Неравенства и числовые промежутки

Введение

Представь, что твой друг говорит: “У меня больше подписчиков в TikTok, чем у тебя!” 📱 Как это записать математически? Если у тебя 500 подписчиков, а у него 800, то можно написать: 800 > 500. Добро пожаловать в мир неравенств!

Неравенства окружают нас повсюду: время игры (больше 2 часов), количество лайков (меньше 100), цена игры (не более 1000 рублей). Сегодня научимся работать с ними математически! 🎯

[МЕДИА: image_01] Описание: Визуальное сравнение чисел на весах - арбуз 5 кг и 3 кг Промпт: “educational illustration showing balance scale with 5kg watermelon on left side and 3kg watermelon on right side, left side heavier, simple cartoon style, bright colors, white background”

Что такое неравенство?

Неравенство - это математическое утверждение, где два выражения сравниваются с помощью знаков:

• > (больше)
• < (меньше)
• ≥ (больше или равно)
• ≤ (меньше или равно)
• ≠ (не равно)

Как запомнить знаки? 🤔

Острый конец всегда “смотрит” на меньшее число, как голодная птичка клюет зернышко!

Примеры из жизни:

• Твой возраст > 10 лет
• Цена пиццы ≤ 500 рублей
• Время на прохождение уровня в игре < 5 минут

Основные свойства неравенств

Свойство 1: Перенос слагаемых

К обеим частям неравенства можно прибавить или вычесть одно и то же число.

Пример: 7 > 4 Прибавим 3: 7 + 3 > 4 + 3 → 10 > 7 ✅ Вычтем 2: 7 - 2 > 4 - 2 → 5 > 2 ✅

Свойство 2: Умножение на положительное число

При умножении или делении на положительное число знак неравенства НЕ меняется.

Пример: 8 > 3 Умножим на 2: 16 > 6 ✅ Разделим на 2: 4 > 1,5 ✅

Свойство 3: Умножение на отрицательное число ⚠️

При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный!

Пример: 5 > 2 Умножим на (-1): -5 < -2 ✅

[МЕДИА: image_02] Описание: Схема изменения знака неравенства при умножении на отрицательное число Промпт: “educational diagram showing inequality sign change when multiplying by negative number, before and after arrows, colorful mathematical symbols, clean design”

Строгие и нестрогие неравенства

Строгие неравенства: > и <

“Строго больше” или “строго меньше” - граница НЕ включается.

• x > 3 означает: x может быть 3,1 или 4 или 10, но НЕ 3

Нестрогие неравенства: ≥ и ≤

“Больше или равно”, “меньше или равно” - граница ВКЛЮЧАЕТСЯ.

• x ≥ 3 означает: x может быть 3, 3,5, 4, 10 и так далее

Числовые промежутки

Числовые промежутки - это “отрезки” на числовой прямой, где живут решения наших неравенств.

[МЕДИА: image_03] Описание: Координатная прямая с различными типами числовых промежутков Промпт: “mathematical coordinate line showing different types of intervals with open and closed circles, brackets notation, educational style, clear labels”

Типы промежутков:

1. Луч [a; +∞)

• x ≥ a (закрытый кружок на a)
• Пример: [3; +∞) означает “все числа от 3 до бесконечности”

2. Открытый луч (a; +∞)

• x > a (открытый кружок на a)
• Пример: (5; +∞) означает “все числа больше 5”

3. Отрезок [a; b]

• a ≤ x ≤ b (оба кружка закрыты)
• Пример: [2; 7] означает “от 2 до 7 включительно”

4. Интервал (a; b)

• a < x < b (оба кружка открыты)
• Пример: (1; 4) означает “между 1 и 4, не включая концы”

5. Полуинтервалы [a; b) и (a; b]

• Один конец включен, другой нет
• Пример: [0; 5) означает “от 0 включительно до 5 не включая”

Как решать неравенства

Решить неравенство = найти все значения переменной, при которых неравенство становится верным.

Алгоритм решения:

1. Упростить обе части
2. Собрать все с переменной в одну сторону
3. Привести к виду x > a (или x < a, x ≥ a, x ≤ a)
4. Записать ответ в виде промежутка
5. Изобразить на координатной прямой

[МЕДИА: animation_01] Описание: Пошаговое решение простого неравенства с анимацией Промпт: “animated step-by-step solution of inequality 2x + 3 > 7, showing each algebraic transformation, clean mathematical notation, educational animation”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Решите неравенство x + 5 > 8

💡 Подсказка

Перенесите 5 в правую часть, изменив знак.

✅ Ответ

x > 3, промежуток: (3; +∞)

Задание 2: Решите неравенство 3x ≤ 12

💡 Подсказка

Разделите обе части на 3.

✅ Ответ

x ≤ 4, промежуток: (-∞; 4]

Задание 3: Решите неравенство -2x > 6

💡 Подсказка

При делении на отрицательное число знак меняется!

✅ Ответ

x < -3, промежуток: (-∞; -3)

Средний уровень 🟡

Задание 4: Решите неравенство 2x - 7 ≥ x + 1

💡 Подсказка

Перенесите все слагаемые с x в левую часть, числа - в правую.

✅ Ответ

x ≥ 8, промежуток: [8; +∞)

Задание 5: Решите неравенство 3(x - 2) < 2x + 4

💡 Подсказка

Сначала раскройте скобки: 3x - 6 < 2x + 4.

✅ Ответ

x < 10, промежуток: (-∞; 10)

Задание 6: Изобразите на координатной прямой промежуток [-2; 5)

💡 Подсказка

Левая граница включена (закрытый кружок), правая не включена (открытый кружок).

✅ Ответ

Закрашенный кружок на -2, открытый кружок на 5, штриховка между ними.

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Решите двойное неравенство -1 ≤ 2x + 3 ≤ 9

💡 Подсказка

Вычтите 3 из всех частей, затем разделите на 2.

✅ Ответ

-2 ≤ x ≤ 3, промежуток: [-2; 3]

Задание 8: Решите неравенство (x+1)/2 - (x-1)/3 > 1

💡 Подсказка

Умножьте все на 6, чтобы избавиться от дробей.

✅ Ответ

x < 1, промежуток: (-∞; 1)

Задание 9: При каких значениях a неравенство 2x + a > 3x - 1 имеет решение x < 5?

💡 Подсказка

Приведите неравенство к виду x < ..., приравняйте к 5.

✅ Ответ

a = 4

Задание 10: Решите неравенство |x - 2| < 3

💡 Подсказка

Это означает -3 < x - 2 < 3.

✅ Ответ

-1 < x < 5, промежуток: (-1; 5)

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают менять знак при умножении на отрицательное число ✅ Правильно: Всегда проверяйте знак числа, на которое умножаете или делите 💡 Почему важно: Это кардинально меняет множество решений

❌ Ошибка 2: Путают открытые и закрытые скобки ✅ Правильно: Круглые () - не включаем, квадратные [] - включаем 💡 Почему важно: От этого зависит, входит ли граница в ответ

❌ Ошибка 3: Неправильно изображают промежутки на прямой ✅ Правильно: Закрашенный кружок = включено, пустой = не включено 💡 Почему важно: Визуализация помогает понять решение

❌ Ошибка 4: Не учитывают область определения при дробях ✅ Правильно: Помните, что знаменатель не может равняться нулю 💡 Почему важно: Это влияет на окончательный ответ

Главное запомнить

✅ При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется ✅ Строгие неравенства (>, <) не включают границу ✅ Нестрогие неравенства (≥, ≤) включают границу
✅ Числовые промежутки наглядно показывают множество решений ✅ Круглые скобки = не включаем, квадратные = включаем