Степени и их свойства

Введение

Представь, что у тебя есть 2 подписчика на YouTube. За месяц их стало в 2 раза больше - 4. Еще через месяц опять в 2 раза больше - 8. И так каждый месяц количество умножается на 2. Как записать, сколько будет подписчиков через 5 месяцев? 🤔

Вместо длинного умножения 2 × 2 × 2 × 2 × 2 математики придумали короткую запись - степени!

[МЕДИА: image_01] Описание: Диаграмма роста подписчиков с демонстрацией степенного роста Промпт: “educational illustration showing exponential growth, YouTube subscribers icon, numbers 2, 4, 8, 16, 32 with arrows, mathematical notation 2^5, colorful flat design, white background”

Что такое степень?

Степень - это короткая запись умножения одинаковых чисел.

Например: 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴

Здесь:

• 3 - основание степени (число, которое умножаем)
• 4 - показатель степени (сколько раз умножаем)
• 3⁴ читается как “три в четвертой степени”

💡 Важно: Не путай! 3⁴ ≠ 3 × 4. Это 3 × 3 × 3 × 3 = 81, а не 12!

[МЕДИА: image_02] Описание: Схема разбора степени на основание и показатель с примерами Промпт: “educational diagram showing parts of exponent, base number 3, exponent 4, arrow pointing to multiplication 3×3×3×3, clean mathematical illustration, minimalist style”

Основные правила работы со степенями

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями складываем показатели:

a^m × a^n = a^(m+n)

Пример из жизни: У тебя есть 2³ = 8 конфет в одной коробке и 2² = 4 конфеты в другой. Всего конфет: 2³ × 2² = 2^(3+2) = 2⁵ = 32

2. Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями вычитаем показатели:

a^m : a^n = a^(m-n)

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень перемножаем показатели:

(a^m)^n = a^(m×n)

4. Возведение произведения в степень

При возведении произведения в степень каждый множитель возводим в эту степень:

(a × b)^n = a^n × b^n

[МЕДИА: image_03] Описание: Инфографика с основными свойствами степеней в виде ярких карточек Промпт: “educational infographic showing four main exponent rules, colorful cards with mathematical formulas, arrows and examples, modern flat design, student-friendly layout”

Особые случаи

Степени числа 10

Возводить 10 в степень очень просто! Просто пиши 1 и столько нулей, сколько показывает степень:

• 10¹ = 10 (один нуль)
• 10² = 100 (два нуля)
• 10³ = 1000 (три нуля)
• 10⁴ = 10000 (четыре нуля)

Отрицательные числа в степени

⚠️ Внимание! Отрицательное число ОБЯЗАТЕЛЬНО берем в скобки:

• (-2)² = (-2) × (-2) = 4 ✅
• -2² = -(2²) = -4 ❌ (это другое!)

Правило знаков:

• Четный показатель → положительный результат
• Нечетный показатель → отрицательный результат

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Вычисли 2⁴

💡 Подсказка

Помни: 2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2

✅ Ответ

2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Задание 2: Найди значение 3² + 2³

💡 Подсказка

Сначала вычисли каждую степень отдельно, потом сложи

✅ Ответ

3² = 9, 2³ = 8, значит 9 + 8 = 17

Задание 3: Запиши в виде степени: 5 × 5 × 5

💡 Подсказка

Сколько раз повторяется число 5?

✅ Ответ

5³ (пять в третьей степени)

Средний уровень 🟡

Задание 4: Упрости: x³ × x²

💡 Подсказка

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают

✅ Ответ

x³ × x² = x^(3+2) = x⁵

Задание 5: Вычисли: (-3)²

💡 Подсказка

Показатель четный, значит результат будет положительным

✅ Ответ

(-3)² = (-3) × (-3) = 9

Задание 6: Найди значение: 2³ × 2²

💡 Подсказка

Основания одинаковые, значит можно сложить показатели

✅ Ответ

2³ × 2² = 2^(3+2) = 2⁵ = 32

Задание 7: Упрости: (a²)³

💡 Подсказка

При возведении степени в степень показатели перемножают

✅ Ответ

(a²)³ = a^(2×3) = a⁶

Сложный уровень 🔴

Задание 8: Найди значение: (2 × 3)²

💡 Подсказка

Можно сначала вычислить произведение в скобках, а потом возвести в степень

✅ Ответ

(2 × 3)² = 6² = 36 или 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Задание 9: Упрости: a⁷ : a³

💡 Подсказка

При делении степеней с одинаковыми основаниями из большего показателя вычитают меньший

✅ Ответ

a⁷ : a³ = a^(7-3) = a⁴

Задание 10: Найди значение: (1/2)³

💡 Подсказка

При возведении дроби в степень возводят отдельно числитель и знаменатель

✅ Ответ

(1/2)³ = 1³/2³ = 1/8

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: 2³ = 2 × 3 = 6 ✅ Правильно: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
💡 Почему важно: Степень - это не умножение на показатель, а многократное умножение основания!

❌ Ошибка 2: x² × x³ = x⁶ ✅ Правильно: x² × x³ = x⁵ 💡 Почему важно: При умножении показатели складываются, а не перемножаются!

❌ Ошибка 3: (-5)² = -25
✅ Правильно: (-5)² = 25 💡 Почему важно: Четный показатель всегда дает положительный результат!

❌ Ошибка 4: (2³)² = 2⁵ ✅ Правильно: (2³)² = 2⁶
💡 Почему важно: При возведении степени в степень показатели перемножаются!

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация показывающая правильный и неправильный способ вычисления степеней Промпт: “educational animation showing common mistakes with exponents, red X for wrong methods, green checkmark for correct ones, smooth transitions between examples”

Главное запомнить

✅ Степень - это короткая запись умножения одинаковых чисел
✅ При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем
✅ При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаем
✅ При возведении степени в степень показатели перемножаем
✅ Отрицательные числа в степени обязательно берем в скобки
✅ Четный показатель → положительный результат, нечетный → знак основания