Операции с множествами и решение специальных неравенств

Введение

Представь, что ты создаёшь плейлист в Spotify 🎵. У тебя есть список любимых треков и список песен твоего друга. Иногда нужно найти общие песни (что нравится вам обоим), а иногда - собрать все треки вместе. Это и есть операции с множествами! А ещё мы разберём, как решать “особенные” неравенства, которые встречаются в алгебре.

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема пересечения и объединения множеств на примере музыкальных плейлистов Промпт: “educational illustration showing set operations with music playlists, Venn diagram with headphones and music notes, colorful flat design, minimalist style, white background”

Пересечение множеств ∩

Пересечение - это элементы, которые есть В КАЖДОМ из множеств одновременно. Символ: ∩ (читается как “И”).

Пример из жизни

Твои подписки на YouTube: {Дудь, вДудь, Красава, TheBrianMaps} Подписки друга: {Дудь, Красава, Амиран, Coffeezilla}

Пересечение = {Дудь, Красава} - каналы, на которые подписаны ОБА 📺

Математическая запись

A = {1, 3, 5, 7} B = {3, 5, 9, 11} A ∩ B = {3, 5}

[МЕДИА: image_02] Описание: Диаграмма Венна показывающая пересечение двух множеств чисел Промпт: “educational Venn diagram showing intersection of two number sets, clear labels, bright colors, mathematical notation, suitable for grade 8-9 students”

Пересечение числовых промежутков

Когда пересекаются отрезки на координатной прямой, получается их общая часть:

[2; 6] ∩ [4; 8] = [4; 6]

Это числа от 4 до 6 включительно - те, что попадают в ОБА отрезка одновременно.

Если промежутки не пересекаются: [1; 3] ∩ [5; 7] = ∅ (пустое множество)

Объединение множеств ∪

Объединение - это ВСЕ элементы из всех множеств (без повторов). Символ: ∪ (читается как “ИЛИ”).

Пример

Игры на твоём ПК: {Minecraft, Roblox, CS:GO} Игры друга: {Minecraft, Valorant, Dota 2}

Объединение = {Minecraft, Roblox, CS:GO, Valorant, Dota 2} 🎮

С числовыми промежутками

[−2; 3] ∪ [1; 5] = [−2; 5]

Получился промежуток от −2 до 5 - все числа, которые есть ХОТЯ БЦ В ОДНОМ из исходных отрезков.

[МЕДИА: image_03] Описание: Визуализация объединения числовых промежутков на координатной прямой Промпт: “coordinate line showing union of number intervals, highlighted segments with different colors merging into one, clear mathematical notation, educational style”

Неравенства с знаком ≠

Неравенство x ≠ 5 означает: “x - любое число, КРОМЕ 5”.

Как решать:

1. Заменяем ≠ на = и решаем как уравнение
2. Полученное значение ИСКЛЮЧАЕМ из всех возможных чисел

Пример: 3x ≠ 12

1. 3x = 12 → x = 4
2. Ответ: x ∈ (−∞; 4) ∪ (4; +∞)

На координатной прямой - выкалываем точку 4, остальное закрашиваем ✅

Совокупности неравенств

Совокупность (обозначается квадратной скобкой) - нужно найти решения, удовлетворяющие ХОТЯ БЦ ОДНОМУ неравенству.

Пример:

[x ≥ 2 [x ≤ 5

Решение: x ∈ [2; +∞) ∪ (−∞; 5] = (−∞; +∞)

Почему? Любое число либо ≥ 2, либо ≤ 5 (а может быть, и то, и другое) 🤯

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Найди пересечение множеств A = {2, 4, 6, 8} и B = {4, 8, 10, 12}

💡 Подсказка

Ищи числа, которые есть И в A, И в B

✅ Ответ

A ∩ B = {4, 8}

Задание 2: Найди объединение множеств C = {1, 3, 5} и D = {2, 4, 6}

💡 Подсказка

Собери все числа из обоих множеств

✅ Ответ

C ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Задание 3: Реши неравенство 2x ≠ 10

💡 Подсказка

Сначала найди, при каком x получается равенство

✅ Ответ

x ≠ 5, то есть x ∈ (−∞; 5) ∪ (5; +∞)

Средний уровень 🟡

Задание 4: Найди пересечение промежутков [−3; 4] и (1; 7)

💡 Подсказка

Нарисуй оба промежутка на прямой и найди общую часть

✅ Ответ

[−3; 4] ∩ (1; 7) = (1; 4]

Задание 5: Найди объединение промежутков (−∞; 2] и [5; +∞)

💡 Подсказка

Промежутки не пересекаются, записываем через ∪

✅ Ответ

(−∞; 2] ∪ [5; +∞)

Задание 6: Реши совокупность: [x < 1 или x > 3

💡 Подсказка

Решения должны удовлетворять хотя бы одному условию

✅ Ответ

x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞)

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Реши неравенство 4x + 3 ≠ 2x − 1

💡 Подсказка

Приведи к виду x ≠ число

✅ Ответ

2x ≠ −4, x ≠ −2, то есть x ∈ (−∞; −2) ∪ (−2; +∞)

Задание 8: Найди пересечение трёх множеств: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {3, 4, 5, 6}

💡 Подсказка

Нужны элементы, которые есть во ВСЕХ трёх множествах

✅ Ответ

A ∩ B ∩ C = {3, 4}

Задание 9: Реши совокупность: [x² ≤ 4 или x > 5

💡 Подсказка

Сначала реши x² ≤ 4, это даст [−2; 2]

✅ Ответ

x ∈ [−2; 2] ∪ (5; +∞)

Задание 10: В классе 25 учеников. 15 играют в Minecraft, 12 играют в Roblox, 8 играют в обе игры. Сколько не играют ни в одну?

💡 Подсказка

Используй формулу: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

✅ Ответ

Играют хотя бы в одну: 15 + 12 − 8 = 19. Не играют: 25 − 19 = 6 учеников

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путать ∩ и ∪ ✅ Правильно: ∩ = “И” (пересечение), ∪ = “ИЛИ” (объединение) 💡 Почему важно: Это основа всех операций с множествами

❌ Ошибка 2: При объединении дублировать одинаковые элементы ✅ Правильно: В множестве каждый элемент записывается только один раз 💡 Почему важно: По определению множества

❌ Ошибка 3: В неравенствах x ≠ a забывать про объединение промежутков ✅ Правильно: Ответ всегда (−∞; a) ∪ (a; +∞) 💡 Почему важно: Исключённая точка разбивает прямую на два луча

❌ Ошибка 4: Путать системы и совокупности неравенств ✅ Правильно: Система - “И” (пересечение), совокупность - “ИЛИ” (объединение) 💡 Почему важно: Совершенно разные операции и ответы

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация показывающая разность между системой (пересечение) и совокупностью (объединение) неравенств Промпт: “animated illustration showing difference between system and union of inequalities on coordinate line, smooth transitions between highlighting intersection vs union regions”

Главное запомнить

✅ Пересечение ∩ - элементы из КАЖДОГО множества (общие) ✅ Объединение ∪ - элементы из ЛЮБОГО множества (все вместе) ✅ Неравенство x ≠ a решается исключением точки a ✅ Совокупность неравенств решается через объединение ✅ На координатной прямой всё видно наглядно 📊