Модуль числа - твой путеводитель по математическому расстоянию 📏

Введение

Представь, что ты играешь в Minecraft и строишь дом. Тебе нужно измерить расстояние от твоего дома до ближайшей деревни - не важно, в какую сторону идти, важно только КАК ДАЛЕКО. Вот именно это “как далеко” в математике называется модулем числа! 🏠

Модуль - это математический способ измерить “расстояние”, и сегодня мы разберём, как он работает.

Что такое модуль числа? 🎯

МЕДИА: image_01 Описание: Координатная прямая с отмеченными числами -3, 0, 3, стрелки показывают одинаковое расстояние от 0 до -3 и от 0 до 3 Промпт: “educational math illustration, number line from -5 to 5, zero marked prominently, numbers -3 and 3 highlighted with arrows showing equal distance to zero, modern flat design, blue and orange colors, white background”

Модуль числа - это расстояние от нуля до этого числа на координатной прямой. Записывается так: |a| (читается “модуль a”).

Главное правило: расстояние всегда положительное!

Поэтому:

• |5| = 5 (от 0 до 5 - пять шагов вправо)
• |-5| = 5 (от 0 до -5 - тоже пять шагов, но влево)
• |0| = 0 (никуда не идём)

Модуль также показывает расстояние между ЛЮБЫМИ двумя числами: |a - b| = расстояние между числами a и b

Например: |7 - 3| = |4| = 4 шага между числами 7 и 3.

Правило раскрытия модуля 🔓

Чтобы “раскрыть” модуль (убрать эти вертикальные палочки), используем простое правило:

МЕДИА: image_02 Описание: Схема раскрытия модуля с двумя ветками: если x ≥ 0, то |x| = x; если x < 0, то |x| = -x Промпт: “educational diagram showing modulus rule, two branches with conditions x≥0 and x<0, clear arrows and mathematical notation, minimalist style, green for positive, red for negative, white background”

|x| = { x,   если x ≥ 0
      { -x,  если x < 0

Проще говоря:

• Если число под модулем положительное или ноль → просто убираем палочки
• Если число под модулем отрицательное → убираем палочки И меняем знак на противоположный

Примеры раскрытия:

Пример 1: |8| = 8 (число 8 ≥ 0, просто убираем модуль)

Пример 2: |-12| = 12 (число -12 < 0, убираем модуль и меняем знак)

Пример 3: |√9 - 5| = |3 - 5| = |-2| = 2

Раскрытие сложных выражений с модулями 🧩

Когда внутри модуля не просто число, а выражение, сначала определяем знак этого выражения.

МЕДИА: animation_01 Описание: Анимация раскрытия модуля |x+3| для разных значений x, показывающая переход через критическую точку x = -3 Промпт: “educational animation showing step-by-step expansion of |x+3|, critical point at x=-3, smooth transitions between positive and negative cases, 8 seconds duration, math textbook style”

Пример: Раскроем |x + 3|

1. Когда x + 3 ≥ 0? Когда x ≥ -3 В этом случае: |x + 3| = x + 3

2. Когда x + 3 < 0? Когда x < -3
   В этом случае: |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3

Итак:

|x + 3| = { x + 3,    если x ≥ -3
          { -x - 3,   если x < -3

Практика 💪

Лёгкий уровень 🟢

Задание 1: Найди значение: |15|

💡 Подсказка

Число 15 положительное, поэтому модуль просто убираем.

✅ Ответ

|15| = 15

Задание 2: Найди значение: |-7|

💡 Подсказка

Число -7 отрицательное, поэтому меняем знак на положительный.

✅ Ответ

|-7| = 7

Задание 3: Найди расстояние между числами 4 и 9.

💡 Подсказка

Расстояние между числами a и b равно |a - b|.

✅ Ответ

|4 - 9| = |-5| = 5

Средний уровень 🟡

Задание 4: Раскрой модуль: |x - 2|, если x = -1

💡 Подсказка

Подставь x = -1, получишь |-1 - 2| = |-3|.

✅ Ответ

|x - 2| = |-1 - 2| = |-3| = 3

Задание 5: Найди все значения x, при которых |x| = 6

💡 Подсказка

Какие числа находятся на расстоянии 6 от нуля?

✅ Ответ

x = 6 или x = -6

Задание 6: Упрости: 3|x| + 2|x| - |x|

💡 Подсказка

Модули |x| - это подобные слагаемые, их можно складывать как обычные числа.

✅ Ответ

3|x| + 2|x| - |x| = 4|x|

Сложный уровень 🔴

Задание 7: Раскрой модуль в выражении |x - 5| для всех возможных значений x

💡 Подсказка

Определи, когда x - 5 ≥ 0 и когда x - 5 < 0.

✅ Ответ

|x - 5| = { x - 5, если x ≥ 5 { -(x - 5) = 5 - x, если x < 5

Задание 8: Найди значение выражения |2x + 6|, если x = -5

💡 Подсказка

Сначала подставь x = -5, затем вычисли что получится под модулем.

✅ Ответ

|2(-5) + 6| = |-10 + 6| = |-4| = 4

Задание 9: Реши уравнение |x| + 3 = 8

💡 Подсказка

Сначала найди |x| = 5, а потом подумай, какие числа имеют модуль 5.

✅ Ответ

|x| = 5, значит x = 5 или x = -5

Задание 10: В игре твой персонаж находится в точке -8, а сокровище в точке 15. На сколько единиц нужно переместиться, чтобы добраться до сокровища?

💡 Подсказка

Найди расстояние между точками -8 и 15.

✅ Ответ

|15 - (-8)| = |15 + 8| = |23| = 23 единицы

Частые ошибки ⚠️

❌ Ошибка 1: Думать, что |-5| = -5 ✅ Правильно: |-5| = 5 (модуль всегда неотрицательный!) 💡 Почему важно: Модуль - это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным.

❌ Ошибка 2: При раскрытии |x - 3| писать условие x > 3 вместо x ≥ 3 ✅ Правильно: |x - 3| = x - 3, если x ≥ 3 💡 Почему важно: Граничная точка тоже важна для правильного раскрытия.

❌ Ошибка 3: Забывать менять знак при x < 0 в выражении |x - a| ✅ Правильно: Если x - a < 0, то |x - a| = -(x - a) = a - x 💡 Почему важно: Это основное правило раскрытия модуля отрицательных выражений.

❌ Ошибка 4: Путать |a - b| и |b - a| ✅ Правильно: |a - b| = |b - a| (расстояние между точками одинаковое в обе стороны) 💡 Почему важно: Расстояние симметрично - не важно, откуда и куда измеряем.

МЕДИА: image_03 Описание: Схема типичных ошибок с модулем, показанная в виде красных крестиков и зелёных галочек Промпт: “educational infographic showing common mistakes with absolute value, red X marks for wrong answers, green check marks for correct ones, clear visual contrast, educational poster style”

Главное запомнить ✅

✅ Модуль числа - это расстояние от нуля до этого числа ✅ Модуль всегда неотрицательный: |a| ≥ 0 ✅ |a| = a, если a ≥ 0; |a| = -a, если a < 0 ✅ |a - b| показывает расстояние между числами a и b ✅ При раскрытии модуля всегда проверяй знак выражения под модулем ✅ Модули можно складывать как подобные слагаемые: 2|x| + 3|x| = 5|x|