Упрощённые формулы для квадратных уравнений с чётным коэффициентом

Введение

Представь: ты играешь в видеоигру, где нужно как можно быстрее решать квадратные уравнения, чтобы побеждать боссов. И вдруг ты узнаёшь секретный чит-код, который делает вычисления в два раза проще! 🎮

Сегодня мы изучим именно такой “чит-код” для математики - специальные формулы, которые работают, когда второй коэффициент квадратного уравнения является чётным числом.

[МЕДИА: image_01] Описание: Сравнение обычной и упрощённой формул для квадратных уравнений Промпт: “educational math illustration showing comparison between standard quadratic formula and simplified formula for even coefficient, split screen design, clean mathematical notation, bright colors, minimalist style”

Основная часть

Что такое чётный коэффициент?

В уравнении ax² + bx + c = 0, если коэффициент b - чётное число (2, 4, 6, 8, -2, -4, -6…), то мы можем представить его как b = 2k, где k - некоторое число.

Примеры:

• Если b = 6, то k = 3 (потому что 6 = 2 × 3)
• Если b = -10, то k = -5 (потому что -10 = 2 × (-5))
• Если b = 14, то k = 7 (потому что 14 = 2 × 7)

Упрощённые формулы

Когда b = 2k, мы можем использовать более простые формулы:

Упрощённый дискриминант: D₁ = k² - ac

Формулы корней: x₁ = (-k + √D₁)/a x₂ = (-k - √D₁)/a

Почему это круче обычных формул?

1. Не нужно вычислять b² - можно сразу найти k²
2. Не нужно умножать на 4 при подсчёте дискриминанта
3. В знаменателе просто a, а не 2a

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговое решение квадратного уравнения с чётным коэффициентом Промпт: “step-by-step solution of quadratic equation with even coefficient, clear mathematical steps, colorful arrows showing progression, educational diagram style”

Пример 1: x² + 6x - 16 = 0

Здесь a = 1, b = 6, c = -16

1. Находим k: b = 6 = 2k, значит k = 3
2. Считаем D₁: D₁ = k² - ac = 3² - 1×(-16) = 9 + 16 = 25
3. Находим корни:
   • x₁ = (-3 + √25)/1 = (-3 + 5)/1 = 2
   • x₂ = (-3 - √25)/1 = (-3 - 5)/1 = -8

Ответ: x₁ = 2, x₂ = -8

Пример 2: 2x² - 8x + 6 = 0

Здесь a = 2, b = -8, c = 6

1. Находим k: b = -8 = 2k, значит k = -4
2. Считаем D₁: D₁ = k² - ac = (-4)² - 2×6 = 16 - 12 = 4
3. Находим корни:
   • x₁ = (-(-4) + √4)/2 = (4 + 2)/2 = 3
   • x₂ = (-(-4) - √4)/2 = (4 - 2)/2 = 1

Ответ: x₁ = 3, x₂ = 1

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация преобразования стандартной формулы в упрощённую Промпт: “animated transformation showing how standard quadratic formula simplifies when coefficient b is even, smooth transitions, educational animation style”

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Найди k для уравнения x² + 4x - 5 = 0

💡 Подсказка

Представь коэффициент 4 как 2k

✅ Ответ

k = 2 (так как 4 = 2 × 2)

Задание 2: Вычисли D₁ для уравнения x² - 6x + 8 = 0

💡 Подсказка

Сначала найди k, затем используй формулу D₁ = k² - ac

✅ Ответ

k = -3, D₁ = (-3)² - 1×8 = 9 - 8 = 1

Задание 3: Реши уравнение x² + 2x - 3 = 0

💡 Подсказка

k = 1, найди D₁, затем корни

✅ Ответ

x₁ = 1, x₂ = -3

Средний уровень 🟡

Задание 4: Реши уравнение 3x² + 12x - 15 = 0

💡 Подсказка

a = 3, b = 12, c = -15. Найди k = 6

✅ Ответ

x₁ = 1, x₂ = -5

Задание 5: Реши уравнение x² - 10x + 21 = 0

💡 Подсказка

k = -5, D₁ = 25 - 21 = 4

✅ Ответ

x₁ = 7, x₂ = 3

Задание 6: Реши уравнение 2x² + 8x + 6 = 0

💡 Подсказка

Можно сначала разделить всё уравнение на 2

✅ Ответ

x₁ = -1, x₂ = -3

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Реши уравнение 5x² - 20x + 15 = 0

💡 Подсказка

a = 5, k = -10, будь внимателен с вычислениями

✅ Ответ

x₁ = 3, x₂ = 1

Задание 8: Определи, сколько корней имеет уравнение x² + 4x + 4 = 0

💡 Подсказка

Вычисли D₁ и посмотри на его знак

✅ Ответ

D₁ = 0, значит один корень: x = -2

Задание 9: Реши уравнение 4x² - 16x + 15 = 0

💡 Подсказка

a = 4, k = -8, D₁ = 64 - 60 = 4

✅ Ответ

x₁ = 2.5, x₂ = 1.5

Задание 10: Найди все значения m, при которых уравнение x² - 6x + m = 0 имеет равные корни

💡 Подсказка

Равные корни означают D₁ = 0

✅ Ответ

m = 9

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают, что k = b/2, а не просто k = b ✅ Правильно: Если b = 8, то k = 4 💡 Почему важно: Неправильное k приводит к неправильному дискриминанту

❌ Ошибка 2: Путают знаки при вычислении k из отрицательного b ✅ Правильно: Если b = -6, то k = -3 💡 Почему важно: Знак k влияет на знаки корней

❌ Ошибка 3: Используют упрощённые формулы для нечётного коэффициента ✅ Правильно: Проверяй чётность b перед применением формул 💡 Почему важно: Упрощённые формулы работают только для чётных b

❌ Ошибка 4: Забывают про коэффициент a в знаменателе ✅ Правильно: x = (-k ± √D₁)/a, не забывай про a! 💡 Почему важно: Пропуск a меняет значения корней

Главное запомнить

✅ Упрощённые формулы работают только когда b чётное ✅ k = b/2 - половина от второго коэффициента ✅ D₁ = k² - ac проще вычислять, чем D = b² - 4ac ✅ Формулы корней: x = (-k ± √D₁)/a ✅ Эти формулы экономят время и снижают вероятность ошибок