Степень с целым показателем

Введение

Представь, что ты играешь в Minecraft и строишь огромную башню высотой в 1000 блоков 🏗️. Вместо того чтобы считать “один блок, два блока, три блока…”, удобнее сказать “10³ блоков”. Но что если нам нужно описать что-то очень маленькое? Например, толщину листа бумаги или размер пикселя на экране? Тут нам помогут степени с отрицательными показателями!

[МЕДИА: image_01] Описание: Визуальное сравнение больших и маленьких величин - от космических объектов до микроскопических частиц Промпт: “educational illustration showing scale comparison from large objects (buildings, planets) to tiny objects (atoms, pixels), with powers of 10 notation, minimalist style, flat colors, white background, suitable for students aged 12-15”

Что такое степень с целым показателем?

До сих пор мы работали со степенями, где показатель был натуральным числом (1, 2, 3, …) или нулём. Но показателем может быть ЛЮБОЕ целое число, включая отрицательные!

Целые числа: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Значит, степень с целым показателем может выглядеть так:

• 2³ (положительный показатель)
• 2⁰ (нулевой показатель)
• 2⁻³ (отрицательный показатель) ✨

Как вычислять степени с отрицательным показателем?

Давай разберём закономерность на примере степеней двойки:

2³ = 8 2² = 4
2¹ = 2 2⁰ = 1

Видишь паттерн? Каждый раз результат уменьшается в 2 раза! Продолжим эту логику:

2⁻¹ = 1/2 = 0,5 2⁻² = 1/4 = 0,25
2⁻³ = 1/8 = 0,125

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация показывающая как значения степеней уменьшаются при движении от положительных к отрицательным показателям Промпт: “animated sequence showing powers of 2 decreasing from 2³ to 2⁻³, with visual representation of division by 2, smooth transitions, educational style”

Главное правило 🎯

Для любого числа a ≠ 0:

a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Другими словами: степень с отрицательным показателем равна единице, делённой на ту же степень с положительным показателем.

Примеры вычислений

Пример 1: Сколько будет 5⁻²? 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04

Пример 2: Вычислим (1/3)⁻² (1/3)⁻² = 1/(1/3)² = 1/(1/9) = 9

Лайфхак! Для дробей: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ

[МЕДИА: image_02] Описание: Схема показывающая правило вычисления отрицательных степеней с примерами Промпт: “educational diagram showing negative exponent rule with visual examples, arrows indicating reciprocal relationship, clean mathematical notation, suitable for middle school students”

Операции со степенями с целыми показателями

Все правила, которые ты знаешь для обычных степеней, работают и здесь:

Умножение: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ Пример: 3⁻² × 3⁵ = 3⁻²⁺⁵ = 3³ = 27

Деление: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Пример: 7⁴ : 7⁻² = 7⁴⁻⁽⁻²⁾ = 7⁶

Возведение в степень: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ Пример: (2⁻³)⁻¹ = 2⁻³×⁽⁻¹⁾ = 2³ = 8

Перенос степеней между числителем и знаменателем

Крутой трюк! Любую степень можно “перебросить” из числителя в знаменатель (и наоборот), изменив знак показателя:

x³/y² = x³ × y⁻²

5/(x⁻² × y³) = 5 × x² × y⁻³ = 5x²/y³

Это очень удобно для упрощения выражений! 💫

Степени числа 10 и стандартный вид

Число 10 в отрицательной степени даёт очень полезные результаты:

10⁻¹ = 0,1 10⁻² = 0,01
10⁻³ = 0,001 10⁻⁴ = 0,0001

Правило: 10⁻ⁿ = 0,00…01 (где количество нулей = n)

[МЕДИА: image_03] Описание: Таблица показывающая степени числа 10 и их десятичные эквиваленты Промпт: “clean educational table showing powers of 10 from positive to negative, with decimal representations, color-coded for easy understanding, mathematical typography”

Стандартный вид числа (научная запись)

Это способ записи очень больших или очень маленьких чисел в компактном виде:

a × 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10

Примеры:

• 5 000 000 = 5 × 10⁶
• 0,000003 = 3 × 10⁻⁶
• 0,0125 = 1,25 × 10⁻²

В мире науки это стандарт! Массы планет, размеры атомов, расстояния в космосе - всё записывается именно так.

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Вычислите 4⁻²

💡 Подсказка

Используйте правило: a⁻ⁿ = 1/aⁿ

✅ Ответ

4⁻² = 1/4² = 1/16 = 0,0625

Задание 2: Вычислите (1/2)⁻³

💡 Подсказка

Для дроби: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ

✅ Ответ

(1/2)⁻³ = 2³ = 8

Задание 3: Найдите значение 10⁻⁴

💡 Подсказка

Количество нулей после запятой равно показателю степени

✅ Ответ

10⁻⁴ = 0,0001

Средний уровень 🟡

Задание 4: Упростите выражение 3⁻² × 3⁴

💡 Подсказка

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются

✅ Ответ

3⁻² × 3⁴ = 3⁻²⁺⁴ = 3² = 9

Задание 5: Представьте число 0,025 в стандартном виде

💡 Подсказка

Перенесите запятую так, чтобы получить число от 1 до 10, затем умножьте на соответствующую степень 10

✅ Ответ

0,025 = 2,5 × 10⁻²

Задание 6: Вычислите (2⁻¹)⁻³

💡 Подсказка

Используйте правило: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

✅ Ответ

(2⁻¹)⁻³ = 2⁻¹×⁽⁻³⁾ = 2³ = 8

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Упростите выражение: x⁻³y²/x²y⁻¹

💡 Подсказка

Перенесите все степени с отрицательными показателями и используйте правила действий со степенями

✅ Ответ

x⁻³y²/x²y⁻¹ = x⁻³⁻² × y²⁻⁽⁻¹⁾ = x⁻⁵y³ = y³/x⁵

Задание 8: Представьте 47 300 000 в стандартном виде

💡 Подсказка

Перенесите запятую влево до получения числа между 1 и 10

✅ Ответ

47 300 000 = 4,73 × 10⁷

Задание 9: Вычислите: 2⁻³ + 3⁻² - 5⁻¹

💡 Подсказка

Сначала вычислите каждую степень отдельно, затем сложите результаты

✅ Ответ

2⁻³ + 3⁻² - 5⁻¹ = 1/8 + 1/9 - 1/5 = 45/360 + 40/360 - 72/360 = 13/360

Задание 10: Если a⁻² = 16, найдите a

💡 Подсказка

Используйте определение отрицательной степени: a⁻² = 1/a²

✅ Ответ

a⁻² = 1/a² = 16, значит a² = 1/16, откуда a = ±1/4

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путают a⁻ⁿ = -aⁿ ✅ Правильно: a⁻ⁿ = 1/aⁿ 💡 Почему важно: Отрицательный показатель не делает число отрицательным, а означает обратное значение!

❌ Ошибка 2: При умножении степеней перемножают показатели ✅ Правильно: При умножении степеней показатели складывают 💡 Почему важно: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, а не aᵐⁿ

❌ Ошибка 3: Забывают менять знак при переносе степени ✅ Правильно: При переносе из числителя в знаменатель (и наоборот) знак показателя меняется 💡 Почему важно: Это основа упрощения дробных выражений со степенями

❌ Ошибка 4: В стандартном виде записывают число больше 10 перед степенью ✅ Правильно: Число перед степенью должно быть от 1 до 10 💡 Почему важно: Это международный стандарт научной записи

❌ Ошибка 5: Думают, что 0⁻ⁿ = 0 ✅ Правильно: 0⁻ⁿ не определено (деление на ноль) 💡 Почему важно: Основание степени с отрицательным показателем не может быть равно нулю

Главное запомнить

✅ a⁻ⁿ = 1/aⁿ (при a ≠ 0) ✅ Все правила действий со степенями работают и для отрицательных показателей ✅ Степень можно “перебрасывать” между числителем и знаменателем, меняя знак показателя ✅ 10⁻ⁿ = 0,00…01 (n нулей после запятой) ✅ Стандартный вид: a × 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10