7-8 класс ⏱️ 25 мин

Системы уравнений: от одного неизвестного к нескольким

Системы уравнений: от одного неизвестного к нескольким

Введение

Представь: ты в игре покупаешь оружие и броню за игровые монеты 💰. Меч стоит 150 монет, щит — 80 монет. У тебя есть ровно 500 монет. Сколько мечей и щитов можно купить? 🗡️🛡️

Оказывается, вариантов много! Можешь взять 2 меча и 2 щита (300 + 160 = 460 монет), или 1 меч и 4 щита (150 + 320 = 470 монет). Но что, если добавить ещё одно условие? Например: “мечей должно быть на 1 больше, чем щитов”. Тогда ответ станет единственным!

Это и есть суть систем уравнений — когда несколько условий работают вместе, чтобы найти точное решение.

[МЕДИА: image_01] Описание: Игровой магазин с оружием и ценниками, показывающий разные комбинации покупок Промпт: “video game shop interior, weapons and armor with price tags, coins scattered, medieval fantasy style, bright colors, suitable for teenagers”

Линейные уравнения с двумя неизвестными

Что это такое?

Уравнение вида ax + by = c называется линейным уравнением с двумя переменными. Здесь:

  • x и y — наши неизвестные (что мы ищем)
  • a, b, c — числа (коэффициенты)

Например: 3x + 2y = 12

Сколько у него решений?

Представь, что x — количество пиццы 🍕, а y — количество колы 🥤. Если пицца стоит 300₽, а кола 100₽, и у тебя 1000₽, то уравнение выглядит так: 300x + 100y = 1000

Варианты покупок:

  • (0; 10) — 0 пицц, 10 кол
  • (1; 7) — 1 пицца, 7 кол
  • (2; 4) — 2 пиццы, 4 колы
  • (3; 1) — 3 пиццы, 1 кола

Видишь? Решений бесконечно много! 🤯

[МЕДИА: image_02] Описание: График координатной плоскости с точками, показывающими разные решения уравнения Промпт: “coordinate plane graph, multiple colored dots representing solutions, clean mathematical illustration, educational style, white background”

Система уравнений — когда условий несколько

Когда одного условия мало

Вернёмся к нашему примеру с пиццей и колой. Добавим второе условие: “пицц должно быть на 1 больше, чем кол”.

Получаем систему:

{ 300x + 100y = 1000
{ x = y + 1

Теперь решение единственное! Давай найдём его.

Метод подстановки 🔄

Как это работает?

  1. Выражаем одну переменную через другую
  2. Подставляем это выражение в другое уравнение
  3. Решаем получившееся уравнение с одной переменной
  4. Находим вторую переменную

Пример с пиццей:

{ 300x + 100y = 1000
{ x = y + 1

Во втором уравнении x уже выражен! Подставляем в первое: 300(y + 1) + 100y = 1000 300y + 300 + 100y = 1000 400y = 700 y = 1,75

Тогда x = 1,75 + 1 = 2,75

Проверка: 300 × 2,75 + 100 × 1,75 = 825 + 175 = 1000 ✅

Ещё один пример:

{ 2x + 3y = 13
{ x - y = 1

Выражаем x из второго уравнения: x = y + 1

Подставляем в первое: 2(y + 1) + 3y = 13 2y + 2 + 3y = 13 5y = 11 y = 2,2

Тогда x = 2,2 + 1 = 3,2

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация процесса подстановки - как одно уравнение “входит” в другое Промпт: “mathematical animation showing substitution method, equations transforming, smooth transitions, educational style, 5-7 seconds loop”

Метод сложения ➕

Идея метода

Складываем уравнения так, чтобы одна переменная исчезла!

Простой пример:

{ x + y = 7
{ x - y = 1

Складываем уравнения: (x + y) + (x - y) = 7 + 1 2x = 8 x = 4

Подставляем обратно: 4 + y = 7, значит y = 3

Когда нужны “хитрости”

Не всегда переменные сразу исчезают. Иногда нужно умножить уравнения на числа:

{ 2x + 3y = 11
{ 4x - y = 5

Умножим второе уравнение на 3:

{ 2x + 3y = 11
{ 12x - 3y = 15

Теперь складываем: 14x = 26 x = 13/7 ≈ 1,86

И находим y = (11 - 2 × 1,86)/3 ≈ 2,43

[МЕДИА: image_03] Описание: Схема метода сложения с визуальным представлением исчезающих переменных Промпт: “mathematical diagram showing addition method, variables canceling out, colorful arrows and symbols, educational illustration, clean design”

Системы с тремя переменными 🧩

Когда у нас три неизвестных, принцип тот же, но шагов больше:

{ x + 2y + z = 9
{ 2x - y + z = 3  
{ x + y - z = 1

Используем те же методы, только теперь сначала избавляемся от одной переменной, получаем систему с двумя переменными, затем решаем её.

Составляем системы из задач 📝

Алгоритм решения задач:

  1. Читаем задачу внимательно
  2. Вводим переменные (x, y, z…)
  3. Составляем уравнения по условиям
  4. Решаем систему
  5. Проверяем ответ

Пример: YouTube канал 📺

У блогера на YouTube 50,000 подписчиков. За неделю количество лайков превысило количество дизлайков в 9 раз. Если лайков было на 32,000 больше чем дизлайков, сколько лайков и дизлайков получил канал?

Решение:

  • Пусть x — лайки, y — дизлайки
  • x = 9y (лайков в 9 раз больше)
  • x - y = 32000 (разность 32000)

Подставляем: 9y - y = 32000 8y = 32000 y = 4000 (дизлайков) x = 36000 (лайков)

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Реши систему методом подстановки:

{ x + y = 10
{ x = 2y
💡 Подсказка Подставь x = 2y в первое уравнение
✅ Ответ x = 20/3, y = 10/3

Задание 2: Реши систему методом сложения:

{ x + y = 8
{ x - y = 2
💡 Подсказка Сложи уравнения — y исчезнет
✅ Ответ x = 5, y = 3

Задание 3: В магазине игр купили 5 дисков и 3 джойстика за 2400₽. Диск стоит в 2 раза дороже джойстика. Найди цены.

💡 Подсказка Пусть x — цена джойстика, тогда диск стоит 2x
✅ Ответ Джойстик 200₽, диск 400₽

Средний уровень 🟡

Задание 4: Реши систему:

{ 3x - 2y = 7
{ 2x + y = 9
💡 Подсказка Умножь второе уравнение на 2, затем сложи с первым
✅ Ответ x = 25/7, y = 11/7

Задание 5: В TikTok видео набрало 120,000 просмотров. Комментариев оказалось в 3 раза меньше лайков, а лайков на 15,000 больше комментариев. Сколько лайков и комментариев?

💡 Подсказка Пусть x — лайки, y — комментарии. Составь два уравнения
✅ Ответ 22,500 лайков, 7,500 комментариев

Задание 6: Реши систему методом сложения:

{ 4x + 3y = 22
{ 2x - 5y = -8
💡 Подсказка Умножь второе уравнение на -2 и сложи с первым
✅ Ответ x = 4, y = 2

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Реши систему с тремя переменными:

{ x + y + z = 12
{ 2x - y = 1
{ x + 2z = 11
💡 Подсказка Из второго уравнения выразь y, подставь в первое
✅ Ответ x = 3, y = 5, z = 4

Задание 8: В Minecraft игрок собрал 48 блоков трёх типов: камень, дерево и железо. Каменных блоков в 2 раза больше деревянных. Если железных блоков 8, то сколько каменных и деревянных?

💡 Подсказка Пусть x — дерево, y — камень. Составь систему с условием y = 2x
✅ Ответ 40/3 ≈ 13 деревянных, 80/3 ≈ 27 каменных

Задание 9: Реши систему:

{ (x + y)/2 = 5
{ (x - y)/3 = 2
💡 Подсказка Сначала избавься от дробей, умножив уравнения на 2 и 3
✅ Ответ x = 8, y = 2

Задание 10: На стриме зрители донатили 15,000₽ донатами по 100₽ и 500₽. Всего донатов было 75. Сколько донатов каждого типа?

💡 Подсказка Пусть x — донаты по 100₽, y — донаты по 500₽
✅ Ответ 50 донатов по 100₽, 25 донатов по 500₽

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путать, какую переменную во что подставлять ✅ Правильно: Сначала выражай переменную с коэффициентом 1 💡 Почему важно: Так вычисления проще и меньше дробей

❌ Ошибка 2: Забывать проверять ответ подстановкой в исходную систему
✅ Правильно: Всегда подставляй найденные значения в ОБА уравнения 💡 Почему важно: Можно поймать арифметические ошибки

❌ Ошибка 3: Неправильно составлять уравнения из условия задачи ✅ Правильно: Чётко определяй, что обозначает каждая переменная 💡 Почему важно: Неправильная интерпретация ведёт к неверной системе

❌ Ошибка 4: При методе сложения забывать умножать ВСЁ уравнение на число ✅ Правильно: Умножай и левую, и правую части уравнения 💡 Почему важно: Иначе нарушается равенство

Главное запомнить

✅ Система уравнений — это несколько условий, которые должны выполняться одновременно ✅ Метод подстановки: выражаем одну переменную и подставляем в другое уравнение
✅ Метод сложения: складываем уравнения так, чтобы одна переменная исчезла ✅ При решении задач: вводим переменные → составляем уравнения → решаем → проверяем ✅ Всегда проверяй ответ подстановкой в исходные уравнения!

Есть вопросы?

Задай вопрос AI-учителю в Telegram

🤖 Открыть бота →
💬 Есть вопрос? Спроси бота!