Разложение квадратного трёхчлена на множители

Введение

Представь, что у тебя есть сложное выражение вроде x² - 5x + 6, и тебе нужно найти способ записать его проще 🤔 Это как разобрать сложную конструкцию Lego на отдельные блоки - каждый блок проще понять!

Сегодня мы научимся “разбирать” квадратные трёхчлены на простые множители. Это умение пригодится для решения уравнений, построения графиков и многих других задач в математике.

[МЕДИА: image_01] Описание: Схема разложения квадратного трёхчлена на множители с визуализацией процесса Промпт: “educational diagram showing quadratic trinomial ax²+bx+c being factored into a(x-x₁)(x-x₂), colorful arrows showing the process, mathematical symbols, clean white background, suitable for high school students”

Что такое квадратный трёхчлен?

Квадратный трёхчлен - это математическое выражение вида ax² + bx + c, где:

• a ≠ 0 (иначе это не квадратный трёхчлен)
• x - переменная
• a, b, c - числовые коэффициенты

Примеры:

• 2x² + 7x - 4 📦
• x² - 9x + 20
• -3x² + 5x + 2

Основной принцип разложения

Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, мы используем его корни. Вот главная формула:

ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

где x₁ и x₂ - корни уравнения ax² + bx + c = 0

[МЕДИА: animation_01] Описание: Анимация показывающая пошаговое превращение трёхчлена в произведение множителей Промпт: “animated sequence showing quadratic trinomial transforming into factored form, step by step visualization, mathematical notation appearing and rearranging, smooth transitions, educational style”

Алгоритм разложения

Шаг 1: Найди корни

Приравняй трёхчлен к нулю: ax² + bx + c = 0 Реши это квадратное уравнение любым способом

Шаг 2: Примени формулу

Подставь найденные корни в формулу a(x - x₁)(x - x₂)

Шаг 3: Проверь

Раскрой скобки и убедись, что получился исходный трёхчлен

[МЕДИА: image_02] Описание: Пошаговая схема алгоритма разложения с примером Промпт: “step-by-step flowchart showing factoring algorithm with example calculations, clear numbered steps, arrows connecting stages, mathematical formulas, bright colors on white background”

Разбор примеров

Пример 1: Простой случай

Разложим x² - 7x + 12

Шаг 1: Найдём корни уравнения x² - 7x + 12 = 0 D = (-7)² - 4·1·12 = 49 - 48 = 1 x₁ = (7 + 1)/2 = 4 x₂ = (7 - 1)/2 = 3

Шаг 2: Применим формулу (a = 1): x² - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3)

Проверка: (x - 4)(x - 3) = x² - 3x - 4x + 12 = x² - 7x + 12 ✅

Пример 2: Когда a ≠ 1

Разложим 2x² - 8x + 6

Шаг 1: Решаем 2x² - 8x + 6 = 0 D = 64 - 48 = 16 x₁ = (8 + 4)/4 = 3 x₂ = (8 - 4)/4 = 1

Шаг 2: Применяем формулу (a = 2): 2x² - 8x + 6 = 2(x - 3)(x - 1)

Особый случай: один корень

Если D = 0, то корень один, и формула принимает вид: ax² + bx + c = a(x - x₁)²

Пример: x² - 6x + 9 = (x - 3)²

Практика

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Разложи на множители x² - 5x + 6

💡 Подсказка

Найди корни уравнения x² - 5x + 6 = 0. Какие два числа при сложении дают 5, а при умножении 6?

✅ Ответ

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

Задание 2: Разложи на множители x² + 7x + 12

💡 Подсказка

Ищи два числа, которые в сумме дают 7, а в произведении 12

✅ Ответ

x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

Задание 3: Разложи на множители x² - 4x + 4

💡 Подсказка

Это может быть полный квадрат!

✅ Ответ

x² - 4x + 4 = (x - 2)²

Средний уровень 🟡

Задание 4: Разложи на множители 2x² + 5x + 3

💡 Подсказка

Здесь a = 2, поэтому не забудь про коэффициент перед скобками

✅ Ответ

2x² + 5x + 3 = 2(x + 1)(x + 3/2) = (x + 1)(2x + 3)

Задание 5: Разложи на множители 3x² - 11x + 6

💡 Подсказка

Найди корни через дискриминант, затем примени формулу

✅ Ответ

3x² - 11x + 6 = 3(x - 3)(x - 2/3) = (x - 3)(3x - 2)

Задание 6: Разложи на множители x² - 9

💡 Подсказка

Это разность квадратов! Можно использовать формулу a² - b² = (a-b)(a+b)

✅ Ответ

x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Разложи на множители 4x² - 12x + 9

💡 Подсказка

Проверь, не является ли это полным квадратом

✅ Ответ

4x² - 12x + 9 = (2x - 3)²

Задание 8: При каком значении k трёхчлен 2x² - 7x + k содержит множитель (x - 2)?

💡 Подсказка

Если (x - 2) - множитель, то x = 2 - корень уравнения

✅ Ответ

k = 6. Подставляем x = 2: 2·4 - 7·2 + k = 0, откуда k = 6

Задание 9: Разложи на множители -2x² + 8x - 8

💡 Подсказка

Вынеси сначала общий множитель -2

✅ Ответ

-2x² + 8x - 8 = -2(x² - 4x + 4) = -2(x - 2)²

Задание 10: Разложи на множители 6x² - x - 2

💡 Подсказка

Используй дискриминант для поиска корней

✅ Ответ

6x² - x - 2 = (2x + 1)(3x - 2)

[МЕДИА: image_03] Описание: Сводная таблица всех случаев разложения с примерами Промпт: “comprehensive reference table showing different factoring cases: two distinct roots, one repeated root, and special forms, with clear examples and formulas, organized layout, mathematical notation”

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают про коэффициент a перед скобками ✅ Правильно: Всегда проверяй, что a вынесено правильно 💡 Почему важно: Без правильного коэффициента разложение неверно

❌ Ошибка 2: Путают знаки в скобках ✅ Правильно: Если корень положительный, в скобках пишем (x - корень) 💡 Почему важно: Неправильные знаки дают неверный результат

❌ Ошибка 3: Не проверяют результат ✅ Правильно: Всегда раскрывай скобки для проверки 💡 Почему важно: Проверка помогает найти ошибки в вычислениях

❌ Ошибка 4: Пытаются разложить трёхчлен без корней ✅ Правильно: Если D < 0, разложение невозможно 💡 Почему важно: Не все трёхчлены можно разложить на множители

Главное запомнить

✅ Формула разложения: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂) ✅ Сначала находим корни, потом применяем формулу ✅ При одном корне: ax² + bx + c = a(x - x₁)² ✅ Всегда проверяем результат, раскрывая скобки ✅ Если дискриминант отрицательный, разложение невозможно