почему важно: Проценты берутся от разных чисел!

Главное запомнить

✅ Три способа найти процент: через 1%, через дробь, через десятичную дробь (самый быстрый) ✅ Для нахождения числа по проценту: делим значение на десятичную дробь ✅ Увеличение на n%: умножаем на (1 + n/100) ✅ Уменьшение на n%: умножаем на (1 - n/100)
✅ В задачах на смеси: складываем количества веществ отдельно от объемов ✅ При сравнении: одну величину принимаем за 100%, вторую выражаем относительно первой