Системы линейных уравнений: когда одного уравнения недостаточно

Введение

Представь, что ты хочешь купить в игре новые скины 🎮 У тебя есть 1000 игровых монет. Крутой скин стоит 150 монет, а обычный - 50 монет. Сколько скинов каждого типа можно купить?

Если составить уравнение: 150x + 50y = 1000, то вариантов будет много! Можно купить 6 крутых и 1 обычный, или 4 крутых и 4 обычных…

Но что если добавить условие: “крутых скинов должно быть на 2 больше, чем обычных”? Тогда у нас появляется второе уравнение x = y + 2, и вместе они дают единственный ответ!

Когда два уравнения работают вместе, они образуют систему уравнений 📦

[МЕДИА: image_01] Описание: Схематическое изображение весов с двумя чашами, где показано равновесие между различными переменными Промпт: “educational illustration showing balance scales with variables x and y on different sides, representing system of equations, minimalist style, flat colors, white background, suitable for students aged 12-15”

Что такое линейное уравнение с двумя переменными?

Возьмём пример из жизни: в кафе пицца стоит 300₽, а напиток 80₽. У тебя 1200₽. Сколько пиццы и напитков можно купить?

Обозначим пиццы как x, напитки как y. Тогда: 300x + 80y = 1200

Это линейное уравнение с двумя переменными в стандартном виде: ax + by = c

Такое уравнение имеет множество решений:

• (4; 0) - 4 пиццы, 0 напитков
• (3; 3) - 3 пиццы, 3 напитка
• (2; 7) - 2 пиццы, 7 напитков
• (0; 15) - 0 пицц, 15 напитков

Каждая пара чисел (x; y) называется решением уравнения.

Система двух уравнений - когда нужен точный ответ

Но что если мы знаем дополнительную информацию? Например: “напитков купили на 1 больше, чем пицц”.

Тогда у нас есть второе уравнение: y = x + 1

Два уравнения вместе образуют систему: {300x + 80y = 1200 {y = x + 1

Система обозначается фигурной скобкой и обычно имеет единственное решение!

[МЕДИА: image_02]
Описание: Графическое представление системы уравнений как пересечение двух прямых линий Промпт: “educational diagram showing intersection of two lines on coordinate plane, representing solution of system of equations, clean mathematical visualization, white background, suitable for middle school students”

Метод подстановки 🔄

Это как сборка LEGO - берём готовую деталь и вставляем в нужное место!

Алгоритм:

1. Выражаем одну переменную из любого уравнения
2. Подставляем это выражение в другое уравнение
3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной
4. Находим вторую переменную

Пример: Решим нашу систему про пиццу {300x + 80y = 1200 {y = x + 1

Во втором уравнении y уже выражен! Подставляем в первое: 300x + 80(x + 1) = 1200 300x + 80x + 80 = 1200 380x = 1120 x = 3

Теперь найдём y: y = 3 + 1 = 4

Ответ: (3; 4) - 3 пиццы и 4 напитка

Метод сложения ➕

Представь, что у тебя два аккаунта в игре с разным количеством опыта. Если их “сложить” правильно, один из параметров исчезнет!

Алгоритм:

1. Приводим уравнения к виду, где при сложении одна переменная исчезнет
2. Складываем уравнения “по частям”
3. Решаем получившееся уравнение
4. Находим вторую переменную

Пример: {2x + 3y = 13 {5x - 3y = 1

При сложении 3y + (-3y) = 0, переменная y исчезнет: (2x + 3y) + (5x - 3y) = 13 + 1 7x = 14 x = 2

Подставляем в первое уравнение: 2·2 + 3y = 13, откуда y = 3

Ответ: (2; 3)

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация процесса сложения двух уравнений, показывающая как исчезает одна переменная Промпт: “educational animation showing step-by-step addition of two linear equations, variables canceling out, mathematical process visualization, clean style, 5 seconds duration”

Хитрости метода сложения

Иногда переменные не исчезают сразу. Тогда используем “магию умножения”!

Пример: {3x + 2y = 16 {2x + 5y = 19

Умножим первое уравнение на 5, а второе на (-2): {15x + 10y = 80 {-4x - 10y = -38

Теперь сложим: 11x = 42, откуда x = 4 Тогда y = 2

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: В магазине геймер купил 2 игры и 3 DLC за 1100₽. Игра стоит x₽, DLC стоит y₽. Также известно, что игра дороже DLC на 200₽. Составь систему уравнений.

💡 Подсказка

Первое уравнение: стоимость всех покупок. Второе: разница в цене.

✅ Ответ

{2x + 3y = 1100 {x = y + 200

Задание 2: Реши систему методом подстановки: {x + y = 10 {x = 2y + 1

💡 Подсказка

x уже выражен во втором уравнении. Подставь его в первое.

✅ Ответ

x = 7, y = 3. Решение: (7; 3)

Задание 3: Реши систему методом сложения: {x + y = 8 {x - y = 2

💡 Подсказка

При сложении уравнений y исчезнет.

✅ Ответ

x = 5, y = 3. Решение: (5; 3)

Средний уровень 🟡

Задание 4: YouTube блогер покупает камеру за 30000₽ и микрофон за 8000₽. У него есть 100000₽. Если он купит на все деньги только камеры и микрофоны, причём камер на 2 больше чем микрофонов, сколько каждого оборудования он купит?

💡 Подсказка

Пусть x - камеры, y - микрофоны. Составь два уравнения: на общую стоимость и на разность количества.

✅ Ответ

3 камеры и 1 микрофон

Задание 5: Реши методом подстановки: {3x - 2y = 7 {x + 4y = 13

💡 Подсказка

Вырази x из второго уравнения.

✅ Ответ

x = 5, y = 2. Решение: (5; 2)

Задание 6: Реши методом сложения: {2x + 3y = 12 {4x - 3y = 6

💡 Подсказка

Коэффициенты при y уже противоположные.

✅ Ответ

x = 3, y = 2. Решение: (3; 2)

Сложный уровень 🔴

Задание 7: В спортзале абонемент на месяц стоит a₽, разовое посещение b₽. За 5 месяцев Максим потратил 3500₽, купив 3 абонемента и посетив зал разово 10 раз. За 2 месяца Анна потратила 1600₽, купив 1 абонемент и 20 разовых посещений. Найди стоимость абонемента и разового посещения.

💡 Подсказка

Составь систему из трат каждого человека.

✅ Ответ

Абонемент 900₽, разовое посещение 35₽

Задание 8: Реши методом сложения: {5x - 2y = 16 {3x + 4y = 22

💡 Подсказка

Умножь первое уравнение на 2, чтобы получить -4y и 4y.

✅ Ответ

x = 4, y = 2. Решение: (4; 2)

Задание 9: В Minecraft игрок собрал железо и алмазы. Железа в 3 раза больше алмазов. Если бы он собрал на 10 алмазов больше и на 20 железа меньше, то железа и алмазов стало бы поровну. Сколько каждого ресурса собрал игрок?

💡 Подсказка

Пусть x - алмазы, y - железо. Первое условие: y = 3x. Второе: y - 20 = x + 10.

✅ Ответ

15 алмазов и 45 железа

Задание 10: Определи, сколько решений имеет система: {2x + y = 5 {4x + 2y = 10

💡 Подсказка

Попробуй выразить одно уравнение через другое.

✅ Ответ

Бесконечно много решений (уравнения эквивалентны)

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают проверить решение ✅ Правильно: Всегда подставляй найденные значения в оба исходных уравнения 💡 Почему важно: Арифметические ошибки случаются у всех, проверка поможет их найти

❌ Ошибка 2: Путают методы решения ✅ Правильно: Подстановка удобна, когда переменная уже выражена. Сложение - когда коэффициенты легко сделать противоположными 💡 Почему важно: Правильный выбор метода экономит время и уменьшает ошибки

❌ Ошибка 3: Неправильно составляют уравнения по условию задачи ✅ Правильно: Внимательно читай условие, обозначай переменные и проверяй смысл каждого уравнения 💡 Почему важно: Неверно составленная система даст неправильный ответ, даже при правильных вычислениях

❌ Ошибка 4: Забывают менять знаки при умножении на отрицательное число ✅ Правильно: При умножении уравнения на отрицательное число все знаки меняются на противоположные 💡 Почему важно: Это основное правило алгебры, нарушение которого ведёт к неверному ответу

Главное запомнить

✅ Система уравнений - это несколько уравнений с общими переменными ✅ Метод подстановки: выражаем переменную и подставляем в другое уравнение ✅ Метод сложения: складываем уравнения так, чтобы одна переменная исчезла ✅ Систему можно умножать на числа для удобства решения ✅ Всегда проверяй решение подстановкой в исходные уравнения ✅ При составлении систем по задачам внимательно анализируй все условия