Возведение в степень и полные квадраты

Введение

Представь, что ты играешь в Minecraft и хочешь построить башню из блоков. Если у тебя есть (a + b) блоков в основании, то сколько блоков понадобится для башни высотой в 4 уровня? 🏗️

Сегодня мы научимся возводить двучлены и трёхчлены в любую степень, а также освоим крутую технику “выделения полного квадрата” - это как собирание пазла из алгебраических выражений!

Возведение двучлена в высокие степени

Помнишь формулы сокращённого умножения? Мы знаем, что:

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

А что, если нужно возвести двучлен в 4-ю степень? 🤔

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема разложения (a + b)⁴ через произведение (a + b)(a + b)³ Промпт: “mathematical diagram showing binomial expansion of (a+b)^4, step by step breakdown, colorful algebraic terms, educational illustration, clean design, suitable for high school students”

Способ 1: Через уже известную формулу

(a + b)⁴ можно представить как (a + b) × (a + b)³

Заменяем (a + b)³ на a³ + 3a²b + 3ab² + b³: (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

Перемножаем каждый член первой скобки на каждый член второй: = a(a³ + 3a²b + 3ab² + b³) + b(a³ + 3a²b + 3ab² + b³) = a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + ba³ + 3a²b² + 3ab³ + b⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Способ 2: Через квадрат квадрата

(a + b)⁴ = [(a + b)²]² = (a² + 2ab + b²)²

Возводим в квадрат трёхчлен a² + 2ab + b²: = (a²)² + 2(a²)(2ab) + 2(a²)(b²) + (2ab)² + 2(2ab)(b²) + (b²)² = a⁴ + 4a³b + 2a²b² + 4a²b² + 4ab³ + b⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Получили тот же результат! ✅

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация пошагового возведения двучлена в 4-ю степень Промпт: “animated mathematical process showing binomial expansion step by step, colorful terms combining and simplifying, educational animation for algebra students”

Возведение трёхчлена в степень

Иногда нужно возвести в степень выражение с тремя слагаемыми. Например, (a + b + c)².

Хитрый трюк с группировкой

Представим трёхчлен как сумму двух “частей”: (a + b + c)² = [(a + b) + c]²

Теперь это обычный квадрат суммы! Применяем формулу: = (a + b)² + 2(a + b)c + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Пример с числами: 💰 Если у тебя 100 рублей на телефоне, 50 рублей в кошельке и 30 рублей в копилке, то “квадрат” твоих денег: (100 + 50 + 30)² = 180² = 32400

Через нашу формулу: = 100² + 50² + 30² + 2×100×50 + 2×100×30 + 2×50×30 = 10000 + 2500 + 900 + 10000 + 6000 + 3000 = 32400 ✅

Выделение полного квадрата

Это самая крутая алгебраическая фишка! 🎯 Мы превращаем “некрасивое” выражение в (что-то)² + число.

Зачем это нужно?

• Упрощает вычисления
• Помогает решать уравнения
• Находит экстремумы функций

[МЕДИА: image_02] Описание: Геометрическая интерпретация выделения полного квадрата через площади фигур Промпт: “geometric illustration of completing the square using colored rectangles and squares, showing area calculations, educational diagram for algebra visualization”

Алгоритм выделения полного квадрата

Для трёхчлена ax² + bx + c:

1. Определяем “a”: √(коэффициент при x²)
2. Находим “удвоенное произведение”: коэффициент при x = 2×a×что-то
3. Находим “b”: что-то из пункта 2
4. Строим полный квадрат: (a + b)²
5. Корректируем: добавляем и вычитаем b² для баланса

Пример 1: 4x² + 16x + 19

Пошагово:

• a = 2x (потому что (2x)² = 4x²)
• 16x = 2 × 2x × 4, значит b = 4
• Полный квадрат: (2x + 4)² = 4x² + 16x + 16
• Но у нас +19, а не +16!

4x² + 16x + 19 = (2x + 4)² - 16 + 19 = (2x + 4)² + 3

Проверим: (2x + 4)² + 3 = 4x² + 16x + 16 + 3 = 4x² + 16x + 19 ✅

Пример 2: x² + 6x + 8

• a = x
• 6x = 2 × x × 3, значит b = 3
• x² + 6x + 8 = (x + 3)² - 9 + 8 = (x + 3)² - 1

Пример с дробями: x² + 3x + 2

• a = x
• 3x = 2 × x × 1.5, значит b = 1.5 = 3/2
• x² + 3x + 2 = (x + 3/2)² - 9/4 + 2 = (x + 3/2)² - 1/4

[МЕДИА: image_03] Описание: Пошаговая схема выделения полного квадрата с цветовым кодированием Промпт: “step-by-step diagram of completing the square process, color-coded terms, arrows showing transformation, mathematical illustration for students”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Возведите в квадрат: (x + y + 2)²

💡 Подсказка

Сгруппируйте первые два слагаемых: [(x + y) + 2]²

✅ Ответ

x² + y² + 4 + 2xy + 4x + 4y

Задание 2: Возведите в куб: (a + 1)³

💡 Подсказка

Используйте формулу куба суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

✅ Ответ

a³ + 3a² + 3a + 1

Задание 3: Выделите полный квадрат: x² + 8x + 15

💡 Подсказка

a = x, находим b из условия 8x = 2×x×b

✅ Ответ

(x + 4)² - 1

Средний уровень 🟡

Задание 4: Возведите в 4-ю степень: (m + 2)⁴

💡 Подсказка

Представьте как [(m + 2)²]² и сначала найдите (m + 2)²

✅ Ответ

m⁴ + 8m³ + 24m² + 32m + 16

Задание 5: Выделите полный квадрат: 9x² + 12x + 7

💡 Подсказка

a = 3x (потому что (3x)² = 9x²)

✅ Ответ

(3x + 2)² + 3

Задание 6: Возведите в квадрат: (2a - 3b + c)²

💡 Подсказка

Сгруппируйте: [(2a - 3b) + c]²

✅ Ответ

4a² + 9b² + c² - 12ab + 4ac - 6bc

Задание 7: Выделите полный квадрат: x² - 10x + 3

💡 Подсказка

Здесь знак минус, значит это будет квадрат разности

✅ Ответ

(x - 5)² - 22

Сложный уровень 🔴

Задание 8: Выделите полный квадрат: 2x² + 8x + 1

💡 Подсказка

Сначала вынесите 2 из первых двух слагаемых

✅ Ответ

2(x + 2)² - 7

Задание 9: Разложите на множители, используя выделение полного квадрата: x² + 4x - 5

💡 Подсказка

После выделения получится разность квадратов

✅ Ответ

(x + 5)(x - 1)

Задание 10: Найдите минимальное значение выражения: x² + 6x + 11

💡 Подсказка

Выделите полный квадрат - получится (что-то)² + число

✅ Ответ

Минимум равен 2 при x = -3

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: При возведении (a + b + c)² забывают про “смешанные” произведения 2ab, 2ac, 2bc ✅ Правильно: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc 💡 Почему важно: Без этих слагаемых результат будет неполным

❌ Ошибка 2: При выделении полного квадрата забывают вычесть b² ✅ Правильно: Добавили b² для получения полного квадрата? Сразу же вычтите! 💡 Почему важно: Иначе значение выражения изменится

❌ Ошибка 3: Путают знаки при выделении полного квадрата с отрицательными коэффициентами ✅ Правильно: x² - 6x + 1 = (x - 3)² - 8, а не (x + 3)² 💡 Почему важно: Неправильный знак даёт совершенно другой результат

❌ Ошибка 4: Неправильно определяют значения a и b в формуле (a + b)² ✅ Правильно: Для 4x² + 12x: a = 2x (не x!), b = 3 💡 Почему важно: От этого зависит весь дальнейший расчёт

❌ Ошибка 5: Забывают упрощать итоговое выражение ✅ Правильно: (x + 2)² - 4 + 7 = (x + 2)² + 3 💡 Почему важно: Неупрощённое выражение выглядит неаккуратно

Главное запомнить

✅ Двучлен можно возводить в любую степень через уже известные формулы ✅ При возведении трёхчлена в степень группируйте слагаемые ✅ Выделение полного квадрата превращает трёхчлен в (a + b)² ± c ✅ Всегда проверяйте результат раскрытием скобок ✅ Метод полного квадрата помогает находить минимум/максимум функций