Теорема Виета: как найти корни без вычислений

Введение

Представь: ты играешь в игру, где нужно угадать два числа. Подсказки такие: их сумма равна 7, а произведение равно 12. Сможешь найти эти числа? 🤔

Оказывается, такие “загадки” постоянно встречаются при решении квадратных уравнений! И французский математик Франсуа Виет нашёл удивительную закономерность, которая помогает решать уравнения почти мгновенно.

[МЕДИА: image_01] Описание: Портрет Франсуа Виета на фоне квадратного уравнения с выделенными коэффициентами Промпт: “historical mathematician portrait, François Viète, 16th century French mathematician, with quadratic equation x²+bx+c=0 in background, educational illustration, minimalist style, flat colors”

Что такое теорема?

Прежде чем изучить теорему Виета, разберёмся: что вообще такое теорема? 📚

Допустим, ты заметил классную закономерность в математике. Например, что если умножить числитель и знаменатель дроби на одно число, то дробь не изменится. Но чтобы поделиться этим открытием, недостаточно просто сказать: “Поверьте на слово!”

Теорема - это математическое утверждение, которое можно строго доказать. То есть нужно привести неоспоримые факты и логические рассуждения.

Например:

• Утверждение: Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно число, дробь не изменится
• Доказательство: Математические выкладки, которые это подтверждают

Теорема Виета

Вот она - знаменитая теорема Виета! 🎯

Для приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0:

• Сумма корней = -b (второй коэффициент с противоположным знаком)
• Произведение корней = c (свободный член)

Если корни уравнения - это x₁ и x₂, то:

x₁ + x₂ = -b
x₁ × x₂ = c

[МЕДИА: image_02] Описание: Схема теоремы Виета с квадратным уравнением и стрелками к формулам суммы и произведения корней Промпт: “educational diagram, quadratic equation x²+bx+c=0, arrows pointing to sum and product formulas, colorful mathematical illustration, clean design”

Пример: проверим теорему

Возьмём уравнение x² + 4x + 3 = 0

По теореме Виета:

• Сумма корней = -4 (коэффициент 4 с минусом)
• Произведение корней = 3

А теперь найдём корни обычным способом: x² + 4x + 3 = 0 (x + 1)(x + 3) = 0 x₁ = -1, x₂ = -3

Проверяем:

• Сумма: (-1) + (-3) = -4 ✅
• Произведение: (-1) × (-3) = 3 ✅

Работает! 🎉

Обратная теорема Виета

А вот и самое интересное! Если мы знаем, что два числа дают определённую сумму и произведение, то эти числа - корни квадратного уравнения!

Если x₁ + x₂ = -b и x₁ × x₂ = c, то x₁ и x₂ - корни уравнения x² + bx + c = 0

Это как разгадывание загадки про два числа в начале урока! 🔍

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация поиска корней методом подбора - показывается, как из суммы и произведения находятся конкретные числа Промпт: “educational animation, finding roots by trial method, numbers moving and combining to show sum and product, 5-8 seconds, mathematical visualization”

Пример решения “в обратную сторону”

Решим x² - 5x + 6 = 0 через теорему Виета:

1. Записываем условия:

   • x₁ + x₂ = 5 (убираем минус)
   • x₁ × x₂ = 6

2. Подбираем числа. Какие два числа дают произведение 6?

   • 1 и 6: 1 + 6 = 7 ≠ 5 ❌
   • 2 и 3: 2 + 3 = 5 ✅, 2 × 3 = 6 ✅

3. Ответ: x₁ = 2, x₂ = 3

Как определить знаки корней

Теорема Виета помогает даже предсказать знаки корней! 🔮

[МЕДИА: image_03] Описание: Таблица с различными комбинациями знаков суммы и произведения корней Промпт: “educational chart showing sign combinations for sum and product of roots, positive and negative signs, organized table format, clear typography”

Правила знаков:

1. Произведение положительно → корни одного знака
2. Произведение отрицательно → корни разных знаков
3. Сумма положительна → оба корня положительны (если произведение тоже положительно)
4. Сумма отрицательна → оба корня отрицательны (если произведение положительно)

Неприведённые уравнения

Что делать, если уравнение выглядит как 2x² + 6x + 4 = 0? 🤷

Просто делим все части на коэффициент при x² (на 2): 2x² + 6x + 4 = 0 | ÷2 x² + 3x + 2 = 0

Теперь можно применять теорему Виета!

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Найди сумму и произведение корней уравнения x² + 7x + 10 = 0

💡 Подсказка

Используй формулы: сумма = -b, произведение = c

✅ Ответ

Сумма корней = -7, произведение корней = 10

Задание 2: Реши уравнение x² - 6x + 8 = 0 методом Виета

💡 Подсказка

Найди два числа, которые в сумме дают 6, а в произведении 8

✅ Ответ

x₁ = 4, x₂ = 2 (4 + 2 = 6, 4 × 2 = 8)

Задание 3: Определи знаки корней уравнения x² + 3x + 2 = 0

💡 Подсказка

Произведение положительно, сумма отрицательна - что это значит?

✅ Ответ

Оба корня отрицательны (произведение > 0, сумма < 0)

Средний уровень 🟡

Задание 4: Составь уравнение, корни которого равны 3 и -5

💡 Подсказка

Найди сумму и произведение этих чисел, затем составь уравнение

✅ Ответ

x² + 2x - 15 = 0 (сумма = -2, произведение = -15)

Задание 5: Один корень уравнения x² + bx + 12 = 0 равен 4. Найди второй корень и коэффициент b

💡 Подсказка

Используй произведение корней для нахождения второго корня

✅ Ответ

Второй корень = 3, b = -7

Задание 6: Реши уравнение x² - x - 12 = 0

💡 Подсказка

Ищи два числа с произведением -12 и суммой 1

✅ Ответ

x₁ = 4, x₂ = -3

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Реши уравнение 2x² - 7x + 3 = 0 через теорему Виета

💡 Подсказка

Сначала приведи уравнение к стандартному виду

✅ Ответ

x₁ = 3, x₂ = 1/2 (после деления на 2: x² - 3.5x + 1.5 = 0)

Задание 8: Найди все значения k, при которых уравнение x² - 5x + k = 0 имеет корень x = 2

💡 Подсказка

Подставь x = 2 в уравнение и найди k, затем используй теорему Виета для второго корня

✅ Ответ

k = 6, второй корень x = 3

Задание 9: Составь уравнение с корнями 1/2 и -3/4

💡 Подсказка

Сначала найди сумму и произведение дробей

✅ Ответ

8x² + 2x - 3 = 0

Задание 10: Докажи, что если p + q = 5 и pq = 6, то p и q - корни уравнения x² - 5x + 6 = 0

💡 Подсказка

Используй обратную теорему Виета

✅ Ответ

По обратной теореме Виета: если сумма = 5 = -(-5) и произведение = 6, то это корни уравнения x² - 5x + 6 = 0

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают про знак минус в сумме корней ✅ Правильно: Сумма корней = -b (минус второй коэффициент) 💡 Почему важно: Без минуса формула не работает

❌ Ошибка 2: Применяют теорему к неприведённым уравнениям ✅ Правильно: Сначала делят на коэффициент при x² 💡 Почему важно: Теорема работает только для приведённых уравнений (где коэффициент при x² равен 1)

❌ Ошибка 3: Не проверяют найденные корни ✅ Правильно: Всегда подставляют корни в исходное уравнение 💡 Почему важно: Ошибки в подборе случаются часто

❌ Ошибка 4: Путают сумму и произведение ✅ Правильно: Запомни: сумма связана с b, произведение с c 💡 Почему важно: Это основа всей теоремы

Главное запомнить

✅ Теорема Виета: сумма корней = -b, произведение = c ✅ Работает только для приведённых уравнений (коэффициент при x² равен 1) ✅ Обратная теорема позволяет находить корни подбором ✅ Неприведённое уравнение делим на коэффициент при x² ✅ Знаки корней можно предсказать по знакам суммы и произведения