Квадратные уравнения: от простого к сложному

Введение

Представь, что ты играешь в Minecraft и строишь квадратную крепость. У тебя есть 64 блока, и ты хочешь построить квадратную стену. Вопрос: какой должна быть длина одной стороны? 🏰

Если сторона равна x блокам, то площадь квадрата будет x². Получается уравнение: x² = 64. Такие уравнения, где неизвестное возведено в квадрат, называются квадратными уравнениями!

[МЕДИА: image_01] Описание: Схематичное изображение квадратной крепости в стиле Minecraft с обозначением стороны как “x блоков” Промпт: “minecraft style square fortress made of blocks, side labeled as ‘x blocks’, educational diagram, simple illustration, pixel art style, top view, colorful blocks, white background”

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение - это уравнение, где самая высокая степень переменной равна 2. Другими словами, где есть x².

Примеры квадратных уравнений:

• x² - 16 = 0 (как в нашем примере с крепостью, только с другими числами)
• 2x² + 5x - 3 = 0
• x² + 4x = 0

Стандартная форма

Любое квадратное уравнение можно записать в виде: ax² + bx + c = 0

Где:

• a - старший коэффициент (число перед x²)
• b - второй коэффициент (число перед x)
• c - свободный член (число без x)

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация показывающая как разные уравнения приводятся к стандартному виду ax² + bx + c = 0 Промпт: “animated educational illustration showing transformation of different quadratic equations into standard form ax² + bx + c = 0, colorful coefficients highlighting, smooth transitions, minimalist math style”

Типы квадратных уравнений

1. Неполные квадратные уравнения 🟡

Это уравнения, где отсутствует один из коэффициентов:

Тип 1: ax² + c = 0 (нет x) Пример: x² - 25 = 0

Решаем так:

1. Переносим число: x² = 25
2. Извлекаем корень: x = ±5

Тип 2: ax² + bx = 0 (нет свободного члена) Пример: x² - 7x = 0

Решаем так:

1. Выносим x за скобку: x(x - 7) = 0
2. Получаем: x = 0 или x = 7

2. Полные квадратные уравнения 🔴

Здесь присутствуют все коэффициенты: ax² + bx + c = 0

Для их решения используем дискриминант и формулы корней.

Дискриминант - наш помощник 🎯

Дискриминант (D) помогает узнать, сколько корней у уравнения:

D = b² - 4ac

• Если D > 0 → два разных корня
• Если D = 0 → один корень
• Если D < 0 → корней нет

[МЕДИА: image_02] Описание: Инфографика с тремя случаями дискриминанта: D>0 (два корня), D=0 (один корень), D<0 (нет корней) Промпт: “educational infographic showing three cases of discriminant, D>0 with two roots, D=0 with one root, D<0 with no roots, colorful arrows and symbols, flat design, clear typography”

Формулы корней квадратного уравнения

Когда D ≥ 0, корни находим по формулам:

x₁ = (-b + √D) / (2a) x₂ = (-b - √D) / (2a)

Когда D = 0, у нас один корень: x = -b / (2a)

Пример решения

Решим уравнение: x² + 2x - 8 = 0

1. Определяем коэффициенты: a = 1, b = 2, c = -8
2. Находим дискриминант: D = 2² - 4·1·(-8) = 4 + 32 = 36
3. Так как D > 0, у нас два корня:
   • x₁ = (-2 + √36) / (2·1) = (-2 + 6) / 2 = 2
   • x₂ = (-2 - √36) / (2·1) = (-2 - 6) / 2 = -4

Ответ: x = 2 или x = -4

[МЕДИА: animation_02] Описание: Пошаговая анимация решения квадратного уравнения с вычислением дискриминанта и применением формул Промпт: “step-by-step animated solution of quadratic equation, highlighting discriminant calculation, formula application, mathematical notation appearing sequentially, educational math animation style”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Реши уравнение x² = 49

💡 Подсказка

Какое число в квадрате даёт 49? Не забудь про отрицательный корень!

✅ Ответ

x = ±7 (x = 7 или x = -7)

Задание 2: Реши уравнение x² - 36 = 0

💡 Подсказка

Перенеси 36 в правую часть

✅ Ответ

x = ±6

Задание 3: Реши уравнение x² + 3x = 0

💡 Подсказка

Вынеси x за скобку

✅ Ответ

x(x + 3) = 0, значит x = 0 или x = -3

Средний уровень 🟡

Задание 4: Найди дискриминант уравнения 2x² - 5x + 3 = 0

💡 Подсказка

D = b² - 4ac, где a = 2, b = -5, c = 3

✅ Ответ

D = (-5)² - 4·2·3 = 25 - 24 = 1

Задание 5: Реши уравнение x² + 6x + 9 = 0

💡 Подсказка

Найди дискриминант. Если D = 0, то корень один

✅ Ответ

D = 36 - 36 = 0, x = -6/2 = -3

Задание 6: Реши уравнение x² - 4x + 3 = 0

💡 Подсказка

Используй формулы корней

✅ Ответ

D = 16 - 12 = 4, x₁ = 3, x₂ = 1

Сложный уровень 🔴

Задание 7: В YouTube-видео количество лайков в квадрате минус удвоенное количество лайков равно 15. Сколько лайков у видео?

💡 Подсказка

Составь уравнение: x² - 2x = 15

✅ Ответ

x² - 2x - 15 = 0, D = 64, x₁ = 5, x₂ = -3. Количество лайков = 5 (отрицательное не подходит)

Задание 8: Реши уравнение 2x² + 7x - 4 = 0

💡 Подсказка

Аккуратно вычисли дискриминант и примени формулы

✅ Ответ

D = 49 + 32 = 81, x₁ = 0.5, x₂ = -4

Задание 9: Площадь прямоугольного экрана планшета 60 см². Длина на 7 см больше ширины. Найди размеры экрана.

💡 Подсказка

Пусть ширина x см, тогда длина (x + 7) см. Составь уравнение для площади

✅ Ответ

x(x + 7) = 60, x² + 7x - 60 = 0, x₁ = 5, x₂ = -12. Ширина = 5 см, длина = 12 см

Задание 10: Определи количество корней уравнения 3x² - 2x + 1 = 0, не решая его

💡 Подсказка

Вычисли только дискриминант

✅ Ответ

D = 4 - 12 = -8 < 0, значит корней нет

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают про знак ± при извлечении корня ✅ Правильно: x² = 25 даёт x = ±5, а не только x = 5 💡 Почему важно: Квадратное уравнение может иметь два корня!

❌ Ошибка 2: Неправильно вычисляют дискриминант ✅ Правильно: Внимательно подставляй коэффициенты, особенно отрицательные 💡 Почему важно: От дискриминанта зависит всё решение

❌ Ошибка 3: Путают формулы для x₁ и x₂ ✅ Правильно: x₁ с плюсом перед корнем, x₂ с минусом 💡 Почему важно: Иначе получишь неправильные корни

❌ Ошибка 4: Не проверяют ответ ✅ Правильно: Всегда подставляй найденные корни в исходное уравнение 💡 Почему важно: Так можно поймать вычислительные ошибки

❌ Ошибка 5: В задачах берут отрицательный корень для физических величин ✅ Правильно: Длина, время, количество не могут быть отрицательными 💡 Почему важно: Ответ должен иметь смысл в контексте задачи

Главное запомнить

✅ Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0 ✅ Дискриминант D = b² - 4ac показывает количество корней ✅ При D ≥ 0 используем формулы: x = (-b ± √D) / (2a) ✅ Неполные уравнения решаются проще: выносом за скобку или извлечением корня ✅ Всегда проверяй полученные корни подстановкой в исходное уравнение ✅ В практических задачах отрицательные корни могут не подходить по смыслу