Составляем и решаем уравнения по задачам

Введение

Представь: ты играешь в детективную игру 🕵️‍♂️ Есть загадка, и нужно найти неизвестное число. Например, сколько денег потратил твой друг на игру, если у него осталось определённая сумма? Или за сколько времени ты доберёшься до школы на велосипеде?

В математике такие “детективные загадки” называются задачами. И самый крутой способ их решить — составить уравнение!

Что такое математическая задача?

Задача — это когда нам нужно найти какое-то неизвестное значение:

• Сколько времени займёт поездка? ⏰
• Какая скорость у самоката? 🛴
• Сколько денег нужно на покупки? 💰
• Какой возраст у твоего питомца? 🐕

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема решения задачи - от условия через составление уравнения к ответу Промпт: “educational flowchart showing problem solving process, from text problem to equation to solution, colorful arrows, simple icons, minimalist style, suitable for students aged 12-15”

Алгоритм решения задач

Шаг 1: Вводим переменную

Выбираем что искать и обозначаем буквой (обычно x)

Шаг 2: Записываем выражения

Переводим слова задачи в математические выражения

Шаг 3: Составляем уравнение

Находим равенство и записываем уравнение

Шаг 4: Решаем уравнение

Используем знакомые правила

Шаг 5: Проверяем ответ

Подставляем в условие задачи

Учимся составлять выражения

Сначала потренируемся переводить житейские ситуации в математику!

[МЕДИА: image_02] Описание: Семья из 4 человек с возрастными обозначениями переменными Промпт: “illustration of family members with mathematical expressions for ages, father, mother, son, daughter, clean simple style, educational diagram for teenagers”

Пример 1: Семейные отношения

Папе x лет. Мама младше на 3 года. Сын младше папы в 2 раза. Сестра младше мамы в 3 раза.

Записываем:

• Папа: x лет
• Мама: (x - 3) лет
• Сын: x/2 лет
• Сестра: (x - 3)/3 лет

Пример 2: Покупки

На x рублей купили 4 шоколадки. Сколько стоит одна?

Решение: x/4 рублей за штуку

Одна шоколадка стоит y рублей. Сколько стоят 6 штук?

Решение: 6y рублей

Решаем настоящие задачи!

Задача про семью 👨‍👩‍👧‍👦

Общий возраст папы, мамы и двух детей — 96 лет. Папе x лет, мама младше на 2 года, сын младше папы в 3 раза, дочь младше мамы в 3 раза. Найти возраст каждого.

Составляем выражения:

• Папа: x лет
• Мама: (x - 2) лет
• Сын: x/3 лет
• Дочь: (x - 2)/3 лет

Составляем уравнение: x + (x - 2) + x/3 + (x - 2)/3 = 96

Решаем: x + x - 2 + x/3 + x/3 - 2/3 = 96 2x - 2 + 2x/3 - 2/3 = 96

Умножим на 3: 6x - 6 + 2x - 2 = 288 8x = 296 x = 37

Ответ:

• Папе 37 лет
• Маме 35 лет
• Сыну 37/3 ≈ 12 лет
• Дочери 35/3 ≈ 11 лет

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация решения уравнения пошагово Промпт: “animated step-by-step equation solving, mathematical transformations, clean educational animation for middle school students, 8 seconds duration”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: В корзине x яблок. Съели 8 яблок, осталось 15. Составь уравнение.

💡 Подсказка

Было x, стало x - 8, а это равно 15

✅ Ответ

x - 8 = 15, откуда x = 23

Задание 2: У Маши в 2 раза больше стикеров, чем у Пети. У Пети x стикеров, всего у них 60. Найди x.

💡 Подсказка

У Пети x, у Маши 2x, всего x + 2x = 60

✅ Ответ

3x = 60, x = 20 стикеров у Пети

Задание 3: За x часов автомобиль проехал 240 км со скоростью 80 км/ч. Найди x.

💡 Подсказка

Расстояние = скорость × время

✅ Ответ

80x = 240, x = 3 часа

Средний уровень 🟡

Задание 4: В двух пачках 40 печенек. Из первой взяли 5 штук и переложили во вторую. Теперь во второй в 2 раза больше. Сколько было в первой?

💡 Подсказка

Пусть в первой было x. Тогда во второй (40-x). После перекладывания: (x-5) и (40-x+5)

✅ Ответ

(40-x+5) = 2(x-5), 45-x = 2x-10, x = 55/3 ≈ 18 печенек

Задание 5: Двое красили забор. Первый красит 3 м²/час, второй 4 м²/час. Второй работал на 2 часа больше. Вместе покрасили 50 м². Сколько часов работал каждый?

💡 Подсказка

Пусть первый работал x часов, тогда второй (x+2) часов

✅ Ответ

3x + 4(x+2) = 50, 7x + 8 = 50, x = 6 часов первый, 8 часов второй

Задание 6: Цену товара снизили на 20%, и он стал стоить 480 рублей. Какая была первоначальная цена?

💡 Подсказка

Если цена снизилась на 20%, то стала составлять 80% = 0,8 от первоначальной

✅ Ответ

0,8x = 480, x = 600 рублей

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Из двух городов навстречу выехали автобус и машина. Скорость автобуса 60 км/ч, машины 90 км/ч. Встретились через 2 часа. Найди расстояние между городами.

💡 Подсказка

За 2 часа автобус проехал 60×2, машина 90×2. Их сумма равна расстоянию между городами

✅ Ответ

60×2 + 90×2 = 120 + 180 = 300 км

Задание 8: Смешали 30%-й и 10%-й растворы соли и получили 2 кг 22%-го раствора. Сколько каждого раствора взяли?

💡 Подсказка

Пусть взяли x кг 30%-го раствора, тогда 10%-го (2-x) кг

✅ Ответ

0,3x + 0,1(2-x) = 0,22×2, x = 1,2 кг первого, 0,8 кг второго

Задание 9: Велосипедист ехал 2 часа со скоростью x км/ч, потом 3 часа со скоростью (x+5) км/ч. Проехал всего 85 км. Найди первоначальную скорость.

💡 Подсказка

Общее расстояние = расстояние за первые 2 часа + расстояние за следующие 3 часа

✅ Ответ

2x + 3(x+5) = 85, 5x + 15 = 85, x = 14 км/ч

Задание 10: В первом сплаве золота и серебра отношение 2:3, во втором 1:4. Смешали по 1 кг каждого. Какое отношение золота к серебру в новом сплаве?

💡 Подсказка

Найди сколько золота в каждом сплаве, сложи, то же для серебра

✅ Ответ

Первый: 0,4 кг золота, 0,6 кг серебра. Второй: 0,2 кг золота, 0,8 кг серебра. Итого: 0,6 кг золота, 1,4 кг серебра. Отношение 3:7

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Неправильно вводят переменную ✅ Правильно: Чётко определи, что ищешь, и обозначь это x 💡 Почему важно: От правильного выбора переменной зависит всё решение

❌ Ошибка 2: Путают “больше в” и “больше на”
✅ Правильно: “в 3 раза больше” — умножить на 3, “на 3 больше” — прибавить 3 💡 Почему важно: Это совершенно разные операции

❌ Ошибка 3: Не проверяют ответ в условии задачи ✅ Правильно: Подставь найденное значение в исходное условие 💡 Почему важно: Проверка помогает найти ошибки в вычислениях

❌ Ошибка 4: Забывают про единицы измерения ✅ Правильно: Следи, чтобы все величины были в одинаких единицах 💡 Почему важно: Нельзя складывать километры с метрами без перевода

Главное запомнить

✅ Любую задачу можно решить через уравнение ✅ Первым делом выбери неизвестную величину и обозначь её x
✅ Переведи все условия в математические выражения ✅ Найди равенство — это и будет уравнение ✅ Обязательно проверь ответ в условии задачи